高中数学选择性必修一课件：3 2 1 第1课时 双曲线及其标准方程(人教A版)

第1课时双曲线及其标准方程第三章

3.2.1双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.学习目标我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.那么，与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？导语随堂演练课时对点练一、双曲线的定义二、双曲线的标准方程及其推导过程三、双曲线定义的简单应用内容索引一、双曲线的定义问题1

如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.如图，在|F1F2|＞|AB|的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？提示如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数.一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的

等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做

.这两个定点叫做双曲线的

，两焦点间的距离叫做双曲线的

.差的绝对值双曲线知识梳理焦点焦距注意点：(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.例1

已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线√解析

当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.例1

已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线√解析

当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.反思感悟判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.跟踪训练1

已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是A.双曲线 B.双曲线的一支C.直线 D.一条射线√解析F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线.二、双曲线的标准方程及其推导过程问题2

类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？提示观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，提示观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，问题3设双曲线的焦点为

F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形

双曲线的标准方程知识梳理标准方程__________________________________________焦点______________________________________a，b，c的关系b2＝________F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)c2－a2注意点：(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系.(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.解得a2＝3，b2＝5.解设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.因为点P，Q在双曲线上，反思感悟双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.解得a2＝8，b2＝4，三、双曲线定义的简单应用A.11 B.9 C.5 D.3√解析由题意得||PF1|－|PF2||＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)，故选B.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，反思感悟双曲线的定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.√在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，1.知识清单：(1)双曲线的定义.(2)双曲线的标准方程及其推导过程.(3)双曲线定义的简单应用.2.方法归纳：待定系数法、分类讨论.3.常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件.课堂小结随堂演练解析

设A(1,0)，B(－1,0)，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线.A.椭圆 B.双曲线C.两条射线 D.双曲线的一支√1234A.－2＜m＜2 B.m＞0C.m≥0 D.|m|≥2√1234解析∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.√12344.已知双曲线的焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)，P是双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝4，则双曲线的标准方程为1234√解析由双曲线的定义可得c＝3,2a＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，且焦点在y轴上，课时对点练1.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为√又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.基础巩固12345678910111213141516A.(－1，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－1,2)√12345678910111213141516∴(m－2)(m＋1)<0，解得－1<m<2，∴m的取值范围是(－1,2).3.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为√12345678910111213141516A.17 B.7 C.22 D.2√12345678910111213141516√∴点P可能在左支，也可能在右支，由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，∴|PF2|＝22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.5.已知双曲线

(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为A.4a B.4a－mC.4a＋2m D.4a－2m√解析不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.123456789101112131415166.已知双曲线

上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为A.3或7 B.6或14C.3 D.7√解析设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，12345678910111213141516∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，12345678910111213141516解析设焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得

＝－1，12345678910111213141516又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.解析由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为12345678910111213141516设点P(x，y)，∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.12345678910111213141516所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示.12345678910111213141516由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；12345678910111213141516则a＝3，b＝4，c＝5，设点M到另一个焦点的距离为m，由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，解得m＝10或m＝22，即点M到另一个焦点的距离为10或22.解P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，代入|PF1|·|PF2|＝32，可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，所以△F1PF2为直角三角形，(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.12345678910111213141516√12345678910111213141516综合运用解析设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，12345678910111213141516①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，解析在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，∵∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.12.双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于A.1 B.4 C.7 D.9√1234567891011121314151613.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是A.双曲线的一支 B.圆C.椭圆 D.双曲线12345678910111213141516√解析设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝1，又|O1O2|＝4，∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).12345678910111213141516√√12345678910111213141516所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；12345678910111213141516所以选项D错误.√拓广探究12345678910111213141516解析设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.因为

，12345678910111213141516所以R＝2，12345678910111213141516解由题意得||PF1|－|PF2||＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得12345678910111213141516∴|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2.由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4.12345678910111213141516备用工具