高中数学选择性必修一课件：再练一课(范围：§1 1～§1 4) (人教A版)

第一章

空间向量与立体几何再练一课(范围：§1.1～§1.4)1.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于A.3 B.6 C.－9 D.9√解析由题意可得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，解得z＝－9.123456789101112131415一、单项选择题2.已知直线l1的方向向量a＝(－1,2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是A.－6 B.6 C.14 D.－14√解析∵l1∥l2，∴a∥b，123456789101112131415解得n＝－4，m＝6，∴m＋3n＝6－12＝－6.3.在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(x，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于A.2 B.0 C.1 D.3√123456789101112131415由a为平面ABC的法向量知令x＝－1，则y＝1，∴y2＝1.4.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为√又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，123456789101112131415解析∵点A(2,3,2)关于Ozx平面的对称点为A′，∴A′(2，－3,2)，∵点B(－2,1,4)关于y轴的对称点为B′，∴B′(2,1，－4)，∵点M为线段A′B′的中点，∴M(2，－1，－1)，5.若点A(2,3,2)关于Ozx平面的对称点为A′，点B(－2,1,4)关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于√1234567891011121314156.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是√123456789101112131415解析建立如图所示的空间直角坐标系，123456789101112131415令x＝1，则y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2).7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEF√123456789101112131415二、多项选择题D.点D与点B1到平面CEF的距离相等√7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEF√123456789101112131415二、多项选择题D.点D与点B1到平面CEF的距离相等√解析对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立.对B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1边长为2，123456789101112131415又CF⊂平面CEF.故B1D⊥平面CEF不成立.123456789101112131415对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等，则点D与点B1中点O在平面CEF上.连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点B1中点O在A1ACC1上，故点O不在平面CEF上.故D不成立.8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是A.B1G⊥BCB.平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1C.A1H∥平面AEFD.平面EAF与平面AFC的夹角为√123456789101112131415√解析由题意可知，B1G在底面上的射影为BG，而BC不垂直BG，则B1G不垂直于BC，则选项A不正确；连接AD1和BC1，由E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，可知EF∥BC1∥AD1，则平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1，所以选项B正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，123456789101112131415令y＝1，得x＝2，z＝2，得平面AEF的法向量为n＝(2,1,2)，123456789101112131415由图可知，AA1⊥平面AFC，令y＝1，得x＝2，z＝2，得平面AEF的法向量为n＝(2,1,2)，123456789101112131415由图可知，AA1⊥平面AFC，9.已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M满足CM⊥AB，则点M的坐标为____________.123456789101112131415三、填空题解析设M(x，y，z)，10.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是____.123456789101112131415解析因为平面EFD1B1∥平面GHDB，EF∥平面GHDB，所以平面EFD1B1和平面GHDB的距离，就是EF到平面GHDB的距离，也就是点F到平面GHDB的距离.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设平面GHDB的法向量为n＝(x，y，z)，123456789101112131415不妨取y＝－2，则n＝(2，－2,1)，12345678910111213141511.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1

，则异面直线BA1与AC1所成的角的大小为_____.60°解析∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，且∠BAC＝90°，∴以点A

为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z

轴建立空间直角坐标系，设AB＝AC＝AA1＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,0,1)，123456789101112131415∴异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.12.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5).则△ABC的面积为______，△ABC中AB边上的高为_____.12345678910111213141512345678910111213141513.如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.123456789101112131415四、解答题求证：(1)BC1⊥AB1；123456789101112131415证明如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2).故BC1⊥AB1.证明取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，123456789101112131415(2)BC1∥平面CA1D.又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.14.如图，在多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.123456789101112131415(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；证明如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：123456789101112131415又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1⊂平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.123456789101112131415解设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.设平面ABB1的法向量为n＝(x，y，z).15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.123456789101112131415(1)求证：B1E⊥AD1；设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，123456789101112131415∴B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；123456789101112131415解假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)(0≤z0≤1)，123456789101112131415设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).取x＝1，得平面B1AE的一个法向量又DP⊄平面B1AE，123456789101112131415(3)若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长.123456789101112131415解连接A1D，B1C，由ABCD－A1B1C1D1为长方体及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C，又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，B1C，B1E⊂平面DCB1A1，∴AD1⊥平面DCB1A1，123456789101112131415∵平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，∴|cosθ|＝cos30°，123456789101112131415解得a＝2，即AB的长为2.备用工具&资料解连接A1D，B1C，由ABCD－A1B1C1D1为长方体及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C，又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，B1C，B1E⊂平面DCB1A1，∴AD1⊥平面DCB1A1，123456789101112131415又DP⊄平面B1AE，1234567891011121314154.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)