高中数学选择性必修一课件：习题课 抛物线焦点弦的应用(人教A版)

习题课抛物线焦点弦的应用第三章

圆锥曲线的方程1.抛物线焦点弦的推导.2.利用抛物线的焦点弦求解弦长问题.学习目标在上节中，我们已经掌握了抛物线焦点弦的一些性质：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则导语(2)以弦AB为直径的圆与准线相切；随堂演练课时对点练内容索引四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x√设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.反思感悟通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果.跟踪训练1

过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

＝____.－4将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－p2.由于点A，B均在抛物线上，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－p2.由于点A，B均在抛物线上，例2

抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.解依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，故所求的抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，抛物线方程为y2＝±4x.跟踪训练2

经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝_____.2解析

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，跟踪训练2

经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝_____.2解析

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，例3

过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于√反思感悟将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.跟踪训练3

如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为√四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用例4

抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线上一点.若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p等于A.2 B.4 C.6 D.8√解析∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵外接圆的面积为9π，∴外接圆的半径为3.反思感悟把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解.跟踪训练4

已知抛物线x2＝2py(p>0)，直线l过它的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是A.相离 B.相切C.相交 D.与p的取值有关√1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错.课堂小结随堂演练解析由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y，所以准线方程为y＝－2，√1234所以弦长|AB|＝5＋4＝9.2.过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于A.9或6 B.6或3C.9 D.3√1234解析方法一设点A为第一象限内的点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0，则由题意可得F(2,0)，|AF|＝x1＋2＝6，1234将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以|BF|＝x2＋2＝3.12343.过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝_____.123410解析由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，p＝4，设A，B两点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝6，抛物线的焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p＝10.4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为____.41234解析由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.课时对点练1.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

的值一定等于A.－4 B.4C.p2 D.－p2√基础巩固123456789101112131415162.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是√解析如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，12345678910111213141516√123456789101112131415164.已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|等于A.6 B.8 C.10 D.12√解析∵|AF|＝3|BF|，且p＝3，12345678910111213141516∴|BF|＝2，|AF|＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝8.5.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p等于√12345678910111213141516由|AF|＝4，|BF|＝1，6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M，则以下结论正确的是√12345678910111213141516√√解析由抛物线焦点弦的性质知ABD正确.1234567891011121314151612345678910111213141516解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，显然直线AB的斜率存在，将直线方程与抛物线方程联立，12345678910111213141516所以k2＝24，方程①即12x2－13x＋3＝0，123456789101112131415168.已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝___.812345678910111213141516由题意知，直线l：y＝x－1过点(1,0)，9.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；12345678910111213141516解方法一因为直线l的倾斜角为60°，12345678910111213141516若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝5，12345678910111213141516所以|AB|＝5＋3＝8.方法二因为抛物线y2＝6x，所以p＝3，又直线l的倾斜角α＝60°，(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，1234567891011121314151610.已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.(1)求抛物线C的方程；12345678910111213141516∴抛物线方程为y2＝4x.(2)若|AB|＝8，求直线l的斜率.12345678910111213141516解方法一由(1)知焦点为F(1,0)，若直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，12345678910111213141516设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得k＝1或k＝－1.方法二若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，设直线l的倾斜角为α，12345678910111213141516即α＝45°或135°，则k＝tanα＝±1.11.(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是A.若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥D.过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条√12345678910111213141516综合运用√√解析对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确；对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝

，故C正确；对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，1234567891011121314151612.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是A.抛物线的准线方程为x＝－1√12345678910111213141516C.若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1D.若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2√√解析

把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；12345678910111213141516因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.1234567891011121314151613.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为12345678910111213141516√1234567891011121314151614.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于A.2 B.3C.4 D.512345678910111213141516√解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，又|AC|＝2|AF|，123456789101112131415161234567891011121314151615.(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C，B两点在x轴上方，则下列结论中正确的是√拓广探究12345678910111213141516√√解析如图所示，12345678910111213141516A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ(θ≠0)，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，12345678910111213141516故其最小值为8p2，故错误；16.已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2＋y2－2x＝0的圆心重合.(1)求抛物线C的标准方程；12345678910111213141516解由已知易得F(1,0)，则所求抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)设定点A(3,2)，当P点在C上何处时，|PA|＋|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；12345678910111213141516解设点P在抛物线C的准线上的射影为点B，根据抛物线定义知|PF|＝|PB|，要使|PA|＋|PF|的值最小，必P，A