高中数学选择性必修一课件：第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示(人教A版)

1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第一课时空间中点、直线和平面的向量表示课标要求素养要求1.能用向量语言表述直线和平面.2.理解直线的方向向量与平面的法向量.3.会求直线的方向向量与平面的法向量.在学习用向量语言表述直线、平面以及理解直线的方向向量和平面的法向量的过程中，经历数学概念的抽象过程，培养数学抽象素养，发展数学运算素养.新知探究如图所示，铜钱能够在线上移动，说明一个平面的垂线不能确定一个平面，那么这条直线的方向向量也不能确定一个平面.问题一个平面垂线的方向向量再添加什么条件可以确定一个平面？提示一个平面垂线的方向向量和一个点能够确定一个平面.1.点的位置向量2.空间直线的向量表示式(2)性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量___________确定.唯一3.空间平面的向量表示式唯一4.平面的法向量拓展深化[微判断]1.若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量.()

提示当k＝0时，ka＝0不是直线l的方向向量，故错误.2.若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.(

)

提示以这两个向量为方向向量的直线也可能重合，故错误.××[微训练]1.若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

) A.(2，1，1) B.(－2，2，2) C.(－3，2，1) D.(2，1，－1)答案B[微训练]1.若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

) A.(2，1，1) B.(－2，2，2) C.(－3，2，1) D.(2，1，－1)答案B2.已知A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为(

) A.(0，1，－1) B.(－1，0，1) C.(1，1，1) D.(－1，0，0)答案A3.(多选题)由下列各式，可以判定点P在直线AB上的是(

)解析由点P在直线上的充要条件可得，选AB.答案

AB[微思考]

平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，他们是什么关系？规律方法求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算.解因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，【迁移】若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.【训练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.解连接PF，CF.因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB，所以PF⊥平面ABCD.因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系Fxyz(如图所示).(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1.求点P和点Q的坐标.设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，4，0)＋2(1，3，3)＝(0，2，6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q点的坐标是(0，2，6).规律方法求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标.答案C一、素养落地1.通过直线的方向向量和平面的法向量的求解，提升学生的数学运算素养.在学习空间点的坐标的确定的过程中，提升学生的直观想象素养.2.求直线的方向向量的实质仍然是空间向量基本定理的应用；求平面的法向量和空间点的坐标都应用了方程的思想方法.二、素养训练1.若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

) A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1)答案A2.设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(

) A.(－1，－2，5) B.(－1，1，－1) C.(1，1，1) D.(1，－1，－1)解析平面α的法向量应当与a，b都垂直，可以检验知B选项适合.答案

B3.若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(

) A.(0，1，2) B.(3，6，9) C.(－1，－2，3) D.(3，6，8)解析一个平面的法向量是共线向量，而向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线，故选B.答案

BA.－4 B.－6C.－8 D.8答案C5.已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，求平面ABC的一个法向量.因此，可取n＝(6，3，2)为平面ABC的一个法向量.备用工具&资料A.－4 B.－6C.－8 D.8答案C2.设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(

) A.(－1，－2，5) B.(－1，1，－1) C.(1，1，1) D.(1，－1，－1)解析平面α的法向量应当与a，b都垂直，可以检验知B选项适合.答案

B3.空间平面的向量表示式唯一拓展深化[微判断]1.若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量.()

提示当k＝0时，ka＝0不是直线l的方向向量，故错误