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文档简介
二次函数与几何综合题类型五与角度有关的问题微技能一阶例1如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(1,0),点A在第一象
限,且AB⊥x轴于点B,若∠AOB=30°,则点A的坐标为___________.例1题图(1,
)例2如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(2,0),点P为直线y=1上一点,若∠APB=90°,则点P的坐标为
________________________________.例2题图(,1)或(,1)例3如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(2,3),过点A作AB⊥x轴于点B,点C为直线AB上一点,
(1)当OC平分∠AOB时,点C的坐标为_____________;
(2)当∠ACO=∠AOB时,点C的坐标为____________;
(3)当∠OCB=2∠A时,点C的坐标为__________________.例3题图(0,
)(2,)或(2,-)满分技法1.若所求角度为90°,一般将其放在直角三角形中,利用勾股定理列方程求解;或利用相似或全等三角形的性质求解;2.若所求角度为非特殊角,可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角,再结合锐角三角函数求解;3.若探究角度之间的等量关系,常考虑将角放在直角三角形中,通过解直角三角形求解.设问突破二阶例4如图,抛物线y=-
x2+
x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,抛物线顶点为M,对称轴与x轴交于点E.一题多设问(1)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得∠CPB=90°,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由;例4题图①【思维教练】要使得∠CPB=90°,根据等角的余角相等,从而过点C作ME的垂线,构造相似三角形,列比例式并求解,或设出点P的坐标,利用坐标表示出线段长,利用勾股定理列等式求解.例4题解图解:(1)存在.由题意可知,抛物线的对称轴为直线x=3.A(-3,0),B(9,0),C(0,3),如解图,过点C作CT⊥ME于点T,设点P的坐标为(3,e),则CT=3,BE=6,PT=|e-3|,PE=|e|,∵∠CPB=90°,∴∠CPT+∠EPB=90°.∵∠CTP=90°,∴∠TCP+∠CPT=90°,例4题解图
∴∠EPB=∠TCP.∵∠CTP=∠PEB=90°,∴△CTP∽△PEB,
∴即
,
当e<0或e>3时,整理得e2-3e-18=0,解得e1=
,e2=
当0<e<3时,整理得e2-3e+18=0,方程无解,
综上所述,点P的坐标为(3,)或(3,);例4题解图
(2)已知点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使得∠PCB=∠PBC,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由;【思维教练】由∠PCB=∠PBC可知,点P为线段BC的垂直平分线与抛物线的交点,作线段BC的垂直平分线SL,利用待定系数法求出SL的解析式,联立即可求得点P的坐标.(2)存在.由(1)得,点B(9,0),点C(0,3),设BC的中点为S,∴BC的中点S的坐标为(,),如解图,过点S作SL⊥BC,交x轴于点L,交抛物线于点P,连接AC,此时点P即为所求,∵OC=3,OA=3,OB=9,∴AC=6,BC=6,则∠ACO=∠CBO=30°,BS=
BC=3,
∴=6,
∴OL=OB-BL=9-6=3,则点L的坐标为(3,0),设直线SL的解析式为y=kx+t(k≠0),例4题解图将点L,S的坐标代入,
得
解得∴直线SL的解析式为y=
x-3,
联立
解得
或综上所述,点P的坐标为(6,3)或(-9,-12);例4题解图(3)点P是抛物线上一个动点,连接MP,过点P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,若∠MPQ=2∠PME,求点P的坐标;【思维教练】由点P的位置不确定,可分点P在点Q下方和点P在点Q上方两种情况进行讨论,当点P在点Q下方时,∠PME=∠MPQ,不符合题设条件,排除,当点P在点Q上方时,由已知易得PQ∥ME,∠MPQ+∠PME=180°,进行求解即可.例4题图③(3)∵ME∥y轴,PQ∥y轴,∴ME∥PQ.①如解图,当点P在点Q的下方时,∠PME=∠MPQ,此时不符合题设条件;②如解图,设ME交BC于点F,当点P在点Q的上方时,∠PMF+∠MPQ=180°,∵∠MPQ=2∠PMF,∴∠PMF=60°.当点P在点M的右侧时,由(2)知,∠CBO=30°,∴∠BFE=60°,例4题解图例4题解图∴∠PMF=∠BFE,∴MP∥FQ.易得直线BC的解析式为y=-
x+3,
∴设直线MP的解析式为y=-
x+p,
将x=3代入抛物线方程,得M(3,4),
将点M(3,4)代入,得-×3+p=4,解得p=5,例4题解图∴直线MP的解析式为y=-
x+5,
联立
解得
,(舍去)
此时点P的坐标为(6,3);③如解图,当点P在点M的左侧时,延长MP交x轴于点K,则∠MKE=30°,∠KME=60°,例4题解图
∴KE=
ME=4×=12,∴KO=KE-OE=9,∴点K的坐标为(-9,0),易得直线MK的解析式为y=
x+3,∴直线MK与抛物线的交点为点C和点M,即此时点P和点C、Q重合,∠MPQ不存在,∴舍去.综上所述,点P的坐标为(6,3);例4题解图
(4)点P为y轴上一点,连接BP,是否存在点P使得∠OBC+∠OBP=45°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【思维教练】根据∠OBC+∠OBP=45°可知作线段BC的垂线,构造等腰直角三角形可求出PD的长,再根据面积公式求出点P的坐标,最后根据对称性可求得另外一点坐标.例4题图④例4题解图(4)存在.如解图,作PD⊥BC交BC于点D,设P(0,n),由(2)可知点B的坐标为(9,0),BC=6,∴PB=例4题解图∵∠PBD=45°,
∴PD=
PB=
∵S△BCP=
BC·PD=
OB·CP,
∴×6×=×9×(3-n),
化简得n2-18n-81=0,
解得n1=9+18(舍去),n2=9-18,∴P(0,9-18);如解图,作点P关于x轴的对称点P1,则∠OBP=∠OBP1,∴∠OBP1+∠OBC=45°,OP1=OP=18-9,∴P1(0,18-9).例4题解图综上所述,点P的坐标为(0,9-18)或(0,18-9).对接中考如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=
x2-2x经过坐标原点,与x轴正半轴交于点A,该抛物线的顶点为M,直线y=-
x+b经过点A,与y轴交于点B,连接OM.(1)求b的值及点M的坐标;(1)解:∵y=
x2-2x=(x-3)2-3,∴顶点M的坐标为(3,-3).令y=
x2-2x中y=0,得x1=0,x2=6,∴A(6,0).∵直线y=-
x+b经过点A,∴-3+b=0,∴b=3;(2)将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证:∠ADM-∠ACM=45°;(2)证明:∵直线y=mx+n由直线y=-
x+3平移得到,∴m=-.∵直线y=-
x+n过点M(3,-3),∴-
+n=-3,解得n=-.∴平移后的直线CM的解析式为y=-
x-.如解图,过点D作DH⊥CM于点H,设直线DH的解析式为y=2x+k,将点D(2,0)代入,得4+k=0,∴k=-4,∴直线DH的解析式为y=2x-4.
联立
解得∴H(1,-2).∵D(2,0),H(1,-2),题解图∴DH=.∵M(3,-3),D(2,0),∴DM=
,∴sin∠DMH=∴∠DMH=45°.∵∠ACM+∠DMH=∠ADM,∴∠ADM-∠AC
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