2024内蒙古中考数学二轮专题复习 二次函数与几何综合题 类型五 与角度有关的问题（课件）

二次函数与几何综合题类型五与角度有关的问题微技能一阶例1如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(1，0)，点A在第一象

限，且AB⊥x轴于点B，若∠AOB＝30°，则点A的坐标为___________.例1题图(1，

)例2如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(2，0)，点P为直线y＝1上一点，若∠APB＝90°，则点P的坐标为

________________________________．例2题图(，1)或(，1)例3如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，点C为直线AB上一点，

(1)当OC平分∠AOB时，点C的坐标为_____________；

(2)当∠ACO＝∠AOB时，点C的坐标为____________；

(3)当∠OCB＝2∠A时，点C的坐标为__________________．例3题图(0，

)(2，)或(2，－)满分技法1.若所求角度为90°，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；2.若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解；3.若探究角度之间的等量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解直角三角形求解．设问突破二阶例4如图，抛物线y＝－

x2＋

x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为M，对称轴与x轴交于点E.一题多设问(1)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得∠CPB＝90°，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；例4题图①【思维教练】要使得∠CPB＝90°，根据等角的余角相等，从而过点C作ME的垂线，构造相似三角形，列比例式并求解，或设出点P的坐标，利用坐标表示出线段长，利用勾股定理列等式求解．例4题解图解：(1)存在．由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝3.A(－3，0)，B(9，0)，C(0，3)，如解图，过点C作CT⊥ME于点T，设点P的坐标为(3，e)，则CT＝3，BE＝6，PT＝|e－3|，PE＝|e|，∵∠CPB＝90°，∴∠CPT＋∠EPB＝90°.∵∠CTP＝90°，∴∠TCP＋∠CPT＝90°，例4题解图

∴∠EPB＝∠TCP.∵∠CTP＝∠PEB＝90°，∴△CTP∽△PEB，

∴即

，

当e＜0或e＞3时，整理得e2－3e－18＝0，解得e1＝

，e2＝

当0＜e＜3时，整理得e2－3e＋18＝0，方程无解，

综上所述，点P的坐标为(3，)或(3，)；例4题解图

(2)已知点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使得∠PCB＝∠PBC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】由∠PCB＝∠PBC可知，点P为线段BC的垂直平分线与抛物线的交点，作线段BC的垂直平分线SL，利用待定系数法求出SL的解析式，联立即可求得点P的坐标．(2)存在．由(1)得，点B(9，0)，点C(0，3)，设BC的中点为S，∴BC的中点S的坐标为(，)，如解图，过点S作SL⊥BC，交x轴于点L，交抛物线于点P，连接AC，此时点P即为所求，∵OC＝3，OA＝3，OB＝9，∴AC＝6，BC＝6，则∠ACO＝∠CBO＝30°，BS＝

BC＝3，

∴＝6，

∴OL＝OB－BL＝9－6＝3，则点L的坐标为(3，0)，设直线SL的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，例4题解图将点L，S的坐标代入，

得

解得∴直线SL的解析式为y＝

x－3，

联立

解得

或综上所述，点P的坐标为(6，3)或(－9，－12)；例4题解图(3)点P是抛物线上一个动点，连接MP，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，若∠MPQ＝2∠PME，求点P的坐标；【思维教练】由点P的位置不确定，可分点P在点Q下方和点P在点Q上方两种情况进行讨论，当点P在点Q下方时，∠PME＝∠MPQ，不符合题设条件，排除，当点P在点Q上方时，由已知易得PQ∥ME，∠MPQ＋∠PME＝180°，进行求解即可．例4题图③(3)∵ME∥y轴，PQ∥y轴，∴ME∥PQ.①如解图，当点P在点Q的下方时，∠PME＝∠MPQ，此时不符合题设条件；②如解图，设ME交BC于点F，当点P在点Q的上方时，∠PMF＋∠MPQ＝180°，∵∠MPQ＝2∠PMF，∴∠PMF＝60°.当点P在点M的右侧时，由(2)知，∠CBO＝30°，∴∠BFE＝60°，例4题解图例4题解图∴∠PMF＝∠BFE，∴MP∥FQ.易得直线BC的解析式为y＝－

x＋3，

∴设直线MP的解析式为y＝－

x＋p，

将x＝3代入抛物线方程，得M(3，4)，

将点M(3，4)代入，得－×3＋p＝4，解得p＝5，例4题解图∴直线MP的解析式为y＝－

x＋5，

联立

解得

，(舍去)

此时点P的坐标为(6，3)；③如解图，当点P在点M的左侧时，延长MP交x轴于点K，则∠MKE＝30°，∠KME＝60°，例4题解图

∴KE＝

ME＝4×＝12，∴KO＝KE－OE＝9，∴点K的坐标为(－9，0)，易得直线MK的解析式为y＝

x＋3，∴直线MK与抛物线的交点为点C和点M，即此时点P和点C、Q重合，∠MPQ不存在，∴舍去．综上所述，点P的坐标为(6，3)；例4题解图

(4)点P为y轴上一点，连接BP，是否存在点P使得∠OBC＋∠OBP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思维教练】根据∠OBC＋∠OBP＝45°可知作线段BC的垂线，构造等腰直角三角形可求出PD的长，再根据面积公式求出点P的坐标，最后根据对称性可求得另外一点坐标．例4题图④例4题解图(4)存在．如解图，作PD⊥BC交BC于点D，设P(0，n)，由(2)可知点B的坐标为(9，0)，BC＝6，∴PB＝例4题解图∵∠PBD＝45°，

∴PD＝

PB＝

∵S△BCP＝

BC·PD＝

OB·CP，

∴×6×＝×9×(3－n)，

化简得n2－18n－81＝0，

解得n1＝9＋18(舍去)，n2＝9－18，∴P(0，9－18)；如解图，作点P关于x轴的对称点P1，则∠OBP＝∠OBP1，∴∠OBP1＋∠OBC＝45°，OP1＝OP＝18－9，∴P1(0，18－9)．例4题解图综上所述，点P的坐标为(0，9－18)或(0，18－9)．对接中考如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝

x2－2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝－

x＋b经过点A，与y轴交于点B，连接OM.(1)求b的值及点M的坐标；(1)解：∵y＝

x2－2x＝(x－3)2－3，∴顶点M的坐标为(3，－3)．令y＝

x2－2x中y＝0，得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)．∵直线y＝－

x＋b经过点A，∴－3＋b＝0，∴b＝3；(2)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx＋n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求证：∠ADM－∠ACM＝45°；(2)证明：∵直线y＝mx＋n由直线y＝－

x＋3平移得到，∴m＝－.∵直线y＝－

x＋n过点M(3，－3)，∴－

＋n＝－3，解得n＝－.∴平移后的直线CM的解析式为y＝－

x－.如解图，过点D作DH⊥CM于点H，设直线DH的解析式为y＝2x＋k，将点D(2，0)代入，得4＋k＝0，∴k＝－4，∴直线DH的解析式为y＝2x－4.

联立

解得∴H(1，－2)．∵D(2，0)，H(1，－2)，题解图∴DH＝.∵M(3，－3)，D(2，0)，∴DM＝

，∴sin∠DMH＝∴∠DMH＝45°.∵∠ACM＋∠DMH＝∠ADM，∴∠ADM－∠AC