第01讲 二次函数-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题01二次函数★知识点1二次函数的概念1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．典例分析【例1】（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（

）A． B． C． D．【例2】（2022秋·山东东营·九年级校考期中）下列函数中不属于二次函数的是（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数是关于的二次函数的是（

）A．B．C． D．2．（2022秋·浙江·九年级阶段练习）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（

）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3★知识点2：列二次函数关系式列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．典例分析【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（

）A． B． C． D．【例2】（2023·北京·模拟预测）线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点．以点A为圆心、线段长为半径作圆心角为的扇形，以线段为边作等边．设点的运动时间为t，扇形的弧的长为，等边的面积为S，则与，与满足的函数关系分别是（

）A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系即学即练1．（2022春·九年级单元测试）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2★知识点3：根据定义求参数一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 典例分析【例1】（2023秋·山东济南·九年级期末）若函数是二次函数，则m的值为（）A．0或 B．0或1 C． D．1【例2】（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（

）A． B．2 C．3 D．或2即学即练1．（2023秋·全国·九年级专题练习）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（）A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±12．（2023·浙江·九年级假期作业）已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（）A．125个 B．100个 C．48个 D．10个★知识点4待定系数法求解析式待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．典例分析【例1】（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知抛物线经过三点．求这条抛物线的表达式．【例2】（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点，且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．即学即练1．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图像经过点三点，求这个二次函数的解析式．2，（2023·安徽安庆·统考一模）已知二次函数的图象经过和两点，与y轴交于求此二次函数的解析式．1．（2022春·九年级单元测试）下列函数中一定是二次函数的是（）A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+cC．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+12．（2022春·九年级课时练习）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022春·九年级课时练习）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（

）A． B．C． D．4．（2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考阶段练习）定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（）A． B．C． D．5．（2020秋·广东·九年级东莞市长安实验中学校考阶段练习）若是二次函数，则m的值为（

）A．-2 B．2 C．±2 D．不能确定6．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）当函数是二次函数时，a的取值为（）A． B． C． D．7．（2021春·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考期末）抛物线y＝（x+3）2﹣4的对称轴为（）A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣48．（2019春·九年级单元测试）若是二次函数，则的值是（）A．1 B．-1 C．±1 D．2（2022春·九年级课时练习）已知二次函数的图象经过点、、，求这个二次函数解析式和顶点坐标．10．（2022秋·北京通州·九年级统考期中）已知是二次函数图象上两点，求二次函数的表达式．

专题01二次函数★知识点1二次函数的概念1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项.二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．典例分析【例1】（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一进行判断，即可求解．【详解】A.是反比例函数，故本选项错误；B.，未知数的次数不是，故本选项错误；C.是一次函数，故本选项错误；D.，符合二次函数的定义，故本选项正确．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，理解定义，会根据定义进行判断是解题的关键．【例2】（2022秋·山东东营·九年级校考期中）下列函数中不属于二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二次函数定义进行解答即可.【详解】解：A、是二次函数，不符合题意；B、是二次函数，不符合题意；C、不是二次函数，符合题意；D、是二次函数，不符合题意；故选：C.【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.【即学即练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数是关于的二次函数的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】一般地，我们把形如（其中是常数且）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A.，是一次函数，故该选项不符合题意；B.，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；C.，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；D.，是二次函数，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题关键．2．（2022秋·浙江·九年级阶段练习）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（

）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3【答案】B【分析】根据二次函数的一般形式可得答案．【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．★知识点2：列二次函数关系式列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．典例分析【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解．【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【例2】（2023·北京·模拟预测）线段，动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点．以点A为圆心、线段长为半径作圆心角为的扇形，以线段为边作等边．设点的运动时间为t，扇形的弧的长为，等边的面积为S，则与，与满足的函数关系分别是（

）A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系【答案】B【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：设点的运动时间为t，则，，则，，∴与，与满足的函数关系分别是正比例函数关系，二次函数关系，故选：B．【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．即学即练1．（2022春·九年级单元测试）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】用半径为的圆的面积减去半径为的圆的面积即可求解．【详解】解：依题意，，故选D．【点睛】本题考查了列函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键．2．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2【答案】D【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．★知识点3：根据定义求参数一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 典例分析【例1】（2023秋·山东济南·九年级期末）若函数是二次函数，则m的值为（）A．0或 B．0或1 C． D．1【答案】C【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可．【详解】解：由题意得：，且，解得：或且，故，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．【例2】（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（

）A． B．2 C．3 D．或2【答案】D【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可．【详解】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数，∴m=-3或m=2，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键．即学即练1．（2023秋·全国·九年级专题练习）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（）A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1【答案】A【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（）A．125个 B．100个 C．48个 D．10个【答案】B【分析】根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案【详解】由题意，∴a有四种选法：1、2、3、4，∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，∴共有=100种，故选：B【点睛】此题考查二次函数的定义，有理数的乘法运算，根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键．★知识点4待定系数法求解析式待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．典例分析【例1】（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知抛物线经过三点．求这条抛物线的表达式．【答案】【分析】用待定系数法求解即可．【详解】解：把点，，代入得：，解得：，∴这条抛物线的解析式为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【例2】（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点，且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．【答案】【分析】根据题目信息设函数的解析式为交点式，代入与y轴的交点坐标进而求解.【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴设二次函数解析式为，把代入，可得．∴这个二次函数的解析式为：．【点睛】本题通过交点求二次函数的解析式，观察题目信息合理设出函数解析式更方便解题.即学即练1．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图像经过点三点，求这个二次函数的解析式．【答案】【分析】根据题意设二次函数解析式为，然后将代入求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴设二次函数解析式为：，把代入，可得，解得：．∴这个二次函数的解析式为：．【点睛】本题主要考查了利用交点式求解二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键．2，（2023·安徽安庆·统考一模）已知二次函数的图象经过和两点，与y轴交于求此二次函数的解析式．【答案】【分析】设该二次函数的解析式为，将点、、代入求出a、b、c的值，即可得出该二次函数的解析式．【详解】解：设该二次函数的解析式为，把、、代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．1．（2022春·九年级单元测试）下列函数中一定是二次函数的是（）A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+cC．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；B、当a＝0时，y＝ax2＋bx＋c不是二次函数，故此选项错误；C、是一次函数，故此选项错误；D、y＝2x（x﹣2）+1=2x2-4x+1是二次函数，故此选项正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，解题关键是注意二次项系数不为0．2．（2022春·九年级课时练习）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据二次函数的定义判断即可；【详解】y＝2x﹣1是一次函数；y＝﹣2x2﹣1是二次函数；y＝3x3﹣2x2不是二次函数；④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数；y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数；故二次函数有1个；故答案选A．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键．3．（2022春·九年级课时练习）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．【详解】由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）．故选：C．【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．4．（2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考阶段练习）定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据定义运算“※”为:a※b=，可得y=2※x的函数解析式,根据函数解析式,可得函数图象.【详解】解:y=2※x=，当x>0时,图象是y=对称轴右侧的部分;当x＜0时,图象是y=对称轴左侧的部分，所以C选项是正确的.【点睛】本题考查了二次函数的图象,利用定义运算“※”为:a※b=得出分段函数是解题关键.5．（2020秋·广东·九年级东莞市长安实验中学校考阶段练习）若是二次函数，则m的值为（

）A．-2 B．2 C．±2 D．不能确定【答案】C【分析】根据二次函数的指数是2，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：由y=2xm2−2是二次函数，得m2-2=2，解得m=±2，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于m的方程式是