2021全国高考数学理科第三次统一模拟考试含答案

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2021全国高考数学理科第三次统一模拟考试含答案

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2021年普通高等学校招生第三次统一模拟考试

理科数学2021.03

本试卷共23题，共150分，共8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项，1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴

在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字

笔书写，字迹工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答

案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5•保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用图改液、修正带、

刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1、已知集合。={x|26-7烂0,xWN},且尸G0则满足条件的集合户的个

数是

(A)8(B)9(C)15(D)16

2、复数z=4-5i(其中i为虚数单位)，则|z+2i|=

(A)V7(B)5(C)7(D)25

3、己知sina=242sin(a+—),则cos2a=

2

7711

(A)(B)g(C)(D)]

4、十六世纪中叶，英国数学家缶科德在《砺智石》一书中首先把“二”作为

等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“v”和“〉”符号，并逐

高三理科数学第1页共8页

渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若则

下列结论愤年的是

11II

(A)-<-(B)log,(a-Z>)>0(C)2>b2(D)3a>3h

aba

5、如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为■!-,则从力

10

到8这部分电源能通电的概率为

9802998019

(C)-----(D)-----

100000100000

6、一动IM1的圆心在抛物线/=8xh,且动圆恒与直线x+2=0相切，则此

动留必过定点

(A)(4,0)(B)(2,0)(0(0,2)(D)(0,0)

7、若直角坐标平面内/、8两点满足:①点A,8都在函数/(*)的图象上：

②点/、8关于原点对称，则称点(4，8)是函数/(幻的一个“姊妹点对”.

点对(/，8)与(8,⑷可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数

.V2+2.vx<0

f(x)=\2，则/(幻的“姊妹点对”有

—xNO

(A)。个(B)I个(C)2个(D)3个

8、运用祖涮原理计算球的体枳时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，

被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截而而枳都相等，则这两个

几何体的体积相等.构造•个底洞半径和高都与球的半径相等的圈柱，与

半球(如图1)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆

心为顶点，圆柱上底而为底面的圆锥后得到一新几何体(如图2),用任何

一个平行于底面的平面去假它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，

岛.理科数学第2页共8页

由此可证明新几何体与半球体积相警，现将椭圆三十二二1绕y轴旋转一周

1636

后得•橄榄状的几何体(如图3),类比上述方法，运用祖南原理可求得其

体积等于

9、如图，在一个凸四边形ABCD内，顺次连接四边形各边中点E,F,G,H

而成的四边形是一个平彳f四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行

四边形.如图，现有一个面积为12的凸四边形ABCD,设其对应的瓦里

尼翁平行四边形为小,记其面积为3,四边形为小SG0对应的

瓦里尼翁平行四边形为A2B2C2D2,记其面积为S,•.・依次类推，则

由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形A4Bq的而枳S「为

F(x)=/(x)+*f\x)为奇函数，则下

10、

述四个结论中说法正确的是

高：理科数学第3页共8页

(A)tan"=G(B)/(力在卜a。]上存在零点，则a的最小值为四

6

(C)/。)在上单调递增(D)/(x)在(0卷)有且仅有•个极大仇点

11、在下列四个命题中，正确的命题个数有.

①各个而都是三角形的几何体是三棱徘：

②过球面上任意两点只能作球的一个大圆：

③三棱锥的四个而都可以是宜角一:角形：

④梯形的宜观图可以是平行四边形.

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

12、锐角△力^。的三边分别为a,b,c,a=2bcos8,则;的取色范围是

b

(A)[1,3)<B)(g,2)

©隹可(D)[1,2)

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13、函数片/(x)的图象在点用(2,/(2))处的切线方程是y=2x-8,

嚅二

14、如图，双曲线C:0-4=l(a>O,b>O)的左、

a2h2

行焦点分别为4,巴，过F2作线段F2P与C交于点Q，

旦Q为PF2的中点,若等腰△PFR的底边PF2的长

等FC的半焦距，则C的离心率为t

而一:理科数学第4页共8页

15、如图,在边长为1的正方形40中,1为"的中点,

〃为以4为圆心，4?为半径的圆孤（在正方形内，

包括边界点）上的任意一点，若向量=+/Z\\\

则4+〃的最小值为.4"A

16、黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈例•黎曼发现

提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：

当x="（p,g都是正偿数.里是既约真分数）.

/?"）=/，pp，若函数/（X）是定义在R

0,当x=0,1或［0,1］上的无理数

上的奇函数，且对任意x都有〃2-x）+/（x）=0,当x£［0,1］时,/（x）=R（x）,

则/（I©—//=.

三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17—21题为必考题，每

个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

2

已知数列｛“”｝是公差不为0的等差数列，a,=3.a,-a4=a2.

（I）求｛•“｝的通项公式％及前H项和S.：

（II）4=!+1■+-+=-，求数列｛4｝的通项公式，并判断〃与母的大小.

S］S2Sn27

高•:理科数学第5页共8页

18.（本小题满分12分）

松山区教研室某课题组对“加强,语文阅读理解'训练对提高、数学应用题'得分率作用”

这一课题进行专项研究。为此对松山区某中学商二甲、乙两个同类班级进行“加强，语文阅

读理解,训练对提高,数学应用题'得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理

解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在

数学应用题上的得分率基本-致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均

取整数）如下表所示：

60分以下61-7071~8081-9091~100

甲班（人数）36111812

乙班（人数）48131510

现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.

（I）试分别估计两个班级的优秀率；

（II）由以上统计数据填写下面2x2列联表,并问是否有75%的把握认为“加强'语

文阅读理解’训练对提高'数学应用题‘得分率”有帮助？

优秀人数非优秀人数合计

甲班

乙班

合计

参考公式及数据:

n(ad-be)2

其中〃=4+8+。+".

(a+/>X0+d)(4+c)(b+d)

0.400.250.150.1000.0500.0250.010

0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

而一:理科数学第6页共8页

19.（本小题满分12分）

如图，四极徘""8的底面是」E方形，SD1TifnABCD,SD=2a，AD=^a,

点£是5£>上的点，且£>E=4a（（）v/42）

（I）求证：对任意的人e（0,2],都有力CJ_S£

<II）设二面角C-AE-D的大小为0,直线BE与平面ABCD所成的角为夕，若

sin°=cos®,求4的值

20.（本小题满分12分）

22

已知椭圆£+*=1（。>〃>0）的左焦点尸在直线3x-y+3五=0上，且

〃+6=2+&.

（I）求椭园的方程；

（II）直线/与椭圆交于/、C两点,线段力C的中点为M,射线与

椭圆交于点P，坐标原点O为△4。的重心，探求△/>/（?而枳S是否为定

仇，若是，求出这个值；若不是，求出S的取值范附.

高:理科数学第7页共8页

21.（本小题满分12分）

已知函数/（K）=2xlnx-ox2-2x+/（a>0）在其定义域内有两个不

同的极值点.

（I）求。的取值范围：

（II）设/（戈）两个极值点分别为芭,工2，证明：禽E>e.

（-）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做

的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

6

x=——t

在直角坐标系xoy中，已知直线/的参数方程为12。为参数）.

,1

y=l+,

以原点。为极点，K轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方

程为C:p2cos26M,直线/与曲线。交于45两点.

（I）求|48|的长;

（II）若点P的极坐标为（1微），求AB中悬M到尸的距离.

23.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

设函数f（x）=Ix-2|+2x-3,记的解集为M

（I）求“：

（II）当时，证明：x［/（x）F-//（x）&0.

高一:理科数学第8页共8页

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2021年普通高等学校招生第三次统一模拟考试

理科数学参考答案及评分标准2021.03

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

题号123456789101112

答案DBABABCCCBAD

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17—21题为必考题，每

个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分.

17.(本小题满分12分)

已知数列｛为｝是公差不为0的等差数列，q=3，%=4,

(I)求｛叫的通项公式4及前〃项和S.；

(II)求数列也｝的通项公式，并判断“与吃的大小.

解：(I)设q=〃，公冷为d,1分

则a(a+3d)=(a+d)2，----------------------------------------------------3分

解得d=q=3,-----------------------------------------------------4分

高三理科数学参考答案(共10页)

・5分

2

(n)「」_=卒，),

7分

Sa3n(n+\)3nzi+1

从而6“=-L+-L+“•+'-

9分

s、邑s„

1

—+•,,H--------10分

23n5

2

11分

3w+I

…219

故“<-<—.12分

"327

18.（本小题满分12分）

松山区教研室某课题组对“加强，语文阅读理解'训练对提高，数学应用题,得分率作

用”这一课题进行专项研究。为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加强，语

文阅读理解'训练对提高'数学应用题'得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅

读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学

生在数学应用题上的得分率基本•致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩

（均取整数）如下表所示：

60分以下61〜7071〜808]〜9091〜100

甲班（人数）36111812

乙班（人数）48131510

现规定平均成绩在80分以上.（不含80分）的为优秀.

（I）试分别估计两个班级的优秀率；

高三理科数学赛考答案（共10页）

（II）由以上统计数据填写下数2x2列联我,并问是否有75%的把握认为“加强'语文

阅读理解'训练对提高数学应用题'得分率"有帮助?

优秀人数非优秀人数会计

甲班

乙班

合计

参考公式及数据:

n(ad-be)2

其中八=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

PgNkJ0.400.250.150.1000.0500.0250.010

&0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

解：（1）由题意知：甲、乙两个班均有学生50人，

甲班优秀的学生人数为30人，优秀率为玲=60%--------------3分

25

乙班优秀的学生人数为25人，优秀率为17=50%.--------------6分

（II）2x2列联表如下:

优秀人数非优秀人数合计

甲班302050

乙班252550

合计5545100

高三理科数学参考卷案（共10页）

--------8分

因为2100x(30x25-20x25尸

K=——»1.010<1323.一10分

50x50x55x4599

所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强'语文阅读理解'训练对提芮数学应

用题'得分率”有帮助.--------------12分

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-48C0的底面是正方形，S£>_L平面488,SD=2a,AD=6a,

点E是SO上的点，且。£=&«0v/lV2）

<I）求证：对任意的2e（0,2］，都有

（H）设二面角C-AE-D的大小为仇直线BE与平面ABCD所成的角为8，若

sin。=cos。，求义的值

证明：（I）以。为原点，。/.。己,。«的方向分别作为'，V，z轴的正方向建立如图

所示的空间直角坐标系，则D（0,0,0）,A（,42a,0,0）8（"?,缶，0）,

C（0,五a,0）,E（0,OAa）,

商三理科数学参考答案（共10页）

5

,/AC=（-6a、6a,0）,

BE=（-,-五a,Aa）

ACBE=2a2—2a2+0人。=0,

ACLBE4分

（n）iii（i）

得EA=（后,0,-Aa）,EC=（0,缶,一人。）,8后=（一&凡一缶,Aa）.

设平面4CE的法向/为〃=（x，y,z）,则由i-L的得

f/r=0,\>/2x-Az=0,

匕；.反=0,、1岛Tz=0,

iRz=V2,W/i=（2,A,V2）---------------------------6分

易知平而45CO与平而力的一个法向用:分别为。6=（0,0,2〃）与Dd=（0,缶,0）.

DSBEA八|反"||2|，八八

.'.Sill（p=;..-vurrr=/:,COS0=|_...■=.---------10分

阿悭|Vp+4\DC[\n\&万+2

sin0=cos0

AA，­

即•L——:=7O4"=2

―2+4——+2

由于/e（0,2],解得即为所求.----------------12分

20.（本小题满分12分）

22

已知椭圆二+二=1（">/>>0）的左焦点F在直线3*-^+3应=0上，且

crZr

a+〃=2+0.

（I）求椭圆的方程；

高三理科数学参考答案（共10页）

（H）直线/与椭圆交于力、C两点，线段4c的中点为射线与椭

圆交于点P,坐标原点。为的重心，探求面积S是否为定值，

若是，求出这个值；若不是，求出S的取值范围.

解：（1）•・•直线3x-y+3jI=0与x轴的交点为（一五,0）,

-------------2分

-----------3分

-----------4分

.•.椭圆的方程为二+匕=1---------------------------------------5分

42

（ID若直线/的斜率不存在，则S=1・#-3=侦.----------6分

22

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=h+m.

代入椭圆方程可得（1+2/）丫2+4kmx+2,»:-4=0-----------------7分

设4（x”M）,C（x2,y2）,

n,4km2（”『-2）

则X+X,=---------7»X.-X,=--------;—,

12122

1+2Fi+2k

^,+y,=Ar（xl+.r2）+2m=-^p-,-8分

由题意点。为的重心，设P（.%，M））,

则为+广=0,

所以%=-（占+%）=若%，乂＞=-（乂+%）=-£^，

1十Z人1+

高三理科数学奉考答案（共10页）

x2v2

代入椭圆一+乙=1，

42

.nzn21+2K八

解得m=--------------------------------------------10分

2

设坐标原点O到宜线/的距离为d,

则4c的面积S=；»C|-3”

=iVi7F|x1-x2|-3-Ji=

2，1+内

2VI\+2k2)\+2k211

32圾即研了

=5i+2--------同

回+2叶竽应

\+2k241

二巫----11分

综上可得，A/VC面积S为定值观.---------------------------12分

2

21.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=2xlnx-ar2_2x+L(a>0)在共定义域内有两个不

同的极值点.

(I)求。的取值范围：

高三理科数学参考答案(共10页)

(II)设/(x)两个极值点分别为对占，证明：正々>e.

解：(I)依题，忸数八外的定义域为(0,+8),

所以方程/(幻=0在(0,+8)有两个不同根.

即方程lnx-ar=0在(0,+8)有两个不同根------------------------1分

令g(x)=\nx-ax,从而转化为函数g(x)有两个不同零点，

而g(x)=--a=-—―(x>0)----------------------2分

XX

a>0,当Ovxv，时，g(x)>0,当时，g(x)<0»,

aa

所以g(x)=Inx-ar在(0,』)上的调增，在(L,+8)上单调减，

aa

从而g(x)极大=g(J)=M-1---------------------4分

又丁当x-*0时，g(x)--oo,当X—+8时，g(x)-*-«>,

于是只须：

g(x)极人>0,即In—I>0»所以°<a<一,—----------5分

ae

(II)由(I)可知分别是方程lnx-at=0的两个根，

即In$=咐，lnx2=ax2,

TI"

设为>X2，作差得，卜工=(以「"2),即。=—三-------7分

x2X「Xz

原不等式..>e等价于x「X?>/

In.v,+Inx,>2a(x,+x,)>2<=>In—>~------------8分

x2X|+X,

令工=，，piij/>1,ln->I”[—也)u>Inr>——―.......................9分

x2x2X,+X,/+1

高三理科教学参考答案《共10页)

O-i）2

'设g（，）=ln,_2,]：）,,>[,

g'（,）=>0,

，（，+l）2

.••函数g（，）在（l,+8）上单调递增，-------------------10分

•••g（，）＞g⑴=0,即不等式•、，＞亚R成立，----------“分

Z+1

故所证不等式而E＞e成匕一12分

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做

的第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分1