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文档简介
2.2.1直线的点斜式方程第二章
§2.2直线的方程1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.学习目标给定一个点P0(x0,y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线,也就是说这条直线上任意一点的坐标(x,y)与点P0(x0,y0)和斜率k之间的关系是确定的,如何表示这一关系呢?导语随堂演练课时对点练一、求直线的点斜式方程二、直线的斜截式方程三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直内容索引一、求直线的点斜式方程问题1
给定一个点P0(x0,y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0,y0)和斜率k之间的关系?提示y-y0=k(x-x0)我们把方程
称为过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l的方程.方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的
,简称点斜式.y-y0=k(x-x0)点斜式方程知识梳理注意点:(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.(2)当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.例1
已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:(1)AB边所在直线的方程;解如图所示,因为A(1,1),B(5,1),所以AB∥x轴,所以AB边所在直线的方程为y=1.例1
已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:(1)AB边所在直线的方程;解如图所示,因为A(1,1),B(5,1),所以AB∥x轴,所以AB边所在直线的方程为y=1.(2)AC边与BC边所在直线的方程.解因为∠A=60°,因为∠B=45°,所以kBC=tan135°=-1,所以直线BC的方程为y-1=-(x-5).反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但x=x0除外.跟踪训练1
求满足下列条件的直线方程:(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;解与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5,故直线方程可记为x=5.(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.解过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率∵直线过点P(-2,3),∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.二、直线的斜截式方程二、直线的斜截式方程问题2
直线l上给定一个点P0(0,b)和斜率k,求直线l的方程.提示y=kx+b1.直线l与y轴的交点(0,b)的
叫做直线l在y轴上的截距.2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.纵坐标b知识梳理注意点:(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距.(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式,但有区别:当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数.故一次函数y=kx+b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程.例2
已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.解由斜截式方程知,直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以kl=-2.由题意知,l2在y轴上的截距为-2,所以直线l在y轴上的截距b=-2.由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.延伸探究本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”,求l的方程.解∵l1⊥l,直线l1:y=-2x+3,∵l与l2在y轴上的截距互为相反数,直线l2:y=4x-2,∴l在y轴上的截距为2.反思感悟求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.跟踪训练2
已知斜率为
的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6,求直线l的方程.∴b2=16,∴b=±4.三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直解当m=0时,l1:4y-5=0;l2:x-4=0,l1与l2垂直;当m=0时,l1与l2垂直.反思感悟若l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.跟踪训练3
已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)判断直线l1与l2是否能平行;解当a=1时,显然两直线不平行.若直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,故当a=-1时,直线l1与l2平行.(2)当l1⊥l2时,求a的值.1.知识清单:(1)直线的点斜式方程.(2)直线的斜截式方程.2.方法归纳:待定系数法、数形结合思想.3.常见误区:求直线方程时忽视斜率不存在的情况;混淆截距与距离.课堂小结随堂演练1.方程y=k(x-2)表示A.通过点(-2,0)的所有直线B.通过点(2,0)的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线√1234解析易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x轴.∴l在y轴上的截距为-9.√12343.已知直线l的倾斜角为60°,且在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为√12344.若直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有A.k>0,b>0 B.k>0,b<0C.k<0,b>0 D.k<0,b<01234解析∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0.√课时对点练1.已知一直线经过点A(3,-2),且与x轴平行,则该直线的方程为A.x=3 B.x=-2C.y=3 D.y=-2√解析∵直线与x轴平行,∴其斜率为0,∴直线的方程为y=-2.基础巩固123456789101112131415162.若直线l的倾斜角为45°,且过点(0,-1),则直线l的方程是A.y-1=x B.y+1=xC.y-1=-x D.y+1=-x√解析∵直线l的倾斜角为45°,∴直线l的斜率为1,又∵直线l过点(0,-1),∴直线l的方程为y+1=x.123456789101112131415163.直线y-2=-
(x+1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为√12345678910111213141516√解析所求直线与已知直线垂直,因此所求直线的斜率为-2,故方程为y-3=-2(x+1).123456789101112131415165.以A(2,-5),B(4,-1)为端点的线段的垂直平分线方程是A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3)C.y-3=-
(x-3) D.y-(-3)=-
(x-3)√解析由A(2,-5),B(4,-1),知线段AB的中点坐标为P(3,-3),123456789101112131415166.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有的直线恒过定点A.(1,3) B.(-1,-3)C.(3,1) D.(-3,-1)√解析直线kx-y+1-3k=0变形为y-1=k(x-3),由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).123456789101112131415167.在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是
.解析因为直线与y轴相交成30°角,所以直线的倾斜角为60°或120°,12345678910111213141516又因为在y轴上的截距为-6,8.已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2:y=x+1垂直,则l1的点斜式方程为
.y-1=-(x-2)解析直线l2的斜率k2=1,故l1的斜率为-1,所以l1的点斜式方程为y-1=-(x-2).123456789101112131415169.求满足下列条件的m的值.(1)直线l1:y=-x+1与直线l2:y=(m2-2)x+2m平行;解∵l1∥l2,∴两直线的斜率相等.∴m2-2=-1且2m≠1,∴m=±1.12345678910111213141516(2)直线l1:y=-2x+3与直线l2:y=(2m-1)x-5垂直.12345678910111213141516解当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经检验符合题目的要求.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),10.直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.1234567891011121314151611.在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与直线y=x+a的图象(如图所示)正确的是√12345678910111213141516综合运用解析对于选项A,y=ax过坐标原点,且a>0,直线y=x+a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正,题中图象不符合题意;对于选项B,y=ax过坐标原点,且a>0,直线y=x+a在y轴上的截距应该大于零,题中图象不符合题意;对于选项C,y=ax过坐标原点,且a<0,直线y=x+a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正,题中图象符合题意;对于选项D,两直线均不过原点,不符合题意.12345678910111213141516解得a=-2或a=1.12345678910111213141516-2或113.已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率,则直线l一定经过点
.(-1,0)12345678910111213141516解析由题意可设方程为y=ax+a,即y-0=a(x+1),由点斜式方程可知,直线过定点(-1,0).1234567891011121314151615.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是
.拓广探究12345678910111213141516解析由已知得,直线l恒过定点P(2,1),如图所示.若l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB,16.已知直线l:y=kx+2k+1.(1)求证:直线l恒过一个定点;12345678910111213141516证明由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2).由直线方程的点斜式可知,直线恒过定点(-2,1).(2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围.1234
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