2025届新高考数学冲刺复习：数列

2025届新高考数学冲刺复习数列

微专题1等差数列与等比数列的基本量计算1.[2023·江西赣州二模]已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若a3＋S3＝22，a4－S4＝－15，则a5＝(

)A．7

B．10

C．11

D．13答案：C解析：设公差为d，则a1＋2d＋3a1＋3d＝22，a1＋3d－4a1－6d＝－15，解得a1＝3，d＝2，故a5＝a1＋4d＝3＋8＝11.故选C.2．[2023·安徽合肥二模]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝－1，a1＋a5＝2，则S8的值为(

)A．－27B．－16C．－11D．－9答案：B

答案：C

4．[2023·全国甲卷]已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝(

)A．7B．9C．15D．30答案：C解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.5．[2023·辽宁鞍山二模]天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为(

)A．壬午年B．癸未年C．己亥年D．戊戌年答案：B解析：由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于100÷10＝10，余数为0，故100年后天干为癸；由于100÷12＝8…4，余数为4，故100年后地支为未；综上：100年后的2123年为癸未年．故选B.

答案：ACD

(2)[2023·湖南长沙明德中学三模]中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关．”

则此人在第六天行走的路程是________里(用数字作答)．6

技法领悟1．在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn这五个量知道其中任意三个，就可以求出其他两个．求解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．2．对于等比数列的前n项和公式，应按照公比q与1的关系分类讨论．一般地，若涉及n较小的等比数列的前n项和问题，为防止遗忘分类讨论，可直接利用通项公式写出，而不必使用前n项和公式．

2解析：方法一设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.方法二设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋6.整理，得a2－a1＝2，所以d＝2.(2)[2023·河北正定中学模拟]已知等比数列{an}的前三项和为39，a6－6a5＋9a4＝0，则a5＝(

)A．81B．243C．27D．729答案：B解析：由a6－6a5＋9a4＝0⇒a4·(q2－6q＋9)＝0.而an≠0，∴q＝3，又a1＋a2＋a3＝a1＋3a1＋9a1＝13a1＝39⇒a1＝3，∴an＝3n，a5＝35＝243.故选B.微专题2等差数列、等比数列的基本性质的应用1.[2023·浙江宁波一模]已知数列{an}与{bn}均为等差数列，且a3＋b5＝4，a5＋b9＝8，则a4＋b7＝(

)A．5

B．6C．7

D．8答案：B解析：因为a3＋b5＝4，a5＋b9＝8，所以a3＋b5＋a5＋b9＝12，即

a3＋a5＋b5＋b9＝12，根据等差数列的性质可知a3＋a5＋b5＋b9＝2a4＋2b7＝12，所以a4＋b7＝6.故选B.2．[2023·安徽安庆一中三模]在等比数列{an}中，a2a3a4＝4，a5a6a7＝16，则a8a9a10＝(

)A．4

B．8C．32

D．64答案：D

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝20，S20＝10，则S30＝(

)A．0

B．－10C．－30

D．－40答案：C解析：由等差数列{an}的前n项和的性质可得：S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴2×(10－20)＝20＋S30－10，解得S30＝－30.故选C.

－2

答案：A

(2)[2023·河南许昌模拟]已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3·a7＝9，则log3a1＋log3a5＋log3a9＝(

)A．3

B．4C．5

D．6答案：A

技法领悟利用等差(等比)数列的性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．

答案：A

(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若an>0，S3＝5，a7＋a8＋a9＝20，则S15＝________．155

答案：C

答案：A

3．[2023·北京人大附中三模]已知{an}是公比为q(q>0)的等比数列，且a2，a4，a6成等差数列，则q＝________．1

答案：A

答案：C

技法领悟1．对于等差数列与等比数列交汇的问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用等差中项、等比中项等性质，可使运算简便．2．数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象来解决；②已知数列条件，解决函数问题，此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对所给条件化简变形．[巩固训练3]

(1)[2023·山东泰安模拟]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4，S2，S3成等差数列，a2＋a3＋a4＝－18，则a5＝(

)A．－96B．－48C．48D．96答案：C

2

答案：A

2．若an＝an－1＋n－1，a1＝1则a10＝(

)A．55

B．56C．45

D．46答案：D

答案：C

答案：D

解析：由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)得，an＝an＋2－an＋1(n∈N*)，所以S2021＝a2021＋a2020＋a2019＋…＋a3＋a2＋a1＝(a2023－a2022)＋(a2022－a2021)＋(a2021－a2020)＋…＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＝a2023－a2＝m－2.故选D.

答案：B

答案：A

(2)[2023·河南洛阳联考]已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an(an＋1)，则a2023＝(

)A．2022B．2023C．2024D．2025答案：B

第二讲数列的通项与求和数列大题一般为两问：第一问通常求数列通项公式，有时涉及用定义证明等差或等比数列；第二问一般与和有关，通常是求前n项和或特定项的和，有时也涉及不等式证明或逆求参数等．微专题1数列的证明与通项1.已知各项均为正数的等差数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，且满足S3＝a5，且2a2＝3.(1)求数列{an}的通项公式；

2．已知数列{an}的前n项和Sn，a1＝4，Sn＝an＋1＋2n－4.证明数列{an－2}为等比数列，并求出an的通项公式．

1.[2023·山东青岛一模]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S2，S4，S5＋4成等差数列，a2，a4，a8成等比数列．(1)求Sn；

(2)求数列{an}，{bn}的通项公式．

微专题2数列的通项与求和1.[2023·全国甲卷]已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为{an}前n项和，2Sn＝nan.(1)求{an}的通项公式；

2．[2023·全国乙卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.

微专题3数列与不等式问题1.[2023·吉林延边二模]已知等差数列{an}中，公差d>0，S11＝77，且a2，a6－1，a11成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；

技法领悟解决数列与不等式问题时，一般先解决数列的通项或求和，再利用作差比较法、放缩法等不等式的方法解决．[巩固训练3]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＋a12＝16，S7＝28.(1)求{an}的通项公式；

微专题4数列重组问题1.已知公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，a4是a2和a8的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；

(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T20的值．

(2)将数列{an}和{bn}中的项合并，按从小到大的顺序重新排列构成新数列{cn}，求{cn}的前100项和．

4.[2023·河北石家庄一模]已知等差数列{an}的