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文档简介
专题01二次函数★知识点1二次函数的概念1.形如(其中是常数,)的函数叫做二次函数,称为二次项系数,为一次项系数,为常数项.二次项系数,而可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数.2.二次函数的结构特征:⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.典例分析【例1】(2023秋·湖南益阳·九年级统考期末)下列函数中,是二次函数的是(
)A. B. C. D.【例2】(2022秋·山东东营·九年级校考期中)下列函数中不属于二次函数的是(
)A. B. C. D.【即学即练】1.(2023·浙江·九年级假期作业)下列函数是关于的二次函数的是(
)A.B.C. D.2.(2022秋·浙江·九年级阶段练习)设a,b,c分别是二次函数y=﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项,则(
)A.a=﹣1,b=3,c=0 B.a=﹣1,b=0,c=3C.a=﹣1,b=3,c=3 D.a=1,b=0,c=3★知识点2:列二次函数关系式列二次函数关系式,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键,建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定.典例分析【例1】(2023·浙江·九年级假期作业)一部售价为4000元的手机,一年内连续两次降价,如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是(
)A. B. C. D.【例2】(2023·北京·模拟预测)线段,动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿线段运动至点.以点A为圆心、线段长为半径作圆心角为的扇形,以线段为边作等边.设点的运动时间为t,扇形的弧的长为,等边的面积为S,则与,与满足的函数关系分别是(
)A.正比例函数关系,一次函数关系 B.正比例函数关系,二次函数关系C.一次函数关系,一次函数关系 D.二次函数关系,正比例函数关系即学即练1.(2022春·九年级单元测试)在半径为的圆中,挖去一个半径为的圆面,剩下的圆环的面积为,则y与x的函数解析式为(
)A. B.C. D.2.(2023秋·辽宁大连·九年级统考期末)一台机器原价100万元,若每年的折旧率是x,两年后这台机器约为y万元,则y与x的函数关系式为(
)A.y=100(1﹣x) B.y=100﹣x2 C.y=100(1+x)2 D.y=100(1﹣x)2★知识点3:根据定义求参数一般地,我们把形如(其中a,b,c是常数,)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项. 典例分析【例1】(2023秋·山东济南·九年级期末)若函数是二次函数,则m的值为()A.0或 B.0或1 C. D.1【例2】(2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习)若函数是关于x的二次函数,则m的取值为(
)A. B.2 C.3 D.或2即学即练1.(2023秋·全国·九年级专题练习)若函数y=(a﹣1)x2+2x+a2﹣1是二次函数,则()A.a≠1 B.a≠﹣1 C.a=1 D.a=±12.(2023·浙江·九年级假期作业)已知函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c可在0,1,2,3,4五个数中取值,则不同的二次函数的个数共有()A.125个 B.100个 C.48个 D.10个★知识点4待定系数法求解析式待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.典例分析【例1】(2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习)已知抛物线经过三点.求这条抛物线的表达式.【例2】(2023·上海·九年级假期作业)已知二次函数的图象经过点,且与y轴的交点的纵坐标为3,求这个二次函数的解析式.即学即练1.(2023·上海·九年级假期作业)已知二次函数的图像经过点三点,求这个二次函数的解析式.2,(2023·安徽安庆·统考一模)已知二次函数的图象经过和两点,与y轴交于求此二次函数的解析式.1.(2022春·九年级单元测试)下列函数中一定是二次函数的是()A.y=2x2+ B.y=ax2+bx+cC.y=3x﹣1 D.y=2x(x﹣2)+12.(2022春·九年级课时练习)已知函数:①y=2x﹣1;②y=﹣2x2﹣1;③y=3x3﹣2x2;④y=2(x+3)2-2x2;⑤y=ax2+bx+c,其中二次函数的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.(2022春·九年级课时练习)用一根长的铁丝围成一个矩形,那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为(
)A. B.C. D.4.(2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考阶段练习)定义运算“※”为:a※b=,如:1※(﹣2)=﹣1×(﹣2)2=﹣4.则函数y=2※x的图象大致是()A. B.C. D.5.(2020秋·广东·九年级东莞市长安实验中学校考阶段练习)若是二次函数,则m的值为(
)A.-2 B.2 C.±2 D.不能确定6.(2022秋·吉林长春·九年级校考期末)当函数是二次函数时,a的取值为()A. B. C. D.7.(2021春·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考期末)抛物线y=(x+3)2﹣4的对称轴为()A.直线x=3 B.直线x=﹣3 C.直线x=4 D.直线x=﹣48.(2019春·九年级单元测试)若是二次函数,则的值是()A.1 B.-1 C.±1 D.2(2022春·九年级课时练习)已知二次函数的图象经过点、、,求这个二次函数解析式和顶点坐标.10.(2022秋·北京通州·九年级统考期中)已知是二次函数图象上两点,求二次函数的表达式.
专题01二次函数★知识点1二次函数的概念1.形如(其中是常数,)的函数叫做二次函数,称为二次项系数,为一次项系数,为常数项.二次项系数,而可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数.2.二次函数的结构特征:⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.典例分析【例1】(2023秋·湖南益阳·九年级统考期末)下列函数中,是二次函数的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如(a、b、c是常数,)的函数叫做二次函数,据此逐一进行判断,即可求解.【详解】A.是反比例函数,故本选项错误;B.,未知数的次数不是,故本选项错误;C.是一次函数,故本选项错误;D.,符合二次函数的定义,故本选项正确.故选:D.【点睛】此题考查了二次函数的定义,理解定义,会根据定义进行判断是解题的关键.【例2】(2022秋·山东东营·九年级校考期中)下列函数中不属于二次函数的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用二次函数定义进行解答即可.【详解】解:A、是二次函数,不符合题意;B、是二次函数,不符合题意;C、不是二次函数,符合题意;D、是二次函数,不符合题意;故选:C.【点睛】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.【即学即练】1.(2023·浙江·九年级假期作业)下列函数是关于的二次函数的是(
)A.B.C. D.【答案】D【分析】一般地,我们把形如(其中是常数且)的函数叫做二次函数,其中称为二次项系数,为一次项系数,为常数项.根据二次函数的定义逐项判断即可.【详解】解:A.,是一次函数,故该选项不符合题意;B.,不符合二次函数的定义,不是二次函数,故该选项不符合题意;C.,不符合二次函数的定义,不是二次函数,故该选项不符合题意;D.,是二次函数,故该选项符合题意.故选:D.【点睛】本题主要考查了二次函数的定义,理解并掌握二次函数的定义是解题关键.2.(2022秋·浙江·九年级阶段练习)设a,b,c分别是二次函数y=﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项,则(
)A.a=﹣1,b=3,c=0 B.a=﹣1,b=0,c=3C.a=﹣1,b=3,c=3 D.a=1,b=0,c=3【答案】B【分析】根据二次函数的一般形式可得答案.【详解】解:二次函数y=﹣x2+3的二次项系数是a=﹣1,一次项系数是b=0,常数项是c=3;故选:B.【点睛】此题主要考查了二次函数的一般形式,关键是注意在找二次项系数,一次项系数和常数项时,不要漏掉符号.★知识点2:列二次函数关系式列二次函数关系式,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键,建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定.典例分析【例1】(2023·浙江·九年级假期作业)一部售价为4000元的手机,一年内连续两次降价,如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率),列出函数关系式,即可求解.【详解】解:∵每次降价的百分率都是x,∴两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是.故选:B【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.【例2】(2023·北京·模拟预测)线段,动点以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿线段运动至点.以点A为圆心、线段长为半径作圆心角为的扇形,以线段为边作等边.设点的运动时间为t,扇形的弧的长为,等边的面积为S,则与,与满足的函数关系分别是(
)A.正比例函数关系,一次函数关系 B.正比例函数关系,二次函数关系C.一次函数关系,一次函数关系 D.二次函数关系,正比例函数关系【答案】B【分析】根据题意分别列出y与t,S与t的函数关系,进而进行判断即可.【详解】解:设点的运动时间为t,则,,则,,∴与,与满足的函数关系分别是正比例函数关系,二次函数关系,故选:B.【点睛】本题考查了列函数表达式,一次函数与二次函数的识别,根据题意列出函数表达式是解题的关键.即学即练1.(2022春·九年级单元测试)在半径为的圆中,挖去一个半径为的圆面,剩下的圆环的面积为,则y与x的函数解析式为(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】用半径为的圆的面积减去半径为的圆的面积即可求解.【详解】解:依题意,,故选D.【点睛】本题考查了列函数关系式,掌握圆的面积公式是解题的关键.2.(2023秋·辽宁大连·九年级统考期末)一台机器原价100万元,若每年的折旧率是x,两年后这台机器约为y万元,则y与x的函数关系式为(
)A.y=100(1﹣x) B.y=100﹣x2 C.y=100(1+x)2 D.y=100(1﹣x)2【答案】D【分析】根据两年后机器价值=机器原价值×(1﹣折旧百分比)2可得函数解析式.【详解】解:根据题意知y=100(1﹣x)2,故选:D.【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式,根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意,建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定.★知识点3:根据定义求参数一般地,我们把形如(其中a,b,c是常数,)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项. 典例分析【例1】(2023秋·山东济南·九年级期末)若函数是二次函数,则m的值为()A.0或 B.0或1 C. D.1【答案】C【分析】利用二次函数定义可得,且,再解即可.【详解】解:由题意得:,且,解得:或且,故,故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的定义,一般地,我们把形如(其中a,b,c是常数,)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.【例2】(2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习)若函数是关于x的二次函数,则m的取值为(
)A. B.2 C.3 D.或2【答案】D【分析】根据二次函数的定义,必须二次项系数不等于0,且未知数的次数等于2,据此列不等式组并求解即可.【详解】解:由二次函数的定义可知,当时,该函数是二次函数,∴m=-3或m=2,故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的定义,明确二次函数的定义并正确列式,是解题的关键.即学即练1.(2023秋·全国·九年级专题练习)若函数y=(a﹣1)x2+2x+a2﹣1是二次函数,则()A.a≠1 B.a≠﹣1 C.a=1 D.a=±1【答案】A【分析】利用二次函数定义进行解答即可.【详解】解:由题意得:a﹣1≠0,解得:a≠1,故选:A.【点睛】本题主要考查了二次函数的定义,准确计算是解题的关键.2.(2023·浙江·九年级假期作业)已知函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c可在0,1,2,3,4五个数中取值,则不同的二次函数的个数共有()A.125个 B.100个 C.48个 D.10个【答案】B【分析】根据二次函数的定义得到,依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案【详解】由题意,∴a有四种选法:1、2、3、4,∵b和c都有五种选法:0、1、2、3、4,∴共有=100种,故选:B【点睛】此题考查二次函数的定义,有理数的乘法运算,根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键.★知识点4待定系数法求解析式待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.典例分析【例1】(2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习)已知抛物线经过三点.求这条抛物线的表达式.【答案】【分析】用待定系数法求解即可.【详解】解:把点,,代入得:,解得:,∴这条抛物线的解析式为:.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.【例2】(2023·上海·九年级假期作业)已知二次函数的图象经过点,且与y轴的交点的纵坐标为3,求这个二次函数的解析式.【答案】【分析】根据题目信息设函数的解析式为交点式,代入与y轴的交点坐标进而求解.【详解】解:∵二次函数的图象经过点,∴设二次函数解析式为,把代入,可得.∴这个二次函数的解析式为:.【点睛】本题通过交点求二次函数的解析式,观察题目信息合理设出函数解析式更方便解题.即学即练1.(2023·上海·九年级假期作业)已知二次函数的图像经过点三点,求这个二次函数的解析式.【答案】【分析】根据题意设二次函数解析式为,然后将代入求解即可.【详解】解:∵二次函数的图象经过点,∴设二次函数解析式为:,把代入,可得,解得:.∴这个二次函数的解析式为:.【点睛】本题主要考查了利用交点式求解二次函数解析式,掌握待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键.2,(2023·安徽安庆·统考一模)已知二次函数的图象经过和两点,与y轴交于求此二次函数的解析式.【答案】【分析】设该二次函数的解析式为,将点、、代入求出a、b、c的值,即可得出该二次函数的解析式.【详解】解:设该二次函数的解析式为,把、、代入得:,解得:,∴二次函数的解析式为.【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式,解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤.1.(2022春·九年级单元测试)下列函数中一定是二次函数的是()A.y=2x2+ B.y=ax2+bx+cC.y=3x﹣1 D.y=2x(x﹣2)+1【答案】D【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数进行分析.【详解】解:A、含有分式,不是二次函数,故此选项错误;B、当a=0时,y=ax2+bx+c不是二次函数,故此选项错误;C、是一次函数,故此选项错误;D、y=2x(x﹣2)+1=2x2-4x+1是二次函数,故此选项正确;故选:D.【点睛】本题主要考查了二次函数定义,判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,解题关键是注意二次项系数不为0.2.(2022春·九年级课时练习)已知函数:①y=2x﹣1;②y=﹣2x2﹣1;③y=3x3﹣2x2;④y=2(x+3)2-2x2;⑤y=ax2+bx+c,其中二次函数的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】根据二次函数的定义判断即可;【详解】y=2x﹣1是一次函数;y=﹣2x2﹣1是二次函数;y=3x3﹣2x2不是二次函数;④y=2(x+3)2-2x2,不是二次函数;y=ax2+bx+c,没告诉a不为0,故不是二次函数;故二次函数有1个;故答案选A.【点睛】本题主要考查了二次函数的定义,准确判断是解题的关键.3.(2022春·九年级课时练习)用一根长的铁丝围成一个矩形,那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长,进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可.【详解】由题意得:矩形的另一边长=60÷2-x=30-x,矩形的面积y(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式为y=x(30-x)=-x2+30x(0<x<30).故选:C.【点睛】此题考查根据实际问题列二次函数关系式,掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键.4.(2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考阶段练习)定义运算“※”为:a※b=,如:1※(﹣2)=﹣1×(﹣2)2=﹣4.则函数y=2※x的图象大致是()A. B.C. D.【答案】C【分析】根据定义运算“※”为:a※b=,可得y=2※x的函数解析式,根据函数解析式,可得函数图象.【详解】解:y=2※x=,当x>0时,图象是y=对称轴右侧的部分;当x<0时,图象是y=对称轴左侧的部分,所以C选项是正确的.【点睛】本题考查了二次函数的图象,利用定义运算“※”为:a※b=得出分段函数是解题关键.5.(2020秋·广东·九年级东莞市长安实验中学校考阶段练习)若是二次函数,则m的值为(
)A.-2 B.2 C.±2 D.不能确定【答案】C【分析】根据二次函数的指数是2,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案.【详解】解:由y=2xm2−2是二次函数,得m2-2=2,解得m=±2,故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的定义,利用二次函数的定义得出关于m的方程式是
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