2021湖南某中学高三数学高考模拟2模试题含答案解析

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2021湖南师大附中高三数学高考模拟2模试题含答案解析

湖南师大附中2021届模拟试卷（二）

数学

命题人：审题人：

本试卷分第I卷（选择题）和第口卷（非选择题）两部分•共8页.时盘

120分钟.满分150分.

得分：

第I卷

一、选择题：本题共8小题.每小题5分•共10分.在每小题给出的四个选项

中.只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U=R•集合A={^|^-4^+3>0}^={x\-1VZV2）•则

（CrA）UB=

A.（—1.1]B.C1•2）C.E1•3JD.（—1.31

2.在复平面内.设之=i+i（i是虚数单位），则复数•1+/对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.某校开设A类选修课4门类选修课3门，每位同学从中选3门.若要求

两类课程中都至少选一门,则不同的选法共有

A.18种B.21种C.30种D.36种

4.天文学中为了衡量天体的明暗程度.古希腊天文学家喜帕恰斯

（Hipparchus.乂名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星

等的数值越小.天体就越亮;星等的数值越大.天体就越暗.到了1850年,

由于光度计在天体光度测量中的应用•英国天文学家普森（M.R.Pogson）

乂提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等

或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足如一顼=2.5（lgE.-lg8）.其

中星等为孙的星的亮度为E,（i=1.2）.已知“心宿二”的星等是1.00」天

津四”的星等是1.25.,•心宿二”的亮度是“天津四”的广倍•则厂的近似值为

（当I/1较小时,10餐1+2.3E+2.7〉）

A.1.24B.1.25C.1.26

5.某地某天6h至Mh的温度变化曲线如图所示•其

近似满足函数N=Asin（cuiH-^>）+〃（A>0•s>0・

}qvn）的半个周期的图象•则该天8h的温

度大约为

A.16℃

B.15℃

C.14X：

D.13℃

数学试题（附中版）笫1页（共8页）

6.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:

把100个面包分给5个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份

之和的十是较小的两份之和•则最小一份的量为

5_

2

7.已知K(一「.0)、工(0,0)是双曲线(?：，一(=1(“>0,〃>0)的左、右焦

点,E关于双曲线的一条渐近线的对称点为P.且点P在抛物线V=4cz

上.则双曲线的离心率为

A.V2+1C.&

8.在直四棱柱ABCD-ABC”中.底面A/3CD是边长为6的正方形.点E

在线段AD上,且满足AE=2ED.过点E作宜四棱柱ABC^D-A.B,C,D,外

接球的截面,所得的截面面积的最大值与最小值之差为19K.则直四棱柱

ABCD-A.B.QD,外接球的半径为

A.73B.273C.373D.4而

二、选择题：本题共4小题.每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中.有

多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分.部分选对的得

2分.

9.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方V

形•现有下列结论•其中所有正确的结论是

A.ACW£十'\

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.异面直线PM与BD所成的角为45°BQ“

10.下列命题中,正确的命题有

A.已知随机变量服从二项分布3(“.2)，若E(X)=30.D(X)=20.则

B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变

C.设随机变量S服从正态分布N(0.1),若尸(Q>D="则P(—IVgO)

D.若某次考试的标准分X服从正态分布N(9O.9OO),则甲、乙、丙三人恰

有2人的标准分超过90分的概率为目

11.关于函数/Q)=cos/+熹有如下四个命题，其中正确的命题有

A./(上)的图象关于》轴对称

B./Q)的图象关于原点对称

C/(公的图象关于直线_r=g•对称

口/(工)的值域为(-8,—2]11[2.+8)

数学试题(附中版)第2页(共8页)

12.若实数.则下列不等式中一定成立的是

A.(/+3)ln(r+2)X/+2)ln(/+3)H(«+1),+2<(/+2),+1

C.14-y>log,(/+l)D.log(,H)(z+2)>log(,..2)(r+3)

选择题答题卡

题号123156789101112得分

答案

第II卷

13.已知向量夹角为45°,且|a|=l.|2a-b|=/I^JWIW=.

14.若直线az+2/>_y-2=0(a>0»>0)始终平分圆C：/-4z-2y—8

=0的周长•则工+J■的最小值为

aI)------------

15.已知数列｛小｝中必=2•,且a,,a,,i+l=2a…数列｛〃“｝满足〃”=一^「

则｛h,,｝的通项公式是6„=.

16.设/(x)=｛且关于1的方程/(z)=/»(/«€R)恰

I2—IL—X\

有三个互不相等的实数根心.心，心,则①"，的取值范围是;

②4心心的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.(本小题满分10分)

在中.内角A.从C的对边分别为且a>c.已知防•或,=2.

cos8=/.〃=3.求：

⑴a和c的值;

(2)cos(8—C)的值.

数学试题(附中版)第3页(共8页)

18.（本小题满分12分）

已知数列的各项均为正数.其前〃项和为S,,•且满足4S,,=（“,,+1产，

若数列满足仇=2,庆=4,且等式优=6.劭…对任意”32成立.

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列0｝与仇｝的项相间排列构成新数列为，仇必也，…心也

设该新数列为数,｝,求数列的通项公式和前2”项的和T2„.

数学试题（附中版）第4页（共8页）

19.（本小题满分12分）

如图,在四棱铢P-ABCD中,AB〃CD./ABC=

9O°,AB=8C=1,£J，DC是边长为2的等边三角

形,平面PDCJ_平面AHCD.E为线段PC上一点.

（1）设平面PABCI平面PZX'=/,证明"〃平面

ABCID；

（2）是否存在这样点E,使平面ADEF与平面ABCD所成角为60°,如果

存在.求号斜的值;如果不存在,请说明理由.

数学试题（附中版）第5页（共8页）

20.（本小题满分12分）

某公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G由3个电子元件组

成•各个电子元件能正常工作的概率均为十，且每个电子元件能否正常

工作相互独立.若系统G中有超过一半的电子元件正常工作.则G可以

正常工作,否则就需要维修,且维修所需费用为500元.

（1）求系统不需要维修的概率；

（2）该电子产品共由3个系统G组成.设£为电子产品需要维修的系统所

需的费用.求?的分布列与期望；

（3）为提高G系统正常工作概率,在系统内增加两个功能完全一样的其

他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为外且新增元件

后有超过一半的电子元件正常工作.则可以正常工作，问：P满足

什么条件时.可以提高整个G系统的正常「.作概率？

数学试题（附中版）第6页（共8页）

21.（本小题满分12分）

已知函数/（j）=a-sinx+cosH+万or2.

（1）当a=0时，求/（工）在［-k,用上的单调区间;

（2）当a>0时.讨论在［O.TJ上的零点个数.

数学试题（附中版）第7页（共8页）

22.（本小题满分12分）

已知斜率为k的直线交椭圆372+»2=乂；00）于A.B两点.AB的垂直

平分线与椭圆交于C.D两点.点N（1.%）是线段AB的中点.

（1）若y,=3,求直线AB的方程以及义的取值范围；

（2）不管；I怎么变化.都有A.B.C.D四点共圆.求y,的取值范围.

数学试题（附中版）第8页（共8页）

湖南师大附中2021届模拟试卷（二）

数学参考答案

题号123456789101112

答案I)ACCDA1）CABI)rxi)ADAD

一、选择题:本题共8小题.每小题，分.共40分.在每小题给出的四个选项中•只有一项是符合题目要求的.

2.A【解析】由题知.三+/=告+（】+”=1-1+2»=1+「所以复数占十丁'对应的点为（1・1）.其位于第一象限.

3.C【解析】根据题意•分两种情况讨论:①若从A类课程中选I门•从H类课程中选2门•有C•（12（种）选法：②若从人类

课程中选2门,从3美课程中选1门・有C；・C=18（种）选法.综上,两类课程中都至少选一门的选法有12+18=30（种）.

4.C【解析】因为“心宿二”的星等是叫1.00.亮度为昌・“天津四”的星等是，〃.1.25•亮度为E・且B.所以1一1.25

2.5（收&一［Ei）.即1g台一吉•解得「噎F0=・根据参考公式可得2+2.3X±+2.7X*一1.257•因此与r最接近

的是1.26.

">.I）【解析】由题图知・人=+>（30—10）=10・〃=1><（30+10）=20・・・・2乂（14-6）=16・・・・3=16・・・・卬=宜・・・・<>，=

lOsin(£1+夕)+20.将/=6・y=10代人上式.得10sin(李X6T夕)-20=1。•即sin(~——1•tb于冷〈/＜式。可得中一

竽.—sin（Q+竽）+20,/£［6.1朽.当”=8时・k10向（凑><8+苧）+20=20-5岳33.即该天8h的温度大约

为13I.

6.A【解析】设最小的一份为川•公屋为，财山-a：+a.,+5+a；=5a、=100•即中间的那份为20个面包.即+2/=20•于是

有［20+Q］+3d）+《ai+4d）］X~1_=ai+Q|+〃）・解得a1—,

7.D【解析】二厂产凡中・PB=2〃・PH=2a・tanNHHP=?,\\L,

cosz^FiFiP=-^~F\Fj=PF&+PF：fCosNFiF2P.---------'、:

••・2c=2a+2acosNBHP.••tr—e—1=0.71^^

/\

…2.

8.C【解析「•四棱柱ABCD-ABCDi是充四棱柱•且底面是正方形,，其外接球的球心位于克四棱力、-----------7g

柱的中心.记作O.过O向底面ABCD作垂线,垂足为。,则（G3AA.连接BD・•・•欣面ABCD是边/：/

长为6的正方形.・•・（；为/，D的中点•取AD的中点F.连接OF.OE.（犯.设A%=2a.则（X；=a.，外接'\~\了

球的半径R（汨Ja（+（^BD）/a：+18.•・•点E在线段AD上•且满足AE；2ED•则EF二

DF-DEyAB-l.XFG-yAB=3..\OF=^.丁克四枝柱中.AB_L侧面ADQA・尸6〃|/'

AB・；・FC_L恻面ADDiA^.FGlAD,又（X；J_底面ABCD,：,（）C；±AD,义FGn（X；=G・・・./\D_L平面4H

OFG.«H）F±.4D.»•!OEJ?■汴―"丽根据球的特征.过点E作点四枝柱八BCD-4昂（；"的外提球的板面.

当机面过球心时.极面面积最大.此时故面面积为SnR.当OE垂直于板面时,截面面积最小.此时极面剧的半径为

/R（）E:.・••此时板面面积为Si=^（/R:-OE2）-=n（R-OE-）.又截面面积的最大值与最小值之星为=

zR水椁OK>以・（〃：•NE・因此"+10=19•即、=9•则R=/此+18=啰=36.

二、选择题:本题共I小题.每小题分•共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得二，分.有选错的得。

分.部分选对的得2分.

9.ABD【解析】因为PQMN是正方影•所以PQ〃MN.MNU平面ArD.PQU平面ACD.所以PQ〃平面ACD.又平面ACDCI

平面ABCAC.PQU平面ABC•所以PQ〃/W'.又PQZ极面PQMN.ACU极面PQM.、•所以AC〃祗面PQMN.故B正碗;

同理可杼MQ〃川）.又MN_MQ.所以八CJJ"）.即A正确：义MQ〃BD・NPMQ=15二所以异面克线/）M与BD所成的角为

45°•故D正确：由以上条件可知：等一罂・雾=W・3P+AP—AB.PNPQ・可得：J.+R一夫・人（'与BD不一定相等.

ACAnAnlilJ八（lil）IQ

故CM.

教学参考答案（附中版）1

10.BCD【解析】根据二项分布的教学期望和方星的公式•可得E（X）=〃/>=30.D（X）=”（l一。）=20.解得1•.所以A错

误；根据数据方差的计算公式可知.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后.方差恒不变,所以B正确；由正态分布的

困靠的对称性可得P（TVW0）=匕红舞"=与%=十一。•所以C正磷；甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分

的概率。（十）（一］）=普・故1）正确.

11.AI）【解析】由题意知/（」,）的定义城为］■+A“d€z}•且关于原点时称.又/（一.T）=CO虱_*）+.0s（L6=cos.r+

-q^~=/（.r）.所以函4攵/（.r）为偶函数•其图靠关于〉，轴对称.所以A正确•B错误.因为/（号.」.）=cos（手一1）+

-71~^='加，+;^?/（f+，）=«>8（}+，）+—^^=一而，一焉.所以/（曰+，）声/（自一工）.所以

cos（十一.ijcos^y+.r；

函数/（.r）的图配不关于血线r=年对称・（’错误.当cosrVO时・/（.r）&-2•当cosZ>0时，/（外）2,所以I）正确.

12.AI）【解析】令/（幻=¥・则—与*」・易得,当x>c时./（.r）V0.函数单调递减.当Q<x<e时•函数单

调遢增•因为£22./+3>，+2>e.所以0V上空吗著2•所以（/+3）ln（/+2）>（，+2）ln（7+3）・A正神；同理包"J'

>喑言>0.所以（什2）111"+1）>（，+1）1示/+2）.所以（，+1尸：>"+2）'7.13错误；令#（1）一吟，乎・122・则/（.r）

Tn7mln(：+D<0,故43)在②.)上单调递减・&h+l>>gC+2).所以ln(/-f-2)

(In.r)*.ri.r-r1HInx)

博什考•故logo.：>(/4-2)>logl,..(r+3).I)正确；对于C.1+}>k)g,(/+1J)=$乎)।’•结合选项

A的讨论〃与c的大小不磷定.故C不一定成立.

三、填空题:本题共1小题.每小题，分.共20分.

13.3&【解析】-a・b的失角为45°.a-\,：.a-b^a|X|6|cos45°-\；b.2a~b\=4-4X尊bl+1计=10・，Ibl=3&.

M.3+2疗【解析】由题意知圆心（'（2・1）在宜线a.r+2®-2=0上.工2u+2小一2=0.整理得a+6=】・，!+春

（I,3）（a+〃）=3+”•+学》3+2、/^>^^'=3+2々•当且仅当立=学.即6=2一々.“二々一1时•等号成立.；・工+

'ab'ab\ababa

看的最小值为3+2点.

］5.〃一¥【解析】因为a”.।+1-2an।•所以〃”一仇-i="二--------7-7-----\~~-r;-------一~—

3a«—Ia”-i—1（a.-l）（a„-i—1）aq“।+1—a“।—生

孤山一%=1,因为a1=T■.所以仇=—二=一［■•所以数列：〃；是首《为一春•公差为1的等差就列.所以仇=一孑+〃-1

a.-i-a”7a1-I333

10

=〃一?

16.①（XmV2（2分）②2（3—依）Vm，V0（3分）【解析】当"V0〃，=log：—3i+1）单调递成.作出函数/（.r）的图

象.如图所示.由图可知.当0VmV2时JU）=，，“m£R）恰有三个互不相等的实效根内”….不妨谈.门〈.门V.n・易知

.七>0.且.n+］3=2><2=4・・・・0〈八4<4.令1（«：（.，-3彳+1）=2・解得/=迂拜（舍去）或工=殳叠更.，无1拜V

xi<C0..*.2（3~J?A）V.m.nV0.

数学参考笨案（附中版）2

四、解答题：本题共46小答•共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】(1)由法・或,=2・得皿0~32.

又cosB=-^■•所以ar=6................................................................................................................................................2分

由余弦定理•得<r+<，=//4~2<i<cos/3.

又6=3•所以/+/=9+2X2=13.

a<=6・

得"=2・<"=3或u=3.c=2.

(<r+L=13.

因为•所以a=3・r=2................................................................................................................................................5分

(2)在△ABC中・vinB=/l—cosB=J]一(t............................................................................................6分

由正弦定理.得sin(、=方6出B=1X

因为“〃><•所以('为锐角.因此cos('=/finC工户南4..............................................................8分

于是cos(B-C)=cosBcosC+sin73sin('=~|-><卷+^^乂^^=唠...........................................10分

18.【解析】(D由4s.=(/+]>・

>i—1时•4"i=("|+])”•解彳导ci|=1•................................................................................................................................1分

—

〃>2时.4a,~4(SWS„i)=(a*+l)；—(a”-i+1)".

彳匕为：(a.+a.i)(«.­a„।-2)=0.................................................................................................................................3分

因为数列储3的各项均为正数•所以/十%1>0・

所以a“一a.i=2・

所以数列(a；为等基数列.首项为1•公差为2,

所以a“=1+2(〃-1)=2”-1............................................................................................................................................6分

(2)数列《"｝满足"=2.•且等式优=仇也，对任意〃》2成立.

所以敷列伯.｝是首/为2•公比为2的等比数列.

所以"=2"・.....................................................................................................................................................................8分

(W.M=2Z?-1.

所以<.=k€N：.......................................................................................................................................10分

[2寸・〃=23

所以丁加=〃(1十.一D/2(若D=〃2+2-।—2.......................................................................................................12分

19.【解析】⑴证明：因为AB//CD.

ABU平面PDC.QCU平面PIX\

所以AB〃平面PDC・......................................................................................................................................................2分

足ABU平面P人从且平面PABf)平面PDC=/・所以人B〃/.

义/U平面ABCD.ABU平面ABCQ.所以/〃平面ABCD................................................................................................5分

(2)设DC中点为。.则P()J_DC.因为平面PDC一平面所以R),平面八HCQ.

以()为原点.(讯为：轴・((为.V轴.(尤为：r轴•建立空间女角坐标系.

由已知有A(L0・0)、D(0・一l・0)、C(0・l・0)、P(0・0・&)・

假设存在这样的点E.设庄一滓,则求得E(0.1-A.73A).

DE=(0.2-A.>/3A)...........................................................................................................................................................7分

平面ABCD的一个法向量为/n(0.0.1).........................................................................................................................8分

设平面ADEF的一个法向量为n=s(.t,y.z).DA=(1.1.0).

n1)A.n•77A=0,|.r+_y=0.

由,•—►得]—>从而j_

»J_DEn•DE=0.1(2—入卜+4公=0.

取.r=l•则y=-1•之一^^・〃=(1•一..............................................................1()分

2^

若平面ADEF与平面ABCQ所成角为60°•则Icos3・ii〉|=|।J=.=[・

।"1・i川J-(碧y

整理得入+以-l=0・

教学承考答案(附中版)一3

M^A=2(y2-i)6L0.1J.

故存在这样的点E满足条件•用=2(々-1)...................................................................................................................12分

20.【解析】⑴系统不需要维修的概率为G-(y)2•y+C?・(y)=y......................................................................3分

⑵设X为维修的系统的个数.则X〜3(3・十).且A500X.

所以P(£=500A>=P(X=A)=C•(十)•(春)，=0,123.......................................................................................5分

所以£的分布列为：

050010001500

1331

P

*88T

.........................................................................................................................................................................................................6分

所以£的期型为E(e)-0x［+500x/+1000Xq+1500x1=750・..............................................................................7分

(3)当系统(；有5个电子元件时.原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作.G系统才正常工作.

若前3个电子元件中有1个正常工作,同时新增的两个必须都正常工作.

财概率为C・］・(］)・"=看"・

若前3个电子元件中有两个正常工作•同时新增的两个至少有1个正常工作.

则概.率为0•(y)；-J-,〃・(L”)+G•(7)-y?=f(2p-/i?).

若前3个电子元件中3个都正常工作.财不管新增两个元件能否正常工作.

系统G功能正常工作•则概奉为c；•(7)=7-..................................................................................................................10分

所以新增两个元件后系统(；能正常工作的概率为方/»+(_{2,->>++=■1•/>+看.

于是由印•一得=等(2。-1)知.当2A—1>0时•即1VAVI时.

40404

可以提高整个G系统的正常工作概率...............................................................................12分

21.【解析】(1)当〃=0时•/(.!*).rsinr4cos

j(.r)=sin.r+.rcosx-sin.r=.rcos,r.................................................................................................................................1分

当/在区间［一上变化时/(/)・/(二)的变化如下表

_2LK

X-Jtf-)(-f-0)0(g・n)n

2(。堡)*2

/(.r)+0—0+0—

/(.r)-1增极大位手减极小值1增极大值彳成-1

1./(1)的单调增区间为(一”・一•)•(O.y)小丁)的单调成区间为(y.0).(}・“)..................................................I分

［此小题也可先证明/(.，》是偶函数再根据对称性得结论］

(2)//(.r)=a.r+.rcos.r=.r(a4-cosJ)・.rW［0・n］

当a》】时.a+coz.r》。在［0・n］上恒成立.

・“£［0・<］时.八*)20.

・・・/(.r)在［0・n］上单调递增.

义•・•/(())=1>0・・•・/(”)在［0.用上没有本点........................................................................7分

当OVaVl时.令/’(.r)-0•科cos/=-a.

由一IV-aVO可如存在唯一.1.€(今・“)使丹ms•=&

，当)时,/(/)20・/(.，)单调递增；

当］£《,・兀)时・/(工)〈0・八.7)单调送或.

V/(0)=1./(,r.)>1./(K)-yujf-1..................................................................................................................................9分

教学参考答蜜(附中版)一I

①当44/一1>0.即,VaVl时,/a)在［0.用上没有军点.

47C*

②当!a"：-140•即OVa&-时•/(*)在［0.肩上有1个零点.....................................................

11分

嫁上•当0<a42时・/(.r)有1个黎点；当a>马时・/(7)没有零点.................................................

12分

X-7T-

22.【解析】设.4<X|.V)).B(.r_,y：).

(1)当y、=3时.直线AB的方程为y=A(/—l〉+3・

将AB方程代入3.—+，=人得：(3+内》./+2A(