八年级数学轴对称含辅助线证明题

八年级数学轴对称含辅助线证明题专练

1.如图所示，已知等边AABC的边长为1,D是AABC外一点且

£.BDC=120°,BD=CD,zM£>N=60"LAMN的周长等于2.

2.已知：ZkABC为等边三角形，为射线AC上一点，。为射线CB上一点，AD=DE.

⑴如图1,当点。为线段BC的中点,点在AC的延长线上时,求证:BD+AB=AE-,

(2)如图2,当点。为线段8C上任意一点，点在AC的延长线上时，(1)的结

论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图3,当点。在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出

BD、AB、AE的数量关系.

,E

图1图2图3

3.如图，在A4BC中，AB=AC,D,E,尸分另I在三边上，且BE=CD,BD=CF,G为

EF的中点.

(1)若N4=40。，求的度数;

(2)试说明：DG垂直平分EF.

4.如图所示，在“BC中，AB=AC,。是AABC外一点，且NABO=60。，ZACD=

60°,求证：BD+DC=AB.

5.已知，如图，在AABC中，AC的垂直平分线与NABC的角平分线交于点

(1)如图1,判断NBA。和NBCO之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,若ND4C=60。时，探究线段4B,BC,8。之间的数量关系，并说明

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理由;

(3)如图3,在(2)的条件下，D4和C8的延长线交于点邑点尸是CO上一点

5.DF=AE,连接AF交BQ于点G,若CE=9,求。G的长.

6.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD_LBC于点。，点P是8A延

长线上一点，点。是线段A。上一点，OP=OC.

(1)求NAPO+NDCO的度数；

(2)求证：点P在0C的垂直平分线上.

7.已知:如图，“BC是等边三角形，点。在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE,

DE交BC于F,求证：BF=CF+CE.

D,

8.在等边AABC的两边A8、AC所在直线上分别有两点M、N,。为AABC外一点，

且/M£W=60。，ZBDC=nO°,BD=DC.探究：当M、N分别在直线A&AC

上移动时，BM、NC、之间的数量关系及AAMN的周长Q与等边AABC的周长

L的关系.

(1)如图1,当点M、N边AB、AC上，且。M=£W时，BM、NC、之间的

数量关系是；此时户」

(2)如图2,点M、N在边AB、AC上，且当。A#£W时，猜想(/)问的两个结

论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由.

(3)如图3,当M、N分别在边48、C4的延长线上时，探索BA/、NC、MN之间

的数量关系如何？并给出证明.

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9.如图，在等边△48C中，M是8c边上一点(不与端点B,C重合)，N是AABC的外

角乙4C”的平分线上一点，且AM=MN.

⑴尺规作图：在直线BC的下方过点B作4CBENCBA,作NC的延长线，与BE

相交于点E;

(2)求证：4BEC是等边三角形,

(3)求证：zAMN=60°.

10.在AABC中，NA=90。，AB=AC,。为BC的中点.

(1)如图1,E,F分别是AB,AC上的点，且8E=4F.求证：△OEF为等腰直角三

角形；

⑵如图2,若E,尸分别为AB,CA延长线上的点，仍有BE=AF,其他条件不变，

则AOEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.

11.已知:AABC为等边三角形,点E为射线AC上一点,点D为射线CB上一点,AD=DE.

(1)如图1,当E在AC的延长线上且CE=C。时，AO是AABC的中线吗？请说

明理由；

(2)如图2,当E在AC的延长线上时，A8+B。等于4E吗？请说明理由；

(3)如图3,当。在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出A&

BD、AE的数量关系.

12.已知I,t^ABC为等边三角形，点。为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点,

S.BD=DE.

(1)如图1,若点。在边4c上，猜想线段4。与CE之间的关系，并说明理由;

(2)如图2,若点力在AC的延长线上，(1)中的结论是否成立，请说明理由.

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13.已知：等边AABC中，点E为"BC内一点.点。为BC的中点，连接BE、CE若N

BEC=120°,连接AE、OE,求证：AE=2DE.

14.如图，AABC与ACDE均为等边三角形，并且8、C、。三点共线,

⑴求证CH平分NBHD,

(2)试探究HD,HE,CH之间的数量关系，并证明.

15.在RaABC中，ZACB=90°,ZA=30°,是AABC的角平分线，DEJLAB于点E.

(1)如图1,连接EC,求证：AEBC是等边三角形；

(2)点例是线段CD上的一点(不与点C,。重合)，以B历为一边，在的

下方作/8MG=60。，MG交QE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形，并直

接写出OG与AO之间的数量关系；

(3)如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作N8NG=60。,

NG交OE延长线于点G.试探究NO,OG与4。数量之间的关系，并说明理由.

图3

16.如图，直线PG为AABC的边BC的垂直平分线，且NP8C=T",8P,CP的延长线分别

交AC/8于点Q,E.求证:BE=CD

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参考答案

1.证明：如图，延长AC至IJ瓦使CE=8M,连接DE,

：BD=DC,乙BDC=120°,

:.^CBD=Z.BCD=30°y

•・•△ABC为等边三角形，

・•・LABC-ZJACB=60°,

:.乙钻D=〃\CD=乙DCE=90。,

:ABMD三ACED,

・・.(BDM=(CDE,DM=DE,

又•・•(MDN=6N,

・・・乙BDM+乙NDC=60°,

・・・Z.EDC+Z.NDC=60°^Z-NDE=60°,

・・・乙NDE=^NDM,

又•:DN=DN、

:△MDN±2EDN(SAS),

：.MN=NE=NC+CE=NC+BM,

所以△AMN的周^：=AM+AN+MN=AM+AN^NC+BM=AB+AC=2.

2.证明：（1）如图1,

:△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=ZB=ZACB=60°,

•・•点。为线段BC的中点，

:.BD=CD,ZCAD=^ZBAC=30Q,

U

\AD=AE9

：.ZE=ZCAD=30°,

丁ZACB=ZE+ZCDEy

.,.ZCDE=60°-30°=30°,

：・NCDE=NE,

：.CD=CE,

：.AE=AC+CE=AB+CD=AB+BD.

(2)成立，理由如下：

如图2,在45上取连接

•:BH=BD,ZB=60°,

:•△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD即AH=DC,

；・NBHD=6。。,BD=DH,

・：AD=DE,

：.ZE=ZCAD,

：.NBAC-NCAD=NACB-NE即NBA。=/CDE,

VZBHD=60°,ZACB=60°,

A180o-ZB/7D=180°-ZACB^ZAHD=ZDCE,

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•；NBAD=/CDE,AD=DE,ZAHD=ZDCE,

在ZkA"。和△£)€:&

/.BAD=Z.CDE

乙AHD=乙DCE,

AD=DE

:AAHD04DCE(AAS),

:・DH=CE,

：.BD=CE,

：.AE=AC+CE=AB^-BD,

(3)AB=BD+AE,

如图3,在AB上取A尸二4邑连接。E

图3

,/AABC为等边三角形，

：.ZBAC=ZABC=60°y

•••△4FE是等边三角形，

・・・ZFAE=ZFEA=ZAFE=60°,

J.EF//BC,

：./EDB=/DEF,

•：AD=DEf

：.ZDEA=ZDAE,

：・NDEF=NDAF,

,:DF=DF、AF=EF,

在△AH)和△£:「£)中，

(AD=DE

{DF=DFy

\AF=EF

：./\AFD^/\EFD(SSS)

:・/ADF=/EDF,NDAF=NDEF,

；・NFDB=NEDF+NEDB,NDFB=NDAF+NADF,

/EDB=/DEF,

・・・/FDB=/DFB,

:.DB=BF,

\tAB=AF+FB,

：.AB=BD+AE.

3.解：(1),：AB=AC,

A

：.ZC=ZB,

ZA=40°,

・j=1=7。。.

(2)连接。E,DF.

(BD=CF

在与AC尸。中，NB=NC,

(BE=CD

.-.△BDE安/\CFD(SAS),

：.DE=DF,

♦.•G为EF的中点，

：.DG±EF,

：.DG垂直平分EF.

4.证明：延长8。到E,使BE=8A,连接AE,CE,

,/ZABD=60°,

：./\ABE为等边三角形.

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：.AE=AB=AC=BE,ZACE=ZAEC,ZAEB=60°;

又・・・NACQ=60。，则NAE8=NACQ,

:.NDEC=/DCE,

：.DC=DE.

：.BD+DC=BD+DE=BE=AB,

：.BD+DC=AB.

5.解：（1）ZBAD+ZBCD=180°,理由如下：

如图1,过点。作。GJ_8c于点G,O/71.BA于点”,

图1

VAC的垂直平分线与NA8C角平分线的交于点D,

：.AD=DCyZABD=ZDBC,

:.DH=DG,

:・Rt〉ADH/Rt〉CDG(HL),

：.ZHAD=ZDCG,

*：

ZBAD+ZHAD=\SO°y

AZBAD+ZDCG=180°,

即NB4Q+NBCEM80。；

(2)BD二AB+BC,理由如下：

如图2,在8。上截取5F=A8,连结4凡

B

A

D

图2

由(1)知N3AD+乙BCD=180。,

・・・ZABC+ZDAC=180°,

VZDAC=60°,

ZABC=120°,

・,.ZABD=ZDBC=60°,

•••△AB尸为等边三角形，

：.AB=AF=BF,ZBAF=60°,

•:AD=DC,

•••△AOC为等边三角形，

：.AD=AC,ZDAC=60°,

：.ZDAF=ZBAC,

：./XABC^^AFD(SAS),

：.DF=BC,

：.BD=BF+DF=AB+BC.

(3)由⑵知ND4C=NOBC=60。，如图3,延长尸。至点M,使。M=DF,

•①

；/图3

A/

I.ZACB=ZADB,

•：DM=DF,DF=AEy

：.DM=AE,

VZDAC=ZADC=60°,

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・•・ZADM=ZEAC=}20°,

\9AC=AD,

AA£AC^AMDA(SAS),

：.AM=CE,NMAD=/ECA,

：.ZMAD=ZADB,

：.DG//AM.

•:DF=DM,

：.AG=GF,

119

：.DG=-AM=-CE=-.

222

6.解:(1)如图1,连接0以

\*AB=AC,ADLBC,

:・BD=CD,ZBAD=-ZBAC=x120°=60°,

2

：・OB=OC,ZABC=90°-ZBAD=30°

,:0P=0C,

:.0B=0C=0P,

：.ZAPO=ZABO,4DC0=/DB0,

：.NAPO+NDCO=NAB0+ZDBO=ZABD=30°;

(2)VZAPC+ZDCP+ZP5C=180°,

AZAPC+ZDCP=150°,

VNAPO+NQCO=30。，

・・・NOPC+NOCP=120。，

AZP0C=180°-(NOPC+NOC尸)=60°,

VOP=OC,

•••△OPC是等边三角形，

：・OP=PC,

・••点P在oc的垂直平分线上.

7.证明：过点。作OM〃AC交5c于M,

・・・△ABC是等边三角形，

是等边三角形，

:.BD=BM=DM,

■:BD=CE,

；・BM=DM=CE,

VDM//AC,

ZMDF=ZE,

在尸和AECF中，

Z-MDF=Z-E

乙DFM=Z.EFC,

DM=EC

：./\DMF^/\ECF(AAS),

:・FM=CF,

・•・BF=BM+FM=CF+CE.

8.(1)BM+NC=MN;j;

(2)猜想：结论仍然成立.

证明：在CN的延长线上截取CM尸连接QM.

・；NMBD:NMiCD=90。,BD=CD,

・MDBM*ADCMi,

：.DM=DMi,NMBD=NM、CD,

VZMD2V=6O°,ZBDC=120°,

・・・/M\DN=/MDN=60。,

：・4MDN乌4M\DN,

：.MN=MiN=M\C+NC=BM+NC,

：./\AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

.£=2.

**L3’

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N

(3)证明：在CN上截取CMi=8M,连接MN,DM、.

可证△OBMZZiOCMi,

ADM=DMi,

可证NMiDN=/MDN=60°,

・・・4MDNq/XMiDN,

:・MN=M、N,

:・NC-BM=MN.

9解：（1）作图如图所示.

(2)证明：•・•△ABC是等边三角形,

・•・^ABC=zACB=60°,

・•・乙4cH=120°,

•••CN平分乙AC”，

・・・乙HCN=乙BCE=6G0,

•・•ZCB£=ZCBA=6O°,

:.乙EBC=LBCE=6U0,

・・・△3EC是等边三角形.

(3)证明:连接ME,

•・・△ABC和"CE都是等边三角形，

：.AB=BC=BE.

(AB=EB

在△相；!/和中，＜AABMAEBM

IBM=BNf

•••△ABM三△EBM(SAS),

'.AM=EM,乙BAM=(BEM,

,:AM=MN,

；.MN=EM,

・・・乙N=£CEM、

•・•(HCN=(N+(CMN=6S,

乙BEC=^BEM+乙CEM=60°,

・♦・乙CMN=LBEM=LBAM,

・••&MC=zABC+乙BAM=^AMN+乙CMN,

・•・"MN=60°.

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10解：⑴证明:连接AD

图1

'：AB=AC,ZBAC=90°,。为8c的中点，

：.AD.LBC,BD=AD.

AZB=ZDAC=45°.

又,；BE=AF,

：./\BDE=^ADF(SAS).

：.ED=FD,ZBDE=ZADF

：.NEDF=ZEDA+ZADF=ZEDA+ZBDE=ZBDA=90°.

•••△DEF为等腰直角三角形.

(2必。所仍为等腰直角三角形.

证明：连接AD

图2

VAB=AC,ZBAC=90°,。为BC的中点,

：.AD=BD,ADLBC.：.ZDAC=ZABD=45°.

：./DAF=ZDBE=135°.

又〈AF=BE,

.\ADAF^ADBE(SAS).

：.FD=ED,ZFDA=ZEDB.

：./EDF=ZEDB+NFDB=ZFDA+ZFDB=ZADB=90°.

•••△OEF为等腰直角三角形.

11.(1)解：如图1,结论：A。是△A8C的中线.理由如下:

:△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=ZB=ZACB=60°,

VCD=CE,

：.ZCDE=ZE,

ZACD=ZCDE+ZE=60°,

：.ZE=30°,

•；DA=DE,

：.ZDAC=ZE=30°,

:NBA060。，

：.ZDAB=ZCAD,9：AB=AC,

：.BD=DC,

・・・AZ）是△ABC的中线.

(2)结论：AB+BD=AE,理由如下:

如图2,在A8上取8〃=8。，连接

•；BH=BD,NB=600,

:ABDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD即AH=DC,

；・NBHD=60。,BD=DH,

TAD二DE,

：.ZE=ZCAD,

：.ZBAC-ZCAD=ZACB-ZE即NBA庆NCOE,

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・：NBHD=60。,ZACB=60°,

A18O0-ZBHD=18O0-ZACB^ZAHD=ZDCE,

•：NBAD=NCDE,AD=DE,NAHD=NDCE,

在""Q和△"*£：,

/-BAD=jCDE

乙AHD=乙DCE,

AD=DE

:•△AHD^ADCE(A4S),

：.DH=CE,

：.BD=CE,

：.AE=AC+CE=AB+BD.

(3)AB=BD+AE,

如图3,在A8上取A/二AE,连接。F,

:△ABC为等边三角形，

AZBAC=ZABC=60°,

•••△A/E是等边三角形，

・・・ZFAE=ZFEA=ZAFE=60°,

:.EF〃BC,

・•・ZEDB=ZDEF,

•：AD=DE,

：.ZDEA=ZDAE,

：.ZDEF=ZDAF,

•:DF=DF,AF=EF,

在△"£)和中，

AD=DE

DF=DF,

AF=EF

：./\AFD^/\EFD(SSS)

；・NADF=/EDF,ZDAF=ZDEF,

:・/FDB=/EDF+/EDB,NDFB=NDAF+NADF,

・・•NEDB=/DEF,

:・/FDB=/DFB,

：.DB=BF,

•：AB=AF+FB,

：.AB=BD+AE.

12.解：(1)结论：AD=CE,理由如下

图2

过点。作。尸〃A8,

即ZA=ZCDF,ZABC=ZDFC

・・・△ABC为等边三角形

・・・ZA=ZABC=60°,AC=BC

：.NCDF=NDFC=60。

・・.△OFC为等边三角形

：.DC=CF

：.AD=BF

•：BD二DE,

：.ZDBF=ZDEC

*.•NDBF+/BDF=NDEC+NEDC=6。。

：.ZBDF=ZEDC

：./\DFB^ADCE

：.BF=CE

：.AD=CE;

⑵结论成立.理由如下：

如图，

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A

过点D作QQ〃BC,交AB的延长线于点Q.

・・・△ABC是等边三角形

**•^AQD也是等边三角形，

:.AQ=QD=AD,Z,AQD=/_ABC=Z.ACB=AQDC=60Q,

•:DB=DE

:.乙DBC=LDEC,

-DQ//BC,

:•(QDB=(CBD,

:•乙QDB=^DEC,

在△8。。和△OCE中，

Z.QDB=Z.DEC

ZQ=ZDCF=60°,

{DB=DE

,MBQD三ADCE(AAS)

：.QD=CE,

^AD=CE.

13.证明：如图，把逆时针旋转60。，得至SACE连接即，延长班）至点G,使

得ED=DG,连接CG.

由旋转的性质得△A8EZZV1CF,且尸是等边三角形,

：.AE=AF=EF,BE=CF,ZABE=ZACF,

*：ZBEC=\20\

：.ZEBD+ZECD=60°y

*.•ZEBD+ZABE=ZABC=60°,

・・・ZABE=ZECD=ZACF,

：.ZACF+ZACE=ZECD+ZACE=ZACB=60°,

・•・ZECF=60°.

在ABDE与〉CDG,

ED=GD

乙BDE=ZCDG

.BD=CD

:•△BDEQ4CDG,

:.BE=CG=CF,NEBD=GCD、

：.ZGCD+ZECD=ZEBD+ZABE=ZABC=60°,

：.ZECG=60°,

・・・NECQNECG=60。，

在AECG和△ECF中，

CE=CE,

ZECG=NECF,

,CG=CF,

:.AECG^/\ECF(SAS),

:・EG=EF=AE,

♦：EG=2ED、

：,AE=2ED.

14.证明：（1）如图①，作CM_LBE,垂足为点M,作CNLA。，垂足为点N,

图①

AABC和△COE都是等边三角形，

：.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=600,

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,BPZBCE=ZACD,

在△BCE•和△AC。中，

第24页，共28页

BC=AC

乙BCE=Z-ACD,

CE=CD

：./\BCE^/\ACD(SAS);

:.AD=BE,且SMCE=S“CQ,

VCM1BE,CMLAO,

:冬2BEXCM=24ADXCN,

：.CM=CN,

又CN1,BD,

.•.点C在ZBHD的平分线上，

即CH平分NB〃Z);

(2)HC+HE=HD.

证明：如图，在上截取OQ=E”，连接C。,

图②

•：/\BCE^/\ACD,

：.ZCDQ=ZCEH,

又,：CD=CE,

：./\CDQ^ACEH(SAS),

：.NDCgNECH,CQ=CH,

又