九年级上册数学第5章教学设计-教案

基本信息

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年级九年级教科书版本及章节苏教版九上第5章

单元（或主题）教学设计

单元（或主题）名称

1.单元（或主题）教学设计说明

（依据学科课程标准的要求，简述本单元（或主题）学习对学生学科素养发展的价值；简要说明教学

设计与实践的理论基础。学习单元可以按教材内容组织，也可以按学科学业发展和学科核心素养发展

的进阶来组织，还可以按真实情境下的学习任务跨学科组织。）

本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，

是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，

它既是其他学科研究时所采用的的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模

型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数的图像抛物线，既是人

们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥。

和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数研究

将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。

能用表格、表达式、图像表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考能力和语

言表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。会做二次

函数的图像，并能根据图像对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。

能根据二次函数的表达式确定二次函数图形的开口方向、对称轴和顶点坐标。能根据已知

条件确定二次函数的表达式。能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预

测。

2.单元（或主题）学习目标与重点难点

（根据国家课程标准和学生实际，指向学科核心内容、学科思想方法、学科核心素养的落实，设计单

元学习目标，明确重点和难点）

1.使学生经历探索:分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用

数学的方法去描述变量之间的数量关系；

2.能用表格、关系式、图像表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和语言

表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；

3.会作二次函数的图像，并能根据图像对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般

函数性质的经验；

4.能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；

5.能根据二次函数的性质解决实际问题。

重点：二次函数的表达式及图形性质、二次函数的应用。

难点：二次函数的应用、二次函数与方程关系。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）

（介绍单元整体教学实施的思路，包括课时安排、教与学活动规划，以结构图等形式整体呈现单元内

的课时安排及课时之间的关联。）

[]

二次函数解四种（项,支）

析式的术法设法[两取]

-[对低点式]

第1课时教学设计（其他课时同）

课题5.1二次函数

新授课J章/单元复习课口专题复习课口

课型

习题/试卷讲评课口学科实践活动课口其他口

1.教学内容分析

二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的.是学生在学习了函数、

一次函数、正比例函数的基础上呈现的.本节的内容主要是二次函数所描述的关系，重点

是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用

二次函数表示变量之间关系的体验.本节课是学习二次函数的基础，是为后面学习二次函

数的图像做铺垫，所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用.

2.学习者分析

（学生与本课时学习相关的学习经验、知识储备、学科能力水平、学生兴趣与需求分析，学生发展需

求、发展路径分析，学习本课时可能碰到的困难）

本节课从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系实际生活问题，使学生好奇而愉快地感受二

次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值.在教学中，让学生通过观察、思考、合

作、交流，归纳出二次函数的概念，从而理解二次函数的定义.这堂课依据新课程“以人

为本”、“以学生为中心”的教学理念，努力创设一种轻松愉悦、民主和谐的教学关系.注

重学生的个体差异，让不同层次的学生充分参与到数学思维活动中来，充分发挥学生的主

体作用.

3.学习目标确定

（根据国家课程标准和学生实际，指向学科核心内容、学科思想方法、学科核心素养的发展进阶，描

述学生经历学习过程后应达成的目标和学生应能够做到的事情。可分条表述）

1.通过对实际问题情境分析，确定二次函数的关系式，体会二次函数的意义.

2.通过实例分析，进一步感受函数的要素和自变量取值范围的确定.

4.学习重点难点

重点：确定二次函数的表达式，对二次函数概念的理解.

难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.

5.学习评价设计

（从知识获得、能力提升、学习态度、学习方法、思维发展、价值观念培育等方面设计过程性评价的

内容、方式与工具等，通过评价持续促进课堂学习深入，突出诊断性、表现性、激励性。体现学科核

心素养发展的进阶，课时的学习评价是单元学习过程性评价的细化，要适量、适度，评价不应中断学

生学习活动，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度）

本节课我设计了问题情境一一自主探究一一拓展应用的课堂教学模式，以学生探究为

主，配合多媒体辅助教学，从现实生活中大量的函数关系中抽象出二次函数的概念.在教

学过程中，教师将问题式教学法、启发式教学法、探究式教学法、情境式教学法、互动式

教学法等多种教学方法融为一体，注重教学与生活的联系，创设富有挑战性的问题情境，

引导学生用数学的眼光看问题，发现规律，验证猜想.即体现了老师导的作用，也充分体

现了学生自主学习和互帮互助、互学互评的生生交往.

6.学习活动设计

教师活动学生活动

环节一：知识回顾

教师活动1学生活动1

我们学过的函数有几种？你能分别写

学生回忆表述，教师书写.

出它们的表达形式吗？

一次函数：y=kx+b(k=0)

正比例函数：y=kx(kWO)

反比例函数：y=-(kWO)

AT

活动意图说明：通过“温故”，重新唤起学生对变量、函数等概念的理解，能让他们回

忆学习函数的过程，又为学生探究二次函数的概念作铺垫.

环节二：情境创设，引出关系

课件展示：

在学生熟悉的情境中解决问题.

1.一粒石子投入水中，激起的波

纹不断向外扩展.

形成的圆的面积S与半径r之间的函

数关系式是_________________.

这个问题中哪些是变量？哪个是

自变量？

2.用16米长的篱笆围成长方形

的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔

的活动范围最大？

在这个问题中，可设长方形生

物园的长为X米，则宽为

米，如果将面积记为)，平方米，那么y

与X之间的函数关系式为

y=_________________,整理为

y=__________•

这个问题中哪些是变量？哪个是

自变量？

3.一面长与宽之比为2:1的矩形

镜子，四周镶有边框。已知镜面的价

格是每平方米120元，边框的价格是

每米30元，加工费为45元。若设镜

面宽为x米,那么总费用y为多少元？

在这个问题中，设镜面宽为x米，则

长为m,镜面面积为_______m2,

镜面费用为

元，即________元；边框的费用为

元，即___________元；加工费为

元，所以总费用y（元）与镜面宽x（m）

之间的函数关系式是

y=___________________•

这个问题中哪些是变量？哪个是自变

量？

探究归纳：

1.上述函数关系式有哪些共同之处？学生分组讨论，每个同学都把自己的观点表达

2.它们与一次函数、反比例函数关系出来，每个小组派代表展示交流.

式有什么不同？

给学生熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的概念做好铺垫，并让学

生感受的数学就在我们身边，激发学生学习数学的兴趣、好奇心和求知欲趣，使学生

体会数学与现实生活的密切联系.通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深学生

对概念的理解，为解决问题打下基础.图说明

环节三：自主归纳，形成概念

1.一般地，我们把形如：y=_______让学生们讨论、归纳出函数表达式的共同特

的函数叫做二次函数.其中是自征，得出二次函数的概念.

变量，_____是因变量，这是_____关

于_____函数.

2.一般地，二次函数>=以2+bx+c（a

#0）中自变量x的取值范围

是____________.但在实际问题中，他

们的取值范围往往有所限制，你能说

出上述三个问题中自变量的取值范围

吗？（学生讨论）

①________________②______________

③—

引导学生对比前面得到函数解析式以及一次函数的定义，通过自主归纳并小组讨论后，

得到二次函数的概念.

7.板书设计（书完整呈现教与学活动的过程，最好能呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点。

使用PPT应注意呈现学生学习过程的完整性）

5.1二次函数

定义：y-ax2+hx+c(aWO)

8.作业与拓展学习设计

1.观察下列函数：（D^=-V+3,@y=2x2-5x+l,（3）y=3x（x-l）,@y=x-3,⑤y=x?-3x3

X

中，二次函数是：____________________.

2.下列函数关系中，满足二次函数关系的是（）

A.圆的周长与圆的半径之间的关系；

B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量的关系；

C.圆柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系；

D.距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系.

3.若一个边长为XCR的不章正方体形纸盒的表面积为yc/,则丁=___________,其中x

的取值范围是_________________.

4.如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积y（m2）

与路宽x（R）之间的函数关系式：y=__________.

5.如图，用100芯的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积

y（m2）与它与墙平行的边的长工（向之间的函数关系式：y=_________________.

尸:///“//

1■X-------------►

9.特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写）

设置一系列问题情境，让学生根据已有经验自主探索，得出二次函数的定义。并能判断一个函数是否

是二次函数。

10.教学反思与改进（单节课教与学的经验性总结，基于学习者分析和目标达成度进行对比反思，教学

自我评估与教学改进设想。课后及时撰写，突出单元整体实施的改进策略，后续课时教学如何运用本

课学习成果，如何持续促进学生发展）

1.夯实了本科学习的基础，由具体问题情境入手，为本课的顺利进行提供了保障。

2.注重学生探索中的发现规律，培养学生归纳总结知识的习惯，这样调动了学生学习的积极性，体现

了学生的主体地位，整节课堂学生都参与其中，检测的效果也很好。

3.热情不够，没有积极调动学生学习的热情的语言，感染力不足。今后备课时要重视创设丰富而风趣

的语言，来调动学生的积极性。

第二课时5.2二次函数的图像与性质

1.利用几何画板动态实时功能，探究图像与系数的关系

探究活动一

依据已有的经验，你认为二次函数图像的不同与什么有关呢？

第一步：观察函数图像，猜想变化关系

（1）利用几何画板绘制二次函数图像.

（2）分别拖动A、B、C三点，观察a、b、c值和函数图像的变化情况.

第二步：变化函数数据，验证直观猜想

（3）慢慢拖动点A,观察思考：影响图像开口方向的因素是什么？影响开

口大小的因素是什么？

（4）慢慢拖动点B,观察思考：能看出图像沿怎样的路径运动吗？开口情

况会变化吗？

（5）慢慢拖动点C,观察思考：能看出图像沿怎样的路径运动吗？为什么

会这样？

第二步：汇总函数数据，形成探究结论

（6）缺项探究，完成表7各：

系数表达式图像图像特点

a#0b#0c#

0

a=0b#0c#0

aWOb=0c#0

aWOb#0c=O

a=0b=0cWO

a=0bWOc=0

aWOb=0c=0图1

a=0b=0c=0

（7）写出二次函数图像与系数的关系.

教学策略分析：在学生掌握了二次函数的基本概念及图像的作法，对二次函

数的图像有了基本认识和具体经验之后，教师首先让学生基于经验进行猜想，

然后将制作好的几何画板文件（图1）分发给学生（图中A、B、C分别是垂直于

X轴的的直线上的点，a、b、c是A、B、C三点的纵坐标，以a、b、c为系数建

立函数y=ax2+bx+c).接着，教师指导每位学生在学生端电脑操作，通过几何画

板动态实时演示，形成猜想.再通过“控制变量”演示，验证猜想.从而体会

函数解析式中系数对函数图形的形状、大小和位置的影响.最后让学生根据活

动填写表格，形成明确的结论.经历从特殊到一般的归纳与猜想、再从一般到

特殊的推广与验证的过程，发展学生的推理能力.

媒体辅助策略分析：几何画板的直观展示是实时的，其利在于提高课堂呈现

的效率，其弊在于失去了好奇与想象的机会.因此，在提出问题后、动手操作

前，必要的是：引导学生进行大胆的猜测和充分的表达，并将学生的猜测进行

合理的串联.以便充分调动学生情绪，激发学生学习的主动性和积极性，为动

手操作的目的进行有效定向.

2.利用几何画板动态计算功能，探究顶点表达式

探究活动二

在二次函数图像中，你认为哪个点比较特殊，说说你的理由？

第一步：演示函数图像，发现规律特征

(1)利用几何画板展示二次函数图像(图2).

(2)绘出点(h,k)和点(-h,k),你有什么发现？

第二步：转化函数形式，渗透形数思想

(3)对于一般的二次函数y=ax?+bx+c(a#0),它的图像的顶点如何获得？

・

(4)你能将一般式y=ax?+bx+c转化成y=a(x+h)?+k的形式吗？试试看.

(5)在图3中，直接绘出点(萤世产),它是图像的顶点吗？

第三步：给出具体数据，形成解题%法”

(6)已知二次函数的二次项系数是2,顶点坐标(-3,-2),你能写出此函

数的一般式吗？

教学策略分析：在这一教学环节中，教师首先以顶点式y=a(x+hT+k的形式

给出二次函数及其图像，观察特殊点与函数图像的关系，体会顶点与顶点式的

对应关系.然后思考一般的二次函数的图像顶点如何获得，发现一般式向顶点

式转化的思考路径.接着，利用几何画板的计算功能让学生观察以所计算出的

数值为坐标的点与函数图像之间的关系，验证发现.将二次函数图像的变化统

一到顶点坐标的变化中，体会顶点坐标与二次函数一般式之间的关系.在这一

过程中，即时计算，可以让学生聚焦有价值的思考过程，深切体悟转化思想和

数形结合思想，训练学生思维，培育学生数学素养.

媒体辅助策略分析：以布鲁纳的发现学习理论为指导，利用几何画板的动态

计算功能，即时计算、关注重点，展现问题的发生过程，使学生在观看动画的

感性认识上进行理性思考，为形象思维到抽象思维的过渡架起桥梁，体现了教

学的直观性原则.动态计算边探索边小结，既迅速及时，又灵活直观，逐步建

构知识系统，将知识探究的过程直观呈现，为学生的亲身体验提供有效活动.

3.利用几何画板动态变化功能，探究图像平移规律

探究活动三

当二次函数图像在坐标系中平移的时候，会有什么样的规律呢？你能类比

一次函数图像平移规律作出猜想吗？

第一步：特殊性探究，体验直观感受

(1)请依次绘制函数yNx?,y=2(x-3)z,y=2x?+3,y=2(x-3)2+3的图像(图

3),有什么发现？

(2)要让函数y=2x?的图像向右平移3个单位，再向下平移3个单位，应该

怎样做？请分别写出表达式，并绘制出图像，验证自己的猜想.

(3)你认为是什么因素决定了图像的左右移动，又是什么因素决定了图像

的上下移动？

(4)通过观察，y=2(x-3¥+3是二次函数表达式的哪种形式?

第二步：一般化探究，归纳运动规律

(1)在图4所示的文件中绘制出函数y=a(x+h/+k的图像.

(2)上下拖动点K,观察k值的变化和图像移动情况，你发现了什么规律？

(3)上下拖动点H,观察h值的变化和图像移动情况，你又发现了什么规律？

(4)绘制出顶点追踪顶点，慢慢拖动点H和点K,观察顶点运动

路径，有什么发现？

(5)请用最简捷的语言归纳出二次函数图像移动的规律.

第三步：综合性运用，解决实际问题

(1)将函数y=x"2x+l的图像左移2个单位，再上移3个单位，得到的函

数是.

(2)已知函数y=2x2+4x-8的图像是将某函数图像右移1个单位，下移2个

单位得到，则某函数的表达式是.

(3)将函数y=x2-4x+l的图像(填移动方式)可以得到

函数y=x2-6x+8的图像.

教学策略分析：首先让学生自主利用几何画板演示不同函数图像的特征，观

察并猜想与函数解析式之间的对应关系，变抽象为直观，建立数与形之间的联

系.在感性认识的基础上，利用几何画板演示同一函数图像上下、左右变化时

函数解析式的变化，借此使学生深入理解函数图像变化的本质一一解析式的变

化.接着请一个学生拖动顶点坐标，让其他学生观察变化过程中函数图像的特

征一一变化的与不变的两个方面.在此过程中，师生依据观察、归纳猜想、操

作验证、探究结论，体会函数图像运动变化的规律一一顶点坐标的变化.最后,

由学生运用刚学的解题思路解决问题，从而体会数学来源于实践，又作用于实

践.在这一环节中，教师利用几何画板的动态变化功能演示变化，便于学生分

析图形运动后各要素之间的关系，发现变化中的不变性，变化中的对应关系.这

不仅要求学生能观察、会比较、擅分析，而且训练了学生的转化能力、概括能

力和洞察本质的能力，让学生的思维深度卷入到探究过程中.

媒体辅助策略分析：建构主义者设计教学的依据是“在问题中学习“，通过

问题的解决，使学生不仅经历完整的探究过程，享受合作探究的乐趣，而且学

以致用，体验学习的价值感，更能激发学生对学习活动的持续关注，使学生处

于学习活动的核心.设计探究问题，借助几何画板的动态变化演示，让函数图

形的变化更为直观.不仅便于学生分析图像变化中各要素之间的关系，由特殊

到一般地归纳发现其中的规律，而且可以聚焦教学难点，深度体验由感性到理

性的认知过程.

4.利用几何画板及时展示功能，探究图像性质应用

问题：如图8所示，AABC中，AD±BC,AD=2cm,BC=4cm,E是AB上一点，

EF±BC,EFGH是aABC的内接矩形，当点E在AB上移动时，矩形EFGH的面积

将发生变化，试问在什么情况下，其面积最大，最大面积是多少？

探究活动四夕

(D度量出线段EF的长，矩形EFGH的面积。E

(2)以EF长为x值，矩形面积为y值列表(EF长变------

化间隔为0.1cm)。//

BF

图8

（3）绘制表中记录，得到如图9所示散点图。

（4）仔细观察散点图，可以发现矩形面积和EF长之间存在二次函数关系，

且EF长只能在0到2之间变化,最大面积就是该二次函数图像顶点的纵坐标值。

（5）如果分别以BF、EH长为x值，矩形面积为y值列表，并绘制表中记录,

也能得到类似的散点图，说明矩形面积分别和BF、EH长之间也存在二次函数关

系，但到底取哪条线段的长为自变量呢？

余下由学生讨论完成，提醒学生注意自变量取值范围的确定，并绘制出函数

图像。

图9图10

教学策略分析：学生在自主探究的基础上，通过动手实验，再利用请学生上

台利用几何画板实际操作展示图形的变化情况，验证自己由观察而得出的结论，

老师在旁边指导操作，由学生运用刚学的解题思路解决问题，这符合循序渐进，

由感性到理性的认知规律。变抽象为直观，使难点分散，易于理解。这样使学生

不仅学以致用，而且体会到成功的喜悦，更能激发学生对学习活动的持续关注，

使学生处于学习活动的核心。

媒体辅助策略分析：利用几何画板“数学实验室”的交互功能，给了学生参

与的机会，可以让学生在自己操作中“学数学”、“做数学”，实现自我学习，使

学生的想象力得到充分发挥，为探究性学习提供了极大的可能，同时学生对自

己的任何发现，又可以利用几何画板得到及时地验证。

十、题目设计及教学步骤说明：

1、本课的四个探究题对二次函数图像的性质从不同的角度进行探索，从而

将本节课的知识条理化，有助于突出重点和突破难点.题目设计体现分层教学思

想，面向全体学生，并培养学生思维的发散性和深刻性，使其具有良好的思维品

质.

2、几何画板在本节课为学生打通数和形的关系，已经显示出了很大的威

力.但是，如果几何画板的直观性、形象性和动态等特点使用的不恰当，很容

易代替抽象思维、想象能力的培养.所以我在设计教学步骤时，做了适当调整,

做到既能帮助学生理解数学又能培养能力.

十一、设计的特色

本节课的教学设计从尊重学生的认知规律出发，由抽象、理论到具体、形象

进行了切实的设计，别具匠心的利用几何画板动态、交互等功能，采取具体、

直观、形象的教学方法，由浅入深、从形象到抽象的教学过程来突破重难点.充

分显示了数形结合的魅力及现代信息技术在动态几何教学中的不可替代性，拓

展学生的想象空间，启发学生的思维，充分发挥学生的主体作用，让学生在科

学探究中，体验研究的方法并获得知识.

教学内容：5.3用待定系数法确定二次函数表达式

学生活动及备注札记

学习目标：

1.会用待定系数法求二次函数表达式

2.知道确定几个函数待定的系数，相应需要几个条件。

教学重点：会用待定系数法求二次函数表达式

教学难点：会用待定系数法求二次函数表达式

教学过程预设

一、导入新课

怎样求一次函数的解析式？我们首先设一次函数解析

式为y=kx+b{k^,我们称这样的方法

为__________________，由于解析式中y=依+。（kwO）含有

个参数，由此我们需要找到图像上一个点的坐标，带入

解析式，得到方程组，解出3b的值，再带入解析式为

丁=乙+。（％。0）中，这样就得到一次函数解析式。我们可

以类比（类比思想），如果我们需要求出二次函数

y=o?+法+，的解析式，则我们应该有什么步骤呢？

二、学习新课

例1：已知二次函数y=办2的图像经过点（_2>8）,求a的值.学生说出解题思路

学生板演。

分析：如果一个点在函数的图像上，那么这个点的坐标适合函数

表达式，于是，我们可以根据条件“图像经过点（-2,8）”列出关

于a的一元一次方程求解.

解：由二次函数y的图像经过点(-2,8),

得8=(-2)2a

解得

例2：已知二次函数y=ox2+c的图像经过点(-2,8)和(-1,5),

求a、c的值.

分析：如果两个点在函数的图像上，那么这两个点的坐标适合函

数表达式,于是，我们可以根据条件“图像经过点(-2,8)(-1,5)”学生说出解题思路

列出关于a的二元一次方程组求解.学生板演。

解：由二次函数y=ax2+c的图像经过点(-2,8)和(-1,5),

8=(-2)%+c

得［5=(-1尸a+c

解得41,c=4

例3：已知二次函数旷=内2+取气的图像经过点(-3,6)和

(-2,-1),(0,-3),求这个二次函数的表达式.

分析：如果两个点在函数的图像上，那么这三个点的坐标适合函

数表达式,于是，我们可以根据条件“图像经过点(-2,8)(-1,5)”

(0,-3)列出关于a的三元一次方程组求解.

解：由二次函数y=a/+c的图像经过点(-2,8)和(-1,5),

(0,-3)

6=(-3)"a-3h+c

得<-1=(-2)2«-2Z?+C

-3=c

解得a=2,b=3,c=-3

所以二次函数表达式y=2/+3工一3.

三、课堂演练

1、已知二次函数y=o?+bx的图像经过点(-2,8)和(-1,5),

求这个二次函数表达式.

2,已知二次函数），=以2+必坨的图像经过点（0,3）和（3,0）,

（1,4）,求这个二次函数的表达式.

3.这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，你

能写出被墨迹污染的二次项系数吗？

I.....

二次函数j・F+6L5有1

鼓小露1々

四'课堂小结

知道确定几个函数待定的系数，相应需要几个条件。

会用待定系数法求二次函数表达式

五、布置作业

22页习题1、2

板书设计：标题

例题板演

教后反思：

5.4二次函数与一元二次方程

一、学习目标:

1、经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。

2、理解二次函数的图象与x轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系。

3、进一步体验数形结合的数学方法。

二、教学重点：二次函数与一元二次方程关系

三、教学难点：理解二次函数与一元二次方程关系，关键能数形结合。

四、教学过程：

（一）思考与探索：二次函数y=x?-2x-3与一元二次方程xZ-2x-3=0有怎样的关系？

1、从关系式看二次函数产x?-2x-3成为一元二次方程X2-2X-3=0的条件是什么？

2、反应在图象上：观察二次函数y=x,-2x-3的图象，你能确定一元二次方程X2-2X-3=0

的根吗？

3、结论：

一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点（x”0）、3,0）,那么一

元二次方程ax'+bx+cR有两个不相等的实数根x=xi、x=X2。反过来也成立。

4、观察与思考：

观察下列图象：

（1）观察函数y=X2-6X+9与y=x2-2x+3的图象与x轴的公共点的个数；

（2）判断一元二次方程xJ6x+9=0和X2-2X+3=0的根的情况；

（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？

（二）归纳提高：

一般地，二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：

1、如果二次函数y=ax?+bx+c图象与x轴有两个交点（m,0）＞（n,0）,那么一元二次方程

2

ax+bx+c=0有实数根xi=,x2=.

2、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有一个交点(m,0)，那么一元二次方程

ax2+bx+c=0有实数根xi=xz=.

3、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax?+bx+c=0

______________实数根.

反过来，由一元二次方程ax,bx+cR的根的情况可以判断二次函数y=ax2+bx+c图象与

x轴的交点个数。

当X=b-4ac>0时，一元二次方程ax,bx+cR的根的情况是,此时

二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点；

当△=/?-4ac=0时，一元二次方程ax,bx+cR的根的情况是,此时

二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点；

当"b-4ac<0时，一元二次方程ax'bx+cR的根的情况是,此时

二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有交点.

(三)巩固拓展：

1、不画图象，你能说出函数y=-x、x+6与x轴的交点坐标吗？

2、判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，说明理由.

(1)y=x2-x(2)y=-x2+6x-9(3)y=3x2+6x+ll

3、已知二次函数y=x"4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.

(四)随堂练习：

1、方程九2+4%-5=0的根是;则函数y=/+4x—5的图象与x轴的交点有

个，其坐标是.

2、方程一/+]0尤—25=0的根是；则函数V=-X2+]0X—25的图象与x轴的交

点有一个，其坐标是.

3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是()

(A)y=/-2(B)y=x2-x(C)y=-x2+6%-9(D)y=x2-x+2

(五)应用：

1、打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次

球的飞行高度y(单位：米)与飞行距离x(单位：百米)满足二次函数：y=-5X2+20X,

这个球飞行的水平距离最远是多少米？球的飞行高度能否达到40m?

A

2、当一枚火箭竖直向上发射时。它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用h=-5/+150t+10

表示，经过多长时间，火箭到达发射的最高点？最高点的高度是多少？

苏科版数学九年级下册5.5用二次函数解决问题

学员姓名：年级：初三辅导科目：数学学科教师：

授课日期授课时段

授课主题二次函数

教学目标运用二次函数的性质解决综合性题目

教学重难点运用二次函数的性质解决综合性题目

教学内容

1.四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助

她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品.已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，

售价每上涨1元，销量下降10件.

（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利

润是多少？

（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不

低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围.

2.在汛期到来之际，某水泵厂接到生产一批小型抽水泵的紧急任务.要求必须在10天内（含10天）完成任务.为

提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了水泵20台，以后每天生产的水泵都比前一天多2台.由

于机器损耗等原因，当日生产的水泵数量达到28台后，每多生产一台，当天生产的所有水泵，平均每台成本就增加

20元

（1）设第x天生产水泵y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

（2）若每台水泵的成本价（日生产量不超过28台时）为1000元，销售价格为每台1400元，设第x天的利润为W

元，试求W与x之间的函数解析式，并求该厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？

3.某公司对自家办公大楼一块8X8米的正方形A3。墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等

的矩形，用材料甲装修；中心区是正方形MNP0,用材料乙装修）.

两种材料的成本如下表:

材料甲乙

价格（元/米2）550500

设矩形的较短边AE的长为x米，装修材料的总费用为y元.

（1）计算中心区的边MN的长（用含x的代数式表示）；

（2）求y关于x的函数解析式；

（3）当中心区的边长不小于2米时，预备材料的购买资金32000元够用吗？请利用函数的增减性来说明理由.

4.如图，抛物线y=-x2-2x+c经过点。（-2,3）,与x轴交于A、B两点（点A在点8的左侧）与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式和4、8两点的坐标；

（2）已知点M在抛物线上，点N在该抛物线的对称轴上，

①当NACM=90°时，求点M的坐标；

②是否存在这样的点M与点N,使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐

标；若不存在，请说明理由.

备用图

5.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进4、8两种型号的低排量

汽车，其中A型汽车的进货单价比8型汽车的进货单价多