人教A版选择性必修第二册42等差数列的概念

等差数列的概念

=基础练少=(30分钟60分)

一、选择题(每题5分，共30分，多项选择题全部选对得5分，选对

但不全的得2分，有选错的得0分)

1.｛即｝为等差数列，a?+as=12,那么as等于()

A.4B.5C.6D.7

【解析】选2+a8=ai+d+ai+7d=2ai+8d=12,所以a1+4d=6，所

以as=6.

2.等差数列｛aj中，a3=7,a5=13,那么a7=()

A.16B.17C.18D.19

【解析】选D.由等差数列的性质可得2a5=a3+a7z

所以a7=2a5-a3=19.

3.假设等差数列的前3项依次是x-1,x+1,2x+3,那么其通项

公式为()

A.an=2n-5(n£N*)B.an=2n-3(n£N*)

C.an=2n-l(nEN*)D.an=2n+l(n£N*)

【解析】选B.由于x-1,x+1,2x+3是等差数列的前3项,所以

2(x+l)=x-l+2x+3,解得x=0.

所以a]=x-1=-1,a2=1,a3=3,

所以d=2,所以an=-1+2(n-1)=2n-3(n£N*).

4.在数列｛a"中,ai=1,an+i-an=2,nWN*,那么a?5的值为()

A.49B.50C.89D.99

【解析】选A.由于ai=l,an+1-an=2,nGN\所以数列｛aj是等差

数列,那么a25=1+2x（25-1）=49.

5.数列｛an｝是等差数列，数列｛bn｝分别满意以下各式，其中数列

｛bn｝必为等差数列的是（）

A.bn=|an|B.bn=a：

C.b=D.b=-y

ndnn乙

【解析】选D.设数列｛即｝的公差为d,

选项A,B,C,都不满意bn-bn-尸同一常数，所以三个选项都是错

误的；

d

।…Q-1-1-

对于选项D,bn-bn-1=-ny+；2

所以数列｛bn｝必为等差数列.

6.（多项选择题）假设数列｛“｝满后、ai=1,3an+l=3an+1,n£N*,那

么数列｛册｝是（）

A.公差为1的等差数列

B.公差为;的等差数列

C.通项公式为an=§+|的等差数列

D.通项公式为an=^+1的等差数列

【解析】选BC.由3an+1=3an+1,得3an+i-3an=1,即an+i-an=1.

所以数列｛an｝是公差为g的等差数列.又由于ai=1,得到an=l+

(n-1)x；=£+|,应选BC.

二、填空题(每题5分，共10分)

7.在等差数列｛%｝中，假设a1=5,d=2,那么a10=；假设

ai=3,d=4,an=59,3B么n=.

【解析】aio=ai+(10-l)d=5+9x2=23.由于an=a]+(n-l)d,所以

59=3+4(n-1),解得n=15.

答案：2315

8.等差数列1,-1,-3,-5,...,-89的项数为.

【解析】由于ai=1,d=-1-1=-2,

所以an=ai+(n-l)d=-2n+3.

由-2n+3=-89,得n=46.

答案：46

三、解答题(每题10分，共20分)

9.等差数列｛an｝满意ai+a2=10,34-a3=2.

(1)求首项及公差；

⑵求｛aj的通项公式.

【解析】(1)设等差数列｛aj的公差为d.

由于a3=2,所以d=2.

又由于a】+a2=10,

所以2ai+d=10,故a1=4.

(2)由⑴可知an=4+2(n-l)=2n+2(n=l,2,…).

10.等差数列｛a"：3,7,11,15,....

(1)135,4m+19(m£N*)是数列｛aj中的项吗？试说明理由；

(2)假设ap,aq(p,q£N*)是数列⑶｝中的项,那么2ap+3aq是数列｛aj

中的项吗？并说明你的理由.

【解析】由于ai=3,d=4,

所以an=a1+(n-l)d=4n-1.

⑴令an=4n-1=135,所以n=34,

所以135是数列｛aj中的第34项.

令an=4n-1=4m+19,那么n=m+5£N*.

所以4m+19是｛aj中的第m+5项.

(2)由于ap,(是｛a)中的项,

所以ap=4p-1,aq=4q-1.

所以2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)

=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1,

由于2P+3q-1£N*,

所以2ap+3aq是｛加｝中的第2P+3q-1项.

=提升练?=(35分钟70分)

一、选择题(每题5分，共20分，多项选择题全部选对得5分，选对

但不全的得2分，有选错的得0分)

1.给出以下命题：

①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；

②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列；

③等差数列的通项公式肯定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数)；

④数列{2n+1}(n£N*)是等差数列.

其中正确命题的序号是()

A.①②B.①③C.②③④D.③④

【解析】选C.依据等差数列的定义可知，数列6,4,2,0的公差为

-2,①错误；

对于②，由等差数列的定义可知，数列a,a-1,a-2,a-3是公差

为-1的等差数列，所以②正确；对于③，由等差数列的通项公式an

=a1+(n-l)d,得an=dn+(ai-d),令k=d,b=a1-d,刃B么an=kn

+b,所以③正确；对于④,由于an+i-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2,

所以数列上n+1}(n£N*)是等差数列.所以④正确.

2.我国古代闻名的?周髀算经?中提到：凡八节二十四气，气损益九

寸九分六分分之一；冬至暑(gui)长一丈三尺五寸，夏至暑长一尺六

寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度

差为9年分；且“冬至〃时日影长度最大，为1350分；“夏至〃时日

影长度最小，为160分.那么“立春〃时日影长度为()

国长逐渐变小

一心

春

,分

清

雌

明

谷

舞O

乜

春

冬

21

大

1220

大

暑

秋

立

。15

处50

暑

21降

霜

唇长逐渐变大

；分B.1052；分

25

C.1155分D.125监分

【解析】选B.一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长

度差为99t分，

且“冬至”时日影长度最大，为1350分；

“夏至〃时日影长度最小，为160分.

从“冬至〃至『，立春〃有：“小寒〃和“大寒〃，且日影长变短，所以“立

春〃时日影长度为：

(1190)1八

1350+1-x3=10521(分).

2

3.在等差数列｛a/中,a2,ai4是方程x+6x+2=0的两个实根,那

么---=()

a2ai4、'

B.-3C.-6D.2

2

【解析】选A.由于a2,aM是方程x+6x+2=0的两个实根，所以a2

+an=2a8=-6,a8=-3,a2-a14=2,

所以氏=一1•

a2a14，，

4.（多项选择题）等差数列｛aj的首项为a,公差为1,数列｛1｝满意

3六7・假设对任意心*，山，那么实数a的可能取值是（）

A.-7B.-6.5C.-D.-6

【解析】选BC.由于⑶｝是首项为a,公差为1的等差数列，所以an

=n+a-1.所以bn='=1--'-.

an+1n+a

又由于对任意的nWN*,都有b£b6成立，

可知」一<—，又由于数列｛册｝是递增数列，

6+an+a

那么必有7+a-1<0且8+a-1>0,所以-7<a<-6.

二、填空题（每题5分，共20分）

5.｛aj为等差数列，假设a2=2a3+l,a4=2a3+7,那么a3=.

【解析】由于｛M｝为等差数列,a2=2as+1,=2a3+7,

fai+d=2（ai+2d）+1

所以r、，

ai+3d=2〔ai+2d〕+7

解得a】=-10,d=3,

所以a3=a1+2d=-10+6=-4.

答案：-4

6.数列｛%｝中,33=2,37=1,且数列为等差数列，那么a5

1

【解析】由数列；7；为等差数列，

dn十1

那么有一14+—1二一?▲二，可解得a5="7.

23+1a7+135+13

7

筠安­—

口木,5

7.数列｛aj满意：log2an+i=1+log2an，假设a3=10,那么a8=

【解析】log2an+i=1+log2an,所以log2an+i-Iog2an=1,

所以｛logzaj为等差数列，公差为1,第三项为log210,

所以log2a8=log210+5,

所以a8=320.

答案：320

8.在下面的数表中，每行、每列中的数都成等差数列.

第1歹1」第2列第3列•.,

第1行123•..

第2行246•..

第3行369•..

•・・•・・•・•・・・・・.

那么位于表中的第n行第(n+1)列的数是_______.

【解析】由题意可得，第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n

为首项，n为公差的等差数列，其中第(n+1)项为n+n.n=I?+n.所以

题表中的第n行第(n+1)列的数是n2+n.

答案：W+n

三、解答题(每题10分，共30分)

2x1

9.f(x)=，在数列｛Xn｝中，X1=彳,x=f(x-])(n>2,neN*),

x+23nn

试说明数列出是等差数列，并求X95的值.

【解析】由于当n>2时，Xn=f(xn-1),

2xn-12xn-1-2xn

所以Xn=---------(n>2),即xnxn-]+2xn=2xn-I(n>2),得---------

Xn-1+2XnXn-1

=l(n>2),

即J-；(n>2).

XnZ

Xn-1

又J=3,所以数列｛是以3为首项，1为公差的等差数列，所以

11n+5

工=3+(n-l)x-=—,

所以Xn=」2,

n+5

一21

所以X95=；-----=而.

95+55()

2

10.数列｛an｝满意ai=1,an+i=(n+n-X)an(n=1,2,...)，九是常数.

⑴当a2=T时，求入及a3的值；

⑵是否存在实数X使数列｛%｝为等差数列？假设存在，求出X及数列

｛an｝的通项公式；假设不存在，请说明理由.

【解析】⑴由于“+1=(n2+n-X)a„(n=1,2,...),

Sai=1.

所以当a2=-1时，得-1=2-入，故九=3.

2

AffOa3=(2+2-3)x(-1)=-3.

⑵数列｛%｝不行能为等差数列，

2

证明如下：由a1=1,an+i=(n+n-X)an,

得32=2-X.,as=(6-九)(2-入),

34=(12-九)(6-九)(2-入),

假设存在入使⑶｝为等差数列，

那么as-a2=U2-ai,即(5-九)(2-X)=1-X,

解得X=3.于是a2-ai=1-X=-2,

34-a3=(ll-X)(6-入)(2-k)=-24.

这与｛an｝为等差数列冲突.所以，不存在入使⑶｝是等差数列.

.6Sn~4/\

11.数列｛aj满意an+i=------，且ai=3(n£N1.

a。+2

f11

⑴证明：数歹I」「是等差数列；

加一二

(2)求数列｛aj的通项公式.

6a~4

【解析】(1)由于an+l=n,

即+2

1]

所以=1,=

ai-23-2an+1-26an-4

--------2

an+2

an+2(an-2)+4[j

an+2

-----二-------------+—即

面-4)-2(an+2)4an-84卜-2)an-2----，

111