高中数学选择性必修一课件：2 2 1 直线的点斜式方程(人教版)

2.2.1直线的点斜式方程第二章

§2.2直线的方程1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.学习目标给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？导语随堂演练课时对点练一、求直线的点斜式方程二、直线的斜截式方程三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直内容索引一、求直线的点斜式方程问题1

给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？提示y－y0＝k(x－x0)我们把方程

称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的

，简称点斜式.y－y0＝k(x－x0)点斜式方程知识梳理注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.例1

已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；解如图所示，因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1.例1

已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；解如图所示，因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1.(2)AC边与BC边所在直线的方程.解因为∠A＝60°，因为∠B＝45°，所以kBC＝tan135°＝－1，所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5).反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0).(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外.跟踪训练1

求满足下列条件的直线方程：(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；解与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.解过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率∵直线过点P(－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.二、直线的斜截式方程二、直线的斜截式方程问题2

直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.提示y＝kx＋b1.直线l与y轴的交点(0，b)的

叫做直线l在y轴上的截距.2.把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.纵坐标b知识梳理注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距.(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程.例2

已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.解由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2.由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.延伸探究本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程.解∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2.反思感悟求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.跟踪训练2

已知斜率为

的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程.∴b2＝16，∴b＝±4.三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直解当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；当m＝0时，l1与l2垂直.反思感悟若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.跟踪训练3

已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)判断直线l1与l2是否能平行；解当a＝1时，显然两直线不平行.若直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，故当a＝－1时，直线l1与l2平行.(2)当l1⊥l2时，求a的值.1.知识清单：(1)直线的点斜式方程.(2)直线的斜截式方程.2.方法归纳：待定系数法、数形结合思想.3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离.课堂小结随堂演练1.方程y＝k(x－2)表示A.通过点(－2,0)的所有直线B.通过点(2,0)的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线√1234解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.∴l在y轴上的截距为－9.√12343.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为√12344.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b>0 D.k<0，b<01234解析∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.√课时对点练1.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为A.x＝3 B.x＝－2C.y＝3 D.y＝－2√解析∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y＝－2.基础巩固123456789101112131415162.若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是A.y－1＝x B.y＋1＝xC.y－1＝－x D.y＋1＝－x√解析∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，又∵直线l过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x.123456789101112131415163.直线y－2＝－

(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为√12345678910111213141516√解析所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1).123456789101112131415165.以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是A.y－(－3)＝2(x－3) B.y－3＝2(x－3)C.y－3＝－

(x－3) D.y－(－3)＝－

(x－3)√解析由A(2，－5)，B(4，－1)，知线段AB的中点坐标为P(3，－3)，123456789101112131415166.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点A.(1,3) B.(－1，－3)C.(3,1) D.(－3，－1)√解析直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).123456789101112131415167.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是

.解析因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，12345678910111213141516又因为在y轴上的截距为－6，8.已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为

.y－1＝－(x－2)解析直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2).123456789101112131415169.求满足下列条件的m的值.(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；解∵l1∥l2，∴两直线的斜率相等.∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m＝±1.12345678910111213141516(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直.12345678910111213141516解当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，10.直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.1234567891011121314151611.在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是√12345678910111213141516综合运用解析对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意.12345678910111213141516解得a＝－2或a＝1.12345678910111213141516－2或113.已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点

.(－1,0)12345678910111213141516解析由题意可设方程为y＝ax＋a，即y－0＝a(x＋1)，由点斜式方程可知，直线过定点(－1,0).1234567891011121314151615.已知点A(1,3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是

.拓广探究12345678910111213141516解析由已知得，直线l恒过定点P(2,1)，如图所示.若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点；12345678910111213141516证明由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1).(2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.1234