高中数学选择性必修一课件：第二课时 用空间向量研究夹角问题(人教A版)

第二课时用空间向量研究夹角问题课标要求素养要求1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.通过学习空间角的计算步骤和方法，把两异面直线所成的角、线面角、二面角转化为向量的夹角求解，培养学生的直观想象素养和数学运算素养.新知探究1970年4月25日18时，新华社授权向全世界宣布：1970年4月24日，中国成功地发射了第一颗人造卫星，卫星运行轨道的近地点高度439千米，远地点高度2384千米，轨道平面与地球赤道平面夹角68.5度，绕地球一圈114分钟.卫星重173千克，用20.009兆赫的频率播放“东方红”乐曲.这里的68.5度是轨道平面与地球赤道平面的夹角.问题上述的68.5度是如何计算出来的呢？提示求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求二面角.1.两条异面直线所成的角θ与〈u，v〉的关系是相等或互补设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，2.直线和平面所成的角3.二面角(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面

β的夹角.拓展深化[微判断]1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.()

提示两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等或互补，故错误.2.直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.()

提示直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法向量夹角互余或与其补角互余，故错误.3.两个平面的夹角就是该二面角两个面的法向量的夹角.(

)

提示两个平面的夹角与该二面角两个面的法向量的夹角相等或互补，故错误.×××[微训练]1.设两条异面直线a，b的方向向量分别为a＝(－1，1，0)，b＝(0，－1，1)，则a与b所成的角为________.2.设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________.2.设直线a的方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的法向量为b＝(0，1，2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________.3.已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面的夹角的大小为________.答案45°提示60°.提示60°.题型一异面直线所成的角【例1】在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(

)法二如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，法二如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，答案A建立如图所示的空间直角坐标系，解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z).(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，题型三两平面的夹角【例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1和平面DOB1夹角的余弦值.(1)证明因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD.因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥底面ABCD.【迁移】例3条件不变，求平面BA1C与平面A1CD的夹角的余弦值.规律方法利用向量方法求两个平面的夹角的大小时，多采用法向量的方法，即求出两个平面的法向量，然后通过法向量的夹角得到两个平面的夹角的大小，这种方法思路简单，但运算量大，所以求解时需特别注意仔细运算.【训练3】已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(

) A.30° B.45° C.60° D.90°解析如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).答案B一、素养落地1.本节课通过学习利用空间向量求三种空间角的大小或其三角函数值，实现了几何问题代数化，在此过程中提升了学生的数学运算素养和直观想象素养.2.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.3.解决空间角问题，首先要注意熟记公式，其次要注意空间角和对应向量的夹角的区别.答案A答案A3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(

)解析设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图，则D(0，0，0)，答案D4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________.解析如图，建立空间直角坐标系.由已知得A1(4，0，0)，B(4，4，3)，B1(4，4，0)，C(0，4，3).三、审题答题示范(二)利用空间向量求两个平面的夹角联想解题看到①想到建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量求二者夹角的余弦值.满分示范解取AB的中点E，连接DE，DB，因为AB＝2CD，所以CD＝BE，又AB∥CD，CD＝BC，∠ABC＝90°，所以四边形BCDE为正方形，不妨设CD＝1，则BC＝DE＝BE＝AE＝1，满分心得(1)利用空间向量求平面的夹角运算量较大，思路简单，所以需特别仔细，保证运算正确.(2)利用空间向量求两平面夹角的步骤：建系→写坐标→求法向量→计算数量积→结论.备用工具&资料3.二面角(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面

β的夹角.[微训练]1.设两条异面直线a，