高中数学选择性必修一课件：3 1 2 第1课时 椭圆的几何性质(人教A版)

第三章

3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形

标准方程范围________________________________________－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点________________________________________________________________________________________轴长短轴长＝

，长轴长＝____焦点焦距|F1F2|＝

对称性对称轴：

对称中心：_____离心率e＝

∈_____A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)2b2ax轴、y轴原点(0,1)思考离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU3.离心率相同的椭圆是同一个椭圆.(

)×××√2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO一、椭圆的简单几何性质例1设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为

，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.反思感悟用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；二、由椭圆的几何性质求标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，解当椭圆的焦点在x轴上时，由题意，得a＝3，由题意，得b＝3，把b＝3代入，得a2＝27，反思感悟利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的标准方程.(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.(4)写出椭圆标准方程.跟踪训练2

(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为____________.因为椭圆的焦点在x轴上，(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝

，则椭圆的标准方程是___________________________.所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点).所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，三、求椭圆的离心率解析方法一

由题意可设|PF2|＝m，方法二

由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，延伸探究1.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率.解在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，2.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围.解由题意，知c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，反思感悟求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝

求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝

求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.√解析由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，解析由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，3随堂演练PARTTHREE则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，√12345解析依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，√123453.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为√解析不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，123454.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为_____.12345解析∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，______________________.123451.知识清单：(1)椭圆的简单几何性质.(2)由椭圆的几何性质求标准方程.(3)求椭圆的离心率.2.方法归纳：直接法、方程法(不等式法).3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为√基础巩固∴a2＝6，且焦点在y轴上，12345678910111213141516√12345678910111213141516所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；√12345678910111213141516又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.√12345678910111213141516解析以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，√123456789101112131415166.若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为_____.12345678910111213141516解析依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，则1<a≤2，∴2<2a≤4，即长轴长的取值范围是(2,4].12345678910111213141516(2,4]8.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为

.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_______________.1234567891011121314151612345678910111213141516由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，∴a＝4，∴b2＝8，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.解∵椭圆的焦点在x轴上，∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.12345678910111213141516A.2 B.3 C.6 D.8√12345678910111213141516综合运用解析由题意得点F(－1,0).设点P(x0，y0)，此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2.又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，1234567891011121314151612.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为√解析设椭圆的焦点是F1，F2，圆与椭圆的四个交点是A，B，C，D，12345678910111213141516____________________.12345678910111213141516将点M(1,2)代入椭圆方程得1234567891011121314151612345678910111213141516解析如图，切线PA，PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，12345678910111213141516√12345678910111213141516拓广探究解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.12345678910111213141516故选A.16.设F1，F2分别是椭圆E：

＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；12345678910111213141516解由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5.12345678910111213141516解设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形.12345678910111213141516备用工具&资料12345678910111213141516解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝