高中数学选择性必修一课件：2 4 1 圆的标准方程(人教A版)

第二章

§2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程，

能准确判断点与圆的位置关系.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：

.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是

.(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.(

)2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(

)3.圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(

)4.(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上.(

)×√××2题型探究PARTTWO一、求圆的标准方程例1

(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________________.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.一、求圆的标准方程例1

(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________________.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是___________________.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.反思感悟直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.跟踪训练1求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；解r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).解设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.二、点与圆的位置关系例2

(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是A.点P在圆内 B.点P在圆外C.点P在圆上 D.不确定√解析由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外.二、点与圆的位置关系例2

(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是A.点P在圆内 B.点P在圆外C.点P在圆上 D.不确定√解析由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外.[0,1)反思感悟判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.跟踪训练2已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：(1)点A在圆的内部；解因为点A在圆的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不为0，解得a<－2.5.(2)点A在圆上；解因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5.(3)点A在圆的外部.解因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不为0，解得a>－2.5且a≠0.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN待定系数法与几何法求圆的标准方程典例求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.解方法一

(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.方法二(几何法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，即圆心坐标为(4，－3)，∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.素养提升(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程.(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果.充分体现数学运算的数学核心素养.3随堂演练PARTTHREE1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为√123452.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9√12345解析由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.3.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.不确定√123454.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1√解析方法一(直接法)∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.123455.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________________.解析∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，123451.知识清单：(1)圆的标准方程.(2)点和圆的位置关系.2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.3.常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是A.(x＋3)2＋(y＋1)2＝5B.(x＋3)2＋(y＋1)2＝25C.(x－3)2＋(y－1)2＝5D.(x－3)2＋(y－1)2＝25√基础巩固123456789101112131415162.圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是√123456789101112131415163.已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是A.(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25C.(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100√12345678910111213141516解析由题意得圆心坐标为(－1,1)，所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.故选B.4.若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是A.(0，＋∞) B.(－∞，5)C.(0,5) D.[0,5]√12345678910111213141516解析由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，所以0<m<5，故选C.5.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52√解析如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.12345678910111213141516解析∵P点在圆x2＋y2＝m2上，12345678910111213141516±2∴m＝±2.7.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是______________.12345678910111213141516(x－4)2＋y2＝1解析设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.8.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，

为半径的圆的标准方程是__________________.12345678910111213141516(x＋1)2＋(y－2)2＝5解析将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.9.已知圆C过点A(3,1)，B(5,3)，圆心在直线y＝x上，求圆C的标准方程.12345678910111213141516解设圆心C(a，a)，半径为r，∴圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.10.已知点A(－1,2)和B(3,4).求：(1)线段AB的垂直平分线l的方程；解由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).∵A(－1,2)，B(3,4)，∵直线l垂直于直线AB，∴直线l的方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.12345678910111213141516(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.12345678910111213141516解∵A(－1,2)，B(3,4)，又圆心为C(1,3)，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.11.已知圆心在x轴上的圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则C的标准方程为A.(x＋4)2＋y2＝50 B.(x＋4)2＋y2＝25C.(x－4)2＋y2＝50 D.(x－4)2＋y2＝25√综合运用解析根据题意，设圆的圆心C的坐标为(m，0)，若圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，解得m＝－4，即圆心C为(－4,0)，则圆C的标准方程为(x＋4)2＋y2＝50，故选A.1234567891011121314151612.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0√12345678910111213141516解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.13.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.1234567891011121314151615.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为______________.12345678910111213141516拓广探究x2＋(y＋1)2＝112345678910111213141516解析由已知圆(x－1)2＋y2＝1，设其圆心为C1，则圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，即圆心C的坐标为(a，b)，所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1.16.已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程.解设圆C2的圆心坐标为(m，n).圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝