向量的概念课件

向量的概念

【学习目标】

1.理解向量的有关概念及向量的几何表示

2.理解共线向量、相等向量的概念

3.正确区分向量平行与直线平行

【学习重难点】

1.向量的概念

2.共线向量、相等向量

3.向量与几何的关系

【学习过程】

◎问题导学

预习教材P133—P136的内容，思考以下问题：

1.向量是如何定义的？怎样表示向量？

2.向量的相关概念有哪些？

3.两个向量能比较大小吗？

【新知初探】

1.位移与向量

（1）向量的概念

一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）。

向量的大小也称为向量的模（或长度）；只有大小的量称为标量,长度、面积

等都是标量。

（2）向量的表示方法

①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为筋，此时

向量油的模用丽I表示。除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，

还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如

a,b,c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如二，~b,二等来

表示向量。

②始点和终点相同的向量称为零向量。零向量的模为0.零向量的方向是不确

定。模不为0的向量通常称为非零向量。模等于1的向量称为单位向量。e

是单位向量的充要条件是|e|=1.

■名师点拨

向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向

的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。

2.向量的相等与平行

一般地，把大小相等、方向相圆的向量称为相等的向量。

如果两个非零向量的方向相同或相反,则称这两个向量平行。因为零向量的

方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行。两个向量。和8平行,

记作两个向量平行也称为两个向量共线。

■名师点拨

共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。

【自我检测】

1.判断正误（正确的打“，错误的打“X”）

（1）零向量没有方向。（）

（2）向量筋的长度和向量成的模相等。（）

（3）单位向量都平行。（）

（4）零向量与任意向量都平行。（）

2.在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速。其中可以看

成是向量的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.关于零向量，下列说法中错误的是（）

A.零向量是没有方向的

B.零向量的长度为0

C.零向量只与零向量相等

D.零向量的方向是任意的

4.如图，四边形A3CO是平行四边形，则图中相等的向量

是（填序号）。

0

①屐）与硒②彷与沆＞；

R

③病与沆）；④而与历。

探究一：向量的有关概念

1.判断下列命题是否正确，请说明理由：

(1)若向量a与方同向，且|。|>|臼,则a乂；

(2)若向量⑷=步|,则a与〃的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量闷=|回，若a与)的方向相同，则a=Z>;

(4)向量a与向量方平行，则向量a与方方向相同或相反。

［规律方法］

(1)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等。

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向。

(2)共线向量与平行向量

①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别。

②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同。

③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同。

2.给出下列命题：

①若b//c,则a〃c；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量箱与前是共线向量，则A,B,C,。四点必在同一直线上。

其中正确命题的序号是0

探究二、向量的表示及应用

1.(1)如图，B,C是线段AO的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，

可以写出________个向量。

•••・

ARcn

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下

o东

①次，使|醇|=4近，点A在点。北偏东45°处；

②晶，使|油|=4,点8在点A正东处；

③於，使|相=6,点。在点8北偏东30°处。

［规律方法］

(1)向量的两种表示方法

①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长

度确定向量的终点。

②字母表示法：为了便于运算可用字母mb,c表示，为了联系平面几何中

的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如油，CD,

赤等。

(2)两种向量表示方法的作用

①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几

何问题打下了基础。

②用字母表示法表示向量，便于向量的运算。

2.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了

1即米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达。点。

(1)作出向量曲，BC,CD；

(2)求病的模。

探究三、相等向量和共线向量

3.如图所示，O是正六边形A8CDER的中心，且宓=a,OB=b,OC=C.

ED

AR

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a,分，c相等的向量。

［互动探究］

1.［变问法］本例条件不变，试写出与向量病相等的向量。

2.［变条件，变问法］在本例中，若同=1,求正六边形的边长。

［规律方法］

相等向量与共线向量的探求方法

(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确

定哪些是同向共线。

(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再

构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为

起点，起点为终点的向量。

3.如图所示，四边形A8CD与A3OE是平行四边形。

EI)

(1)找出与向量油共线的向量;

(2)找出与向量油相等的向量。

【达标测评】

1.下列结论正确的个数是()

①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

②向量的模是一个正实数；

③向量a与分不共线，则a与万都是非零向量;

④若同〉网，则a>b.

A.0

B.1

C.2

D.3

2.设。是正方形ABC。的中心，则向量小，BO,0C,历是（）

A.相等的向量

B.平行的向量

C.有相同起点的向量

D.模相等的向量

3.在下列判断中，正确的是（）

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向向量；

⑤任意向量与零向量都共线。

A.①②③

B.②③④

C.①②⑤

D.①③⑤

4.在下列命题中：

①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等;

④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零

向量的两个向量是共线向量。

正确命题的序号是o

【参考答案】

【自我检测】

1.答案：（1）X

（2）V

（3）X

（4）V

2.解析：选B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量。

3.答案：A

4.答案：①④

探究一：向量的有关概念

1.【解】（1）不正确。因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两

个向量不能比较大小。

（2）不正确。由⑷=|加只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关

系。

（3）正确。因为闻=步|,且a与〃同向，由两向量相等的条件，可得。=从

（4）不正确。因为向量0与向量6若有一个是零向量，则其方向不定。

2.解析：①错误。若5=0,则①不成立。

②错误。起点相同的单位向量，终点未必相同。

③正确。对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的。

④错误。共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可。并不要求两个

向量加，亦必须在同一直线上。

答案：③

探究二、向量的表示及应用

1.【解】（1）可以写出12个向量，分别是：AB,AC,AD,BC,BD,CD,

BA,CA,DA,CB,DB,DC,故填12.

（2）①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横

向小方格数与纵向小方格数相等。又|苏|=4啦，小方格边长为1,所以点A

距点。的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定，画

出向量次如图所示。

C

/

/

/

/

A/

/

/

/

0东

②由于点8在点A正东处，且I麴|=4,所以在坐标纸上点8距点A的横向

小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点8位置可以确定，画出向量油如

图所示。

③由于点。在点8北偏东30°处，且|觉|=6,依据勾股定理可得，在坐标

纸上点C距点8的横向小方格数为3,纵向小方格数为3小-5.2,于是点C

位置可以确定，画出向量前1如图所示。

2.解：(1)作出向量屈，BC,CD,如图所示:

Dj------7c

西48东

南

(2)由题意得，△SCO是直角三角形，其中NB£>C=90°,8。=1味米,

CD=10米，所以30=10米。△A3。是直角三角形，其中NA8O=90°,

AB=5米，80=10米，所以AO=〃52+(10)2=5小(米),所以由)|=5小

米。

3.【解】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有沆>,BC,AO,FE.

(2)与“共线的向量有弱，BC,OD,FE,CB