高中数学选择性必修一课件：3 2 2 第1课时 双曲线的简单几何性质(人教版)

第1课时双曲线的简单几何性质第三章

3.2.2双曲线的简单几何性质1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.学习目标在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质.导语随堂演练课时对点练一、双曲线的几何性质二、由双曲线的几何性质求标准方程三、求双曲线的离心率内容索引一、双曲线的几何性质提示1.范围所以x≥a

或x≤－a;y∈R.2.对称性x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.3.顶点(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个.(2)如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.方程为x2－y2＝m(m≠0).4.渐近线(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.4.渐近线(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.5.离心率(2)e的范围：e>1.(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_________________________________________图形

知识梳理性质范围_______________________________对称性对称轴：

；对称中心：_____顶点坐标________________________________________渐近线_______________________离心率e＝

，e∈

，其中c＝

a，b，c间的关系c2＝

(c>a>0，c>b>0)x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)(1，＋∞)a2＋b2注意点：(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.(2)等轴双曲线的离心率为

渐近线方程为y＝±x.(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.(4)焦点到渐近线的距离为b.例1

(教材P124例3改编)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，例1

(教材P124例3改编)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，延伸探究

若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.反思感悟由双曲线的方程研究几何性质(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1

求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5；二、由双曲线的几何性质求标准方程例2

求满足下列条件的双曲线的方程：①②联立，无解.联立③④，解得a2＝8，b2＝32.反思感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的技巧③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).跟踪训练2

求满足下列条件的双曲线的标准方程：代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，解当所求双曲线的焦点在x轴上时，当所求双曲线的焦点在y轴上时，三、求双曲线的离心率√又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，反思感悟求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝

得解.(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，1.知识清单：(1)双曲线的几何性质.(2)等轴双曲线.(3)双曲线的离心率.2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.课堂小结随堂演练1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则A.实轴长为 B.虚轴长为4C.焦距为6 D.离心率为√1234√√2.双曲线

的左焦点与右顶点之间的距离等于A.6 B.8 C.9 D.10√1234解析由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4√1234解析令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，12341234课时对点练√基础巩固123456789101112131415162.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为√解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，12345678910111213141516√123456789101112131415164.设双曲线

(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为A.4 B.3 C.2 D.1√解析由双曲线的几何性质可得，12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516|PF|的最小值为c－a＝2，D正确.√12345678910111213141516123456789101112131415168.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为____________.12345678910111213141516a2＝64，c2＝64－16＝48，从而a′＝6，b′2＝12，9.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；解由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.12345678910111213141516(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.解设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，1234567891011121314151612345678910111213141516又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，12345678910111213141516于是双曲线的离心率为2.√12345678910111213141516综合运用又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.1234567891011121314151612.若双曲线与椭圆

有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为A.y2－x2＝96 B.y2－x2＝160C.y2－x2＝80 D.y2－x2＝24√解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，1234567891011121314151612345678910111213141516√解析由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，123456789101112131415161234567891011121314151632所以|PQ|＝12.双曲线图象如图.|PF|－|AP|＝2a＝4，

①|QF|－|QA|＝2a＝4，

②①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，∴周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.12345678910111213141516√拓广探究12345678910111213141516√√△APF1的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得|PA|＋|PF1|的最小值不小于9，又F2为双曲线的左焦点，可得|PF1|＝|PF2|＋2a，|PA|＋|PF1|＝|PA|＋|PF2|＋2a

，当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值5＋2a，所以5＋2a≥9，即a≥2，123456789101112131