人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：3.4函数的应用

3.4函数的应用(一)

课标要求素养要求

1.理解函数模型是描述客观世界中变量通过本节课的学习，使学生体会常见函

关系和规律的重要性.数的变化异同，提升学生数学抽象、数

2.会利用已知函数模型解决实际问题.学建模、数据分析等素养.

课前预习知识探究

新知探究

A情境引入

随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车

销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：

年份201520162017

销量/万辆81830

结合以上三年的销量及人们生活的需栗，2018年初，该汽车销售公司的经理提出

全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销售

44万辆，圆满完成销售目标.

问题1在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信

息？

问题2如果我们分别将2015,2016,2017,2018年定义为第一、二、三、四年，

现在有两个函数模型：二次函数型/(x)=ax2+0x+c(aW0),一次函数模型g(x)=

ax+6(aW0),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？

问题3依照目前的形势分析，你能预测一下2019年，该公司预销售多少辆汽车

吗？

提示L建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销

量32019年，该公司预销售60万辆汽车.

A知识梳理

1.常见的函数模型

一次函数模型y=kx+b(k,人为常数，左W0)

常见函

二次函数模型y=ax2+bx-\-c（a,b,c为常数，

数模型

募函数模型y=axa+b（a,6为常数，a手0,ct#l）

2.解决函数应用问题的步骤

(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行:

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.

(2)这些步骤用框图表示如图：

分析、联想、

实际问题建立函数模型

抽象、转化

数

问

学

题

解

解

答

决

转译

实际问题结论数学问题结论

拓展深化

『微判断』

1.当X每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是X的一次函数.(J)

2.在某种

金属材料的耐高温实验中，温度＞(℃)随着时间/(min)变化的情况由计算机记录后

显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：

(1)前5分钟温度增加越来越快.(X)

⑵前5分钟温度增加越来越慢.(J)

(3)5分钟后温度保持匀速增加.(X)

(4)5分钟后温度保持不变.(V)

『微训练』

1.一个矩形的周长是40,矩形的长y关于宽x的函数『解析』式为.

『解析』由题意可知2y+2x=40,即y=20—x,易知0<xW10.

『答案』y=20—x(0<xW10)

2.某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增

加10万元.又知总收入K是单位产品数。的函数，K(Q)=40Q—右。，则总利润

L(。)的最大值是万元.

『解析』L(Q)=40Q—泉2—I。。—2000=—枭2+30Q—2000=一4(。一

300)2+2500,当Q=300时，L(Q)的最大值为2500万元.

『答案』2500

『微思考』

一次函数模型、二次函数模型、募函数模型的选取的标准是什么？它们的增长速

度是如何变化的？

提示一次函数模型丁=依+优左>0)增长特点是直线上升，增长速度不变.

二次函数模型丁=以2+笈+c(qW0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值

问题，募函数y=ax"+6(x>0,n>Q,a>0)随x的增大而增大，但增长的速度相对

平稳，图象随〃的变化而变化.

课堂互动题型剖析

题型一一次函数模型

『例U为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费

方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时

间式分)与通话费用y(元)的关系如图所示.

8(30,35)

4040

3()3()

2()20

1010

2044)以分)2044)双分)

⑴分别求出通话费用V，”与通话时间X之间的函数『解析』式;

⑵请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.

解(1)由图象可设yi=Mx+30(%W0),(近W0),把点3(30,35),C(30,

15)分别代入yi=Hx+30,y2=kix,得匕=:,

.,.yi=/x+30(x20),y2=1x(x^0).

(2)令yi=y2,即/+30=；x,则x=90.

当x=90时，yi=y2,两种卡收费一致；当0Wx<90时，yi>yi,使用便民卡便宜；

当x>90时，yi<y2,使用如意卡便宜.

规律方法在用函数刻画实际问题时，除了用函数『解析』式刻画外，函数图象

也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.

『训练1J某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质

量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y（元）

是行李质量（）的一次函数，其图象如图所示.

xkg仅）8。%（kg）

（1）根据图象数据，求y与x之间的函数关系式；

（2）问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？

解（1）设y与x之间的函数关系式为了=履+。

由图象可知，当x=60时，y=6；

当x=80时，y=10.

'6Qk+b=6,i

所以,解得左=三，b=—6.

180左+匕=10.5

1

尹一6,x>30,

所以y与x之间的函数关系式为y=

。0W%W30.

（2）根据题意，当y=0时,04W30.

所以旅客最多可免费携带行李的质量为30kg.

题型二哥函数与二次函数模型

『例2』（1）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品

利润y（万元）存在的关系为丁=y（。为常数），其中x不超过5万元.已知去年投入

广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今

年药品利润为.万元.

『解析』由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入丁=产

中，即3a=27,解得a=3,故函数关系式为丁=一.所以当x=5时，y=125.

『答案』125

(2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高,

购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件

300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出

售.问：

①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

②通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润

的75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元？

解①设购买人数为〃人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，

则无£(100,300J,n=kx+b(k<0),'：0=300k+b,即6=—300左，300).

••・利润y=(龙一100)-x—300)=左(x—200)2—10000-xG(100,300J),

：■左<0,•*«JV=200时，ymax=-10000左，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.

②由题意得k(x-100)(%-300)=-10000k75%,

X2-400X+37500=0,解得x=250或x=150,

所以，商场要获取最大利润的75%,每件标价为250元或150元.

规律方法1.幕函数应用的常见题型

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.

(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.

2.利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型『解析』式后，可利用配方法、判别式法、

换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料

最省等最值问题.

(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

『训练2』据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，

月生产总成本y(万元)可以看成月产量M吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月

总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数

的顶点.

(1)写出月总成本M万元)关于月产量M吨)的函数关系式；

(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？

解(1)设y=o(x—15)2+17.5(aW0),将x=10,y=20代入上式，得20=25a+17.5,

解得。=告.

所以15>+17.5(10W%W25).

(2)设最大利润为Q(x),

则Q(x)=1.6x—y=1.6x—木(%—15)2+17.5

=一七(X—23产+12.9(10^^25).

所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.

题型三分段函数模型

『例3』经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)

与价格(元)均为时间/(天)的函数，且日销售量近似满足g(/)=80—2/(件)，价格近

r1

15+m(0W/W10),

似满足于足)=<(元).

25一夕(10VW20)

⑴试写出该种商品的日销售额y与时间/(0W/W20)的函数表达式；

(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.

解(1)由已知，由价格乘以销售量可得：

T+10/+1200(0W/W10),

V2—90。+2000(10<?<20).

(2)由(1)知①当0W/W10时，y=-/2+10t+l200=

—Q—5)2+1225,

函数图象开口向下，对称轴为f=5,该函数在/©『0,51单调递增，在/©(5,

10］单调递减，

.“max=1225(当t=5时取得)，ymin=l200(当t=0或10时取得)；

②当10VW20时，y=p—90f+2000=0—45)2—25,

函数图象开口向上，对称轴为/=45,该函数在/©(10,20J单调递减，.♦.ymaxMl

200(当t=10时取得),ymin=600(当t=20时取得).

由①②知ymax=l225(当t=5时取得)，ymin=600(当r=20时取得).

所以该种商品日销售额的最大值为1225元，最小值为600元.

规律方法应用分段函数时的三个注意点

（1）分段函数的“段”一定栗分得合理，不重不漏.

（2）分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.

（3）分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.

『训练3』某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间/（PN+）（天）的函数

关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量。（件）与时间您©N+）（天）

之间的关系如下表：

〃天5102030

。/件35302010

⑴根据提供的图象（如图），写出该商品每件的销售价格P与

时间/的函数关系式；

⑵根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函

数关系式；

（3）求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第

几天（日销售金额=每件的销售价格X日销售量）.

解（1）由已知可得:

f+20,0<Z<25,/©N+,

.-r+100,25W/W30,PN+

⑵日销售量。与时间/的一个函数式为

Q=—/+40(0<W30,/GN+),

(3)由题意

—一(r-io)2+900,0</<25,f©N+,

1(r-70)2—900,25W/W30,PN+.

当0</<25,t—10时，ymax=900,

当25WW30,7=25时，>ax=(25-70)2-900=1125.

・••当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1125元

素养达成逐步落实

一、素养落地

1.通过本节课的学习，学会用函数模型解决实际问题，重点提升学生的数学抽象、

数学建模、数据分析素养.

2.建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建

模、解模、验模五个步骤.

二'素养训练

L一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km,则这辆汽车行驶的路程y(km)

与时间/(h)之间的函数关系式是()

A.y=2tB.y=120/

C.y=21Q20)D.y=120®20)

『解析』因为90min=1.5h,所以汽车的速度为180勺.5=120(km/h),则路程

y(km)与时间/(力)之间的函数关系式是y=120/(f20).

『答案』D

2.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我

们习惯称呼的“鞋号”

中国鞋码

实际标准220225230235240245250255260265

(mm)

中国鞋码

习惯叫法34353637383940414243

(号)

习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少毫米()

A.150B.200

C.180D.210

『解析』设脚的长度为ymm,对应的鞋码为x码.则y=5x+50,当x=30时，

>=5X30+50=200.故选B.

『答案』B

3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象

如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量的收入是()

收入(元)

130()

80()