大学数学公式大全

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奇函数：关于原点对称f(-x)=-f(x)：偶函数：关于y轴对称

导数公式：

(tgx)f=sec2x(arcsinx)/=/

Vl-x2

(ctgx)f=-csc2x

/、，1

(secx)'=secxngx(arcCOST)=——/

(cscx)'=-cscx・"gx

(arctgx)=------7

(axy=ax\na1+x

1

(logx)，=(arcctgx)f=-------

rtx\na1+xr

基本积分表：

^tgxdx=-ln|cosx|+Cf-4—=fsec2xdx-tgx-\-C

JCOSXJ

jctgxdx=ln|sinx|+C

cdxf21c

——；-=escxdx--ctgx-\-C

Jsecx小=In|secx+/g'+CJsin-xJ

Jsecx•tgxdx-secx+C

Jcscxdx=ln|cscx-+C

fcscx-cZgxtir=-cscx+C

rdx1x.<

——^=-arctg-+C

Ja+xaa一优"

adx=------FC

/-JMT+CIn。

Jx一。2ax+ashxdx=chx+C

rdx1,Q+X-

———7=——In------+Cchxdx=shx+C

Ja-x2aa-x

22

dx.xJj:%2=ln(x+A/X±a)+C

/=arcsin—+C

Ja2T2a

zrn

~2~2]

In=[sin"xdx=[cos"xdx=------In_2

0L〃

Jylx2+a2dx=-\lx2+a2+—ln(x+Vx2+tz2)+C

[da2二x2dx=-yla2-x2+—arcsin—+C

J22a

三角函数的有理式积分：

,2u1-w2x.2du

sinx=------rCOSX=------7u-tg—,ax=------r

l+u21+M221+w2

一些初等函数:两个重要极限:

sin尤

双曲正弦:shx=-----------lim=1

.v->0x

与=

双曲余弦:chx=e+elim(l+e=2.718281828459045...

18X

双曲正切:Mr=运=e'—e'

chxex+e"

arshx=ln(x+J%2+1)

^rc/2x=±ln(x+Vx2-1)

1+x

arthx=—}n

2i-x

三角函数公式:

・诱导公式：

、^数

sincosctg

角tg

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

・和差角公式：■和差化积公式:

・।-n、.a+Ba—B

sin(a±/?)=sinacos/?±cosasinpsina+sin夕=2sin---cos---

cos@±/)=cosacos/?Tsinasin(3

..oca-\-p.a—p

tg(a土的=叱土tg"sina-sinB=2cos-------sin.......-

22

^tga-tgpa-p

cosa+cos/?=2coscos

ag(a±/3)=agaS"l2

ctg/3±ctgaa+夕.a-(3

cosa-cos尸=2sin--------sin

22

・倍角公式：

sin2a=2sinacos。

cos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos2a-si•n2asin3a=3sina—4sin3a

,ctg2a-lcos3a=4cos3a—3cosa

ctg2a=--------

2ctga3tga-tg^a

Zg3a

*c2tga1—3次2a

tg2a=J

i-tg-a

•半角公式:

h

•正弦定理：—==—^=2/?・余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

sinAsinBsinC

JI71

•反三角函数性质：arcsine=----arcCOSTarctgx=--arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

k=0

(n}

=UV+〃/+^^〃5-2)v〃+...+"(”「)…叱”+l)JT)a+...+MV(«)

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：/3)-/(a)=/'C)S-a)

柯西中值定理:f'8

F(b)-F(a)FC)

当F(x)=x时，柯西中值定理就题格朗日中值定理,

曲率:

弧微分公式：ds=Jl+y'2dx，其中y，=fga

平均曲率灭=|-^|.Aa:从M点到M，点，切线斜率的倾角变化量;

：弧长。

M点的曲率：K=lim殁

加△$

直线：K=0;

半径为a的圆：K=L

a

定积分的近似计算:

矩形法：j/(x)a(先+M+…+y,T)

a

梯形法：J/(x)ag2[；(yo+K)+M+…+笫.J

a

bi

抛物线法J/(x)«+y“)+2(%+乂+…+笫-2)+4(必+%+•,+y,i)]

定积分应用相关公式:

功：W^F-s

水压力：F=p・A

引力：F=k膂,k为引力系数

广

_1〃

函数的平均值:y=r_^J/(X)公

均方根《占力⑴"

空间解析几何和向■代数:

空间2点的距离：d=|M%|=)(0—斗)2+。2-M)2+(Z2-Z1)2

Prju(ai+a2)=Prjai+Prja2

=|同咽侬。=。也+%%+a也，是一个数量

两向量之间的夹角cos6=I+a也：a也

ijk

c=axb=axay/,同=|如卜卜山夕例：线速度:v=wxr.

么b>bz

4ay«z

向量的混合积[而司2by瓦=|2x斗向cosa,a为锐角时,

%%j

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,K^n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程)+工+三=1

abc

平面外任意一点到该祠的距离：“=邑2答也乌空|

VA2+B2+C2

X=玉)+皿

空间直线的方程二殳=匕左=三且=f,其中8={也〃,p};参数方程Jy=y0+〃f

mnp

[z=Zo+p1

二次曲面：

222

1、椭球面3+4+一1

a2b2c2

22

2、抛物面l—F--=z,(p,q同号)

2p2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面片+4—==1

CTb~c~

222

双叶双曲面:-4+3=1（马鞍面）

abc

多元函数微分法及应用

人仙八」我」dz」,du.du.du.

全例(分：dz=——ax-\----aydu=——ax-\-----ay+——az

dxdydxdydz

全微分的近似计算：AzHdz=fr(x,y)AY+fy(x,y)Ay

多元复合函数的求导法

dz_dzdudzdv

^=/[«(/),v(0]

dtdudtdvdt

dz_dzdudzdv

z=f[u(xy),v(x,y)]

9dxdudxdvdx

当〃=u(x9y),v=v(x,y)时,

,du,du7

du--ax-\----dydv^dx^dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

电=_乙，也=2(_里)+。(_乙).空

隐函数/(九,y)=0,

2

dxFydxdxFy,dyFydx

dzFdzF

隐函数尸(x,y,z)=0,—=——x—,—=---y-

dxF.dyF.

竺

加

茄

F(x,y,u,v)=OJ/(F,G)av

隐函数方程组丝

G(x,y,w,v)=0laG

5(w,v)茄

av

1

包

-1d(F,G)5-V-d(F,G)

&_J-

axJ0(X,V)d(u,x)

方1

a¥w-1d(F,G)②一---a(EG)

jy

5(H,v)

微分法在几何上的应用：

尤=9⑺

空间曲线⑺在点MOW。*。)处的切线方程片乜=?1=之卢

/,、。(玲)少&)

Z=CO(t)

在点M处的法平面方程：/(J。)(x-x0)+，(幻(y-y0)+)(z-zo)=O

E(x,y,z)=O，则切向量亍={££工F1xFXFy.

若空间曲线方程为।G'GyG]

G(x,y,z)=OGvG「G二xyX

曲面尸(x,y,z)=0上一点MQo，%0)则：

1、过此点的法向量:n={FJ!(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、过此点的切平面方程工(方,汽,20)。一*0)+々(%,%，20)()」＞0)+工(/，%，20)(2-20)=0

3、过此点的法线方程一=―—=—*一

工(Xo，yo，Zo)K(/，yo，Zo)工(尤0，%*0)

方向导数与梯度:

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为2=或cos/+或sin夕

dldxdy

其中夕为x轴到方向/的转角。

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：grac^(x,y)=

dxdy

它与方向导数的关系是笠=grad/(x,y>。，其中。=cosQ；+sin0j,为/方向上的

dl

单位向量。

W是gray(x,y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

期(/，为)=%"0，%)=。，令:力<玉>，％)=4,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C

A<0,(/,%)为极大值

AC-B2>0时“

A>0,(%,%)为极小值

则:，AC-B2<(Xi,无雕

AC-B2=0时，不确定

重积分及其应用：

jjf(x,y)dxdy=jjf(rcos0,rsinO)rdrd0

DD'

2

dz'丝、

曲面2=f(x,y)的面积A=JJ+dxdy

Ddx

jjx0(x,y)dcrjjyp(x,y)t/(T

平面薄片的重心：元=%=DD

Mjjp(x,y)Jcr'-M

DD

22

平面薄片的转动惯量：对于x轴=JJyp(x,y)da,对于y轴/v=^xp{x,y)d<j

DD

平面薄片(位于wy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a〉0)的引力：F={Fx,Fy,F:},其中:

F_P(x,)L-Mjq必£

0(九2+J?+/)22

D(x2+y-+ay°(x1+y~+a2y

柱面坐标和球面坐标:

x=rcosO

柱面坐标jy=rsin。,jjj于(x,y,z)dxdydz=JJJF(rf,z)rdrdOdz,

z=z

其中：尸(r,6,z)=/(rcos6,rsine,z)

x=rsin/cos。

球面坐标,y=rsin夕sin仇dv=rd(p-rs\n(p-dO-dr=r2sm(pdrd(pdd

z-rcos(p

2/rnr((p,O)

jj|/(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,(p£)产sM(pdrd(pd9=JdO^dcpjF(r,(p,0)r2sin(pdr

QQ000

重心：，==7口1移小，z^^-\^zpdv,其中M=x=jj|pdv

MMMc

转动惯量：/、.=川(丁+z2)/y,=jjj(x2+z2)/x/v,J0，+V)M

QQQ

曲线积分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：

设/•(%,y)在L上连续，L的参数方程为(龙=例"，。＜"夕),则:

，=*)

J/(x,y)ds=j°。⑺+72(t)dt(a<p)特殊情况《、

Lay=*(f)

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

卜="),则:

设L的参数方程为

P

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{PSQ),"⑺]°'Q)+⑺,-«)]/«)}dt

两类曲线积分之间的：jPdx+Qdy=卜Pcosa+Qcos]3)ds,其中a和力分别为

LL

L上积分起止点处切向醐方向角。

格林公式：Jj—^-)dxdy-，Pdx+Qdy格林公式:“-^^)dxdy=§Pdx+Qdy

当P=-y,Q=x,BP：--—=2tbj",得至ij£＞的面积：/4=jjdxdy=—Ixdy-ydx

drdy2{

・平面上曲线积分与路彳疣关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数且吆=名。注意奇点，如：0,0),应

oxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在义="时，Pdx+Qdy才是二元函数w(x,y)的全微分，其中:

oxdy

(3)

“(x,y)=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设％=y()=0。

(•Wo)

曲面积分:

对面积的曲面积分JJf(x,y,z)ds=jjf[x,y,z(x,y)]Jl+zj(x,y)+zJ(x,y)dxdy

z

对坐标的曲面积分P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中:

JJR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(尤,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;

XD,y

JJP(x,y,z)dydz=±jjP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;

EDy:

jjQ(尤,y,z)dzdx=±jjQ[x,y{z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取晒。

z

两类曲面