2022-2023学年江苏省泰州市靖江某中学高一年级上册期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1.命题“3xe(l,E),』-8=0”的否定为()

22

A.Vx€(^o,l],x-8^0B.Vxe(^o,l],x-8=0

2

C.Vx€(l,-K»),丁_830D.Vxe(l,+oo),x-8=0

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定格式改写即可.

【详解】特称命题的否定格式：首先特称量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，

2

故原命题的否定为：Vxe(l,y),X-8^0

故选:C

2.下列各式中：①{0}«0,1,2}；②{0,1,2}a{2,1,0}；③0a{0,1,2}；@0={()}；⑤{0,1}={(()/)}；

⑥0={0}.正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.

【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；

②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}a{2,1,0},正确；

③空集是任意集合的子集，故0q{O,l,2},正确；

④空集没有任何元素，故0"。},错误；

⑤两个集合所研究的对象不同，故{(。,1)}为不同集合，错误；

⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；

，②③正确.

故选：B.

3.函数丫="订+」的定义域为()

X

A.{x|x>-l|B.{^xwO}

C.{小>-1且xwO}D.{巾2-1且xwO}

【答案】D

【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.

【详解】由函数解析式有意义可得

x+1之0且尢。0,

所以函数的定义域是卜卜》—1且XW0},

故选：D.

4.若a^R,则是"a>2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先根据二次不等式确定。的取值范围,然后再根据必要不充分条件的定义进行判断即可

【详解】由/>2a,得〃<0或a>2,

由于成立，推不出。>2一定成立,

而a>2成立，能推出/>2〃一定成立,

故"〃2>2a”是“a>2”的必要不充分条件.

故选：B

5.下列结论中一定成立的是（）

A.a>b+c=>(a-c)2>b2B.a>b=>\c+a\>\c-}-b\

a>b

C.11=>6/Z?>0D.a>b>c=(a_c>b>(b-c)

—<—

ab

【答案】C

【分析】A和B需考虑代数的正负号问题，进而判断不等式是否一定成立；对于C根据已知条件判

断以力是否同号即可；对于D,需考虑人为小数或者负数情况.

【详解】a>b+c=a-c>b,若0>a-c>b,则（〃一。『〈凡故A不一定成立;

a>b^>c+a>c+b,若0>c+a>c+b,贝ljv|c+Z?],故B不一定成立;

a>b

由，11可知。、Z?同号，因此而>0,故C一定成立;

—<—

ab

令。=0.7,匕=0.5,c=().3,("c)b=0.2,b-c=0.2,故D不一定成立.

故选：c

6.已知函数/(x+l)=2'—l,则/(log?()

A.-B.~C.—D.4

422

【答案】A

【分析】由题可得/(了+1)=2'-1,然后根据对数的运算性质及概念即得.

【详解】因为〃x+l)=2'—1,

故选：A.

7.已知函数〃x)=2x-l,集合A={1,2,3,4,5},8={3,4,5,6,7}.记集合M(相)e4,机eN*},

N=.则McW=()

A.{3,5}B.{1,2}C.{2,3}D.{3,4,5}

【答案】C

【分析】由题意得M,N后由交集的概念求解，

【详解】函数〃x)=2xT,若/(明AmrN",则〃/n)=l,3,5,解得m=1,2,3

所以M={1,2,3},

若〃〃)e3,”eN",则〃”)=3,5,7,解得％=2,3,4

所以N={2,3,4},

则M「N={2,3},

故选：C

|x+l|,x<2

8.己知函数/(x)=若存在使得/(%)=/(%)=/(毛)，则%+七+*3

x2-4x+},x>2

的取值范围是()

A.(0,㈣B.(△甸C.(0,76]D.(由，甸

【答案】C

【分析】设/a)=〃w)=/(w)=r，则直线尸,与函数"X)的图象有三个交点，分析可知点(X/)、

(电,/)关于直线x=-l对称，可得出Xj+X?的值，求出马的取值范围，由此可求得西+々+鼻的取值

范围.

【详解】设/&）=/&）=〃W）=/,作出函数“X）与y=f的图象如下图所示:

由图可知，当0＜f43时，直线，=f与函数/（x）的图象有三个交点，

由图可知，点（芭"）、（电"）关于直线x=-l对称，则不+毛=-2,

且函数在（2,+8）上为增函数，

由/（不）=W2-4%,+1«0,3],因为三＞2,解得2＜吃42+卡,

所以,%+々+七=鼻-2G（0,"].

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称

性，求出芭+々，结合不等式求出4的取值范围，进而求解.

9.已知集合A={x|x=3k-l,keZ},8={x|x=3A,左eZ},C={x|x=6^-l,^eZ}.若awA,beB,

ceC.则下面结论中一定正确的是（）

A.c一〃EAB.a—ceBC.a+bsCD.a+h+c^B

【答案】B

【分析】根据集合的定义，设出的形式，计算后再根据集合中代表元素形式判断.

【详解】由题意，设〃=3加-1力=3〃,。=6〃一1,也几〃£2,下面的2〃一九,加一22,加+〃,租+〃+2,均

为整数，

贝ljc-b=3（2p-n）任A,a-c=3（m-2p）GB,

a+/?=3（机+〃）一1£A,桃+〃不是偶数时，a+b^C,

a+b+c=3(m+n+2p)-2^B,

故选：B.

二、多选题

10.下列图象中，表示函数关系y=/（x）的有（）

【答案】BC

【分析】根据函数概念逐一判断即可.

【详解】解：根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出,

对于A,当x=（）时，y有两个值与其对应，不符合；

对于B,符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；

对于C,符合一个X有唯一的y对应，可表示函数关系；

对于D,当x=i时，y有无数个值与其对应，不符合；

故选：BC.

11.下列命题中，假命题的是（）

A.a+6=0的充要条件是f=B.VmeR,2",>nr

b

C.若x+y>2,则X,y至少有一个大于1D.玉eR,X2+2<0

【答案】ABD

【分析】通过特殊值判断A,B的正误；通过不等式的基本性质判断C的正误；利用命题的否定形式

判断D的正误.

【详解】解：对于A,当。=。=0时，满足a+b=O,但告=-1不成立，故A为假命题；

b

对于B,当x=T时，2-'=1<(-1)2=1,故B为假命题；

对于C,若x41,y41,则x+y42,所以若x+y>2,则x,y至少有一个大于1,故C为真命题;

对于D,VxeR,父+2>0,故不存在xeR,x2+2<0>故D为假命题.

故选：ABD.

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛

顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设xeR,用[可表示不超过x的最大整数,

则〃x)=[x]称为高斯函数.例如：卜3.5]=-4,[2.1]=2.则下列命题中正确的是()

A.3x,yeR,[x]+[y]>[x+y]

B.若，f(x)=[x],g(x)=x—国，则方程〃g(x))=O的解集为R

C.对于任意实数x,V,/(引=〃力是卜-)卜1成立的充分不必要条件

D.设{x}=x-[x],则函数%(x)=2x{x}-x-l的所有零点之和为-1

【答案】BCD

【分析】对于A,根据高斯函数的定义，设％=[旬+。,(04。<1),y=[y]+，,(O43<l),求[x+y],

根据参数的取值范围，可得答案；

对于B,根据高斯函数的定义，结合方程的求解，可得答案；

对于C,根据充分不必要条件，同A,设出表示，作差，可得充分性，举反例，可证必要性；

对于D,分x是否为整数进行讨论，可得函数{x}=x-[x]的性质，进而化简函数刈句或研究其奇偶

性，可得答案.

【详解】对于A,iSx=[x]+a,(O<a<l),y=[y]+b,(O4b<l),则x+y=[x]+[y]+a+b,所以

[x+y]=[[x]+3+a+6]=[x]+[y]+[a+句，

因为04a<1,046<1,所以04a+/?<2,所以[°+。]20,则[x+y]w[x]+[)，],故A错误；

对于B,因为当04x<l时,/(x)=[x]=0,所以方程/(g(x))=0等价于04g(x)<l,

又因为国表示不超过x的最大整数，所以04x-[x]<l恒成立，即对任意xeR,04g(x)<l恒成

立，

所以方程/(g(x))=。的解集为R,故B正确；

对于C,设犬=国+4(04”<1),y=[y]+O,(O46<l),由[x]=[y],则x_y=0_6,易知

设x=1.5,y=2.4,则|x—y|=|L5—2.4|=0.9<l,但[同=1,3=2,

故对于任意实数x,丫，f(x)=/(y)是|x-乂<1成立的充分不必要条件，故C正确；

对于D,当x为整数时，{x}=x—[x]=O；

当x不是整数时，设|x|的整数部分为c,小数部分为d,则…+d,当x>0时，c+d",则[x]=c,

此时-x<0,则-x=-(c+d)2-(c-1),即[-x]=-c+1,

故[x]+[-x]=l,则{*}+{-4="一[司+(-工一[一目)=1.

当X为整数时，/7(X)=-X-I,令〃(力=0,解得尤=-1,此时函数〃(X)的零点为T；

当x不是整数时,/?(—x)=2.(—月{—%}—(―x)—1=—2x(1—{x})+x—1=2x{x}—x—1=/i(x),

故函数妆X)为偶函数，则若存在零点，此时函数〃(X)的所有零点之和为o.

综上所述，函数〃(x)的所有零点之和为-1,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.已知集合{1,加}1{1,肛4},则实数，"的取值集合为.

【答案】{0,2,-2}

【分析】根据集合间的包含关系，得到元素与集合的关系，即可得到实数加的取值集合.

【详解】解：集合{1,浮}U{1,肛4},则We{i,狐4}

m21tn2w1

tnr2=tn八m2=4_

所以■="=0或"=>〃?=±2

机H1m01

机w4#4

所以实数机的取值集合为：{。,2,-2}.

故答案为：{0,2,-2}.

14.若一次函数/(x)满足：对任意x都有疗'"+1)+/1)=2/+2犬+1,则“X)的解析式为

【答案】〃x)=x+l

【分析】设/(x)=履+乩代入题干等式，化简，即可求得％=11=L

【详解】设一次函数f(x)="+b,

A/'(X+1)+/.(巧=班(x+l)+仪+小+h-2x2+2x+l,

化简得：(2A—2)x?+(&+6—2)x+6-1=0,

因为对任意x,上式都满足，取x=0和x=l代入上式得:

2k-2+k+b-2+b-\=0

,解得:k=l,b=\,

b-\=0

所以y(x)=x+i.

故答案为：〃x)=x+L

15.己知不等式加+fec+c>0的解集为(1,2),则不等式不时>1的解集为

【答案】

【分析】根据题意结合韦达定理即可得出4C之间的关系，然后将分式不等式转化为整式不等式,

即可求得结果.

【详解】因为不等式Q2+法+00的解集为(1,2),

所以1和2是方程ox?+bx+c=0的两根，且〃<0,

14-2=—

h=—3a

由韦达定理可得〃=>

c=2a

1x2=-

n.f-r-A.A*_U"/I、rCIX,„X<4x—2八

则不等式3---->1可化为二———>1,即n—~->1=>—~~->0

bx+c-3or+2。-3X4-2-3X4-2

10

即(4x—2)(3x—2)<0,解得5Vx

所以不等式解集为卜;<X<|

故答案为：

16.已知/(x),g(x)是定义在R上的函数，其中“X)是偶函数，g(x)是奇函数,且

/(耳+8(同=』+办+2,若对于V±,x,w(T,2),都有现也上泗⑷<1(x产多)，则实数。的取

七一玉

值范围是.

【答案】

【分析】根据函数奇偶性求得g(x),再根据函数的单调性求参数范围即可.

2

【详解】根据题意，/(x)+g(x)=x+ar+2)贝iJ/(—x)+g(—x)=f-⑪+2,

又f(x)是偶函数,g(x)是奇函数，贝ij"x)—g(x)=x2—or+2,故可得g(x)=^=or；

因为对于V%,x,«T2),都有现U空1。(胎为)，即回2上画巫J<o,

x2-X)9一七

故〃(x)=xg(x)-工=依2-X在(一1,2)单调递减；

当〃=0时，〃(x)=-x满足题意；

当a>0时，要满足题意，则^*2,解得〃€(0二］；

2aI4J

当a<0时，要满足题意，则I,解得ae--,0|；

2aL2J

综上所述，a的取值范围为：总：.

故答案为：-H.

【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是要根据受乳止蟹®<1构

工2一%

造/?(x)=xg(x)-x,属中档题.

四、解答题

17.已知集合4=卜,<4},B^{x\\x-a\<2}.

⑴若。=1,求

(2)若Ac3=0,求实数。的取值范围.

【答案】⑴{x|-2<y}

⑵。“或a4T

【分析】(1)解一元二次不等式，利用集合并集的运算方法可求解;(2)根据若AcB=0,结合数轴观

察求解.

【详解】(1)由/<4得(x+2)(x-2)<0解得—2<x<2,

所以A={x[-2c<2},

因为。=1,所以|x-l|W2,BPX2-2X-3<0,解得—14X43,

所以8=国—1W},

所以Au8={x|-2<x43}.

(2)由(1)得A={x[—2<x<2},

由—M2得(x—ci+2)(x-a-2)40

解得a-24x4a+2,所以8={x|a-24xMa+2},

因为AcB=0,所以a-2N2或a+24-2,

解得q±4或a<-4.

18.(1)计算：的"+/-2丫+1g5.1g20+(1g2>；

(2)已知咋23=优，2"=5>试用加，"表示log490.

【答案】(1)0；(2)g(l+2m+〃)

【分析】根据指数式与对数式的运算性质，可得答案.

【详解】(1)

，222

(x/3),+^27+lg51g20+(lg2)=l+(-2)+lg5-lg(4x5)+(lg2)=-l+lg5(lg4+lg5)+(lg2)

22222

=-l+(lg5)+21g21g5+(lg2)=-l+(lg5+lg2)=-l+[lg(5x2)]=-l+(lgl0)=-1+1=0.

25

(2)log490=log22(2x3x5)=(log22+2log23+log25),由2〃=5,WJlog2=，且log23=",

EPlog490=g(l+2/兀+〃).

Q

19.(1)当x>3时，求函数y=2x+----^的最小值；

x-3

1Q

⑵若正数〃为满足2j=6,求不+］的最小值.

【答案】⑴14

QQ

【分析】(1)由x>3,将函数y=2x+—^构造基本不等式丫=2(犬-3)+—-+6,利用基本不等式

x-3x-3

就可以求出函数的最小值；

(2)由a>0,b>0,且满足2a+6=6,则有2(a+l)+b=8,即四+2=晨所以

48

f—T+=+Q/++1,再利用基本不等式就可以求出最小值

+1b八48J48(a+l)b

QQ

【详解】(1)由x>3,所以x—3>0,所以y=2xd----=2(x—3)H-----+6

x-3x-3

>2^2(x-3)x-^+6=8+6=14

Q

当且仅当2(x-3)=工；即x=5时，函数取到最小值14.

x-3

(2)由。>0,。>0,且满足2a+。=6,则有2(〃+1)+匕=8,

印、/18、(a+lb\1b2a+1,

所以I----+-x----+-=-+------+—-----+1

"16八48)48(a+l)b

>^+2.'b驷2+i=2

8(a+l)xZ?44

当且仅当品2(4+1)即中等时,

b

iQQ

k+g有最小值“

20.己知函数人力=与空为［-2,2］上的偶函数.

(1)求实数。的值;

(2)证明函数/(x)为［0,2］上的增函数;

(3)若/(1-///)>/(2/«+1),求实数机的取值范围.

【答案】(1)。=0

(2)证明见解析.

(3)—1<m<0

【分析】(1)根据偶函数的定义即可求解;(2)利用函数单调性的定义证明;(3)利用函数奇偶性和单调性

解不等式.

【详解】（1）由题可知Vx«—2,2］J（—x）=/（x）,

即匕回=耳回，即卜x+a=k+a，

x2+4x2+4

两边平方整理得4奴=（）,由于2,2］,所以。=0.

（2）由（1）知，/（x）=-^L,当xe［0,2］时/口卜三7,

VJ^,X2G［0,2］,%）<x2,

C(\\X\X1xx2+4x-xx2-4x

‘⑺一"々)=尹一击r-i9谆;4|)右2i4)9一

二4（%一々）+3々（々一为）（占一々）（4-卒2）

222

«+4）（X2+4）（X,+4）（X2+4）1

因为\/%,毛G[0,2],%!<x2,所以％-々<0,xtx2<4,

所以（片一％2）（4-再々）<0,

且（*+4）3+4）>0,

所以（动<0,即〃％）<〃%）,

所以“X）为［0,2］上的增函数.

（3）由（2）可知，〃x）在［0,2］上单调递增，且/（x）为偶函数,

所以/（X）在［-2,0］上单调递减，

由/（1—机）>/（2加+1）得，

-2<1-zn<2

--2<2w+l<2,解得一

|1-»i|>|2w+l|

21.己知函数y=2d-（4机+3）x+6m.

⑴若y20在R上恒成立，求实数m的值;

y<0

（2）若不等式组的解集中的整数解只有1,求实数加的取值范围;

x2+x>0

⑶是否存在实数c,使得y+（，〃+l）x40的解集为［c,c+l］?若存在，求出实数c的值；若不存在,

请说明理由,

3

【答案】⑴，，，2

(3)存在c=3或c=0

【分析】利用A40即可求出〃?的值.

分类讨论即可得到〃2的范围.

假设C存在利用韦达定理即可求得C的值.

【详解】(1)由已知丁之。在R上恒成立，所以A=(4〃7+3)2-4x2x6帆40

3

即16，〃2—24川+9=(4机—3)7~<0,故4"?-3=0=>m=—

fy<0(2x2-(4m+3)x+6/77<0f(2x-3)(x-2/?i)<0

⑵因为［八》>0，所以［《1则o・・・［H-1则0

因为解集中的整数解只有1,故2根<1,〃?<!

2

C3

2m<x<—

故2

武-1或»0

又因为解集中的整数解只有1,A2m>-2,m>-\

所以〃?的取值范围为-1，；)

(3)假设存在实数c,使得y+(m+l)x40的解集为［c,c+l］成立

y+(/?7+l)x<0,即2x2—(4/w+3)x+6m+(/72+l)x<0

2x?-(3/%+2)x+6/%W0解集为[c,c+l],

।3m+2

c+c+l=--------,3

所以2将^代入

c(c+l)=3/n

g3

整理得一m2+—m=3m=>m2—4m=0

164

得〃z=4或m=0,故c=3或c=0

所以存在c=3或c=()符合题意.

22.已知函数/(x)=(x—。)国+1.(其中〃>0)

⑴若“X)在R上有两个零点，求实数。的值；

⑵若对任意再,使得/(%)-〃3142a恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴"2

⑵(0,8]

【分析】(1)将函数写成分段函数的形式，分xNO、x<0结合二次函数的性质说明函数的单调性,

即可得到函数/(X)在(-8,0)上必有一个零点，要使函数在R上有两个零点，只需羡]=0,解得

即可；

⑵依题意可得“力四一xe[-i,a-i\,对“一1分“一/0、0<«-l<p卜-1三

种情况讨论，分别求出函数的最值，即可求出参数的取值范围.

【详解】(1)解：/(x)=(