高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第2课时常用逻辑用语学案

第2课时常用逻辑用语[考试要求]1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．考点一充分、必要条件的判断与应用若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．(1)p是q的充分不必要条件⇔AB；(2)p是q的必要不充分条件⇔BA；(3)p是q的充要条件⇔A＝B；(4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系．[典例1](1)(2024·烟台一模)在△ABC中，“A>π6”是“sinA>12A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0．若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．(1)B(2)0，12[(1)在△ABC中，A由sinA>12，可得π6<A<所以“A>π6”是“sinA>12故选B．(2)由|4x－3|≤1，得12解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a∵q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不能推出命题p成立．∴12，1[a，∴a≤12且a＋1解得0≤a∴实数a的取值范围是0，11．充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．2．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(如本例(2))(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．跟进训练1(1)已知m，n是两条不重合的直线，α是一个平面，n⊂α，则“m⊥α”是“m⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)命题“∀x∈[1，2]，2x＋ax≥0A．a≥－1 B．a≥－2C．a≥－3 D．a≥－4(3)(2023·乌苏市第一中学校考期末)已知函数f(x)＝log34x-①求集合A；②已知集合B＝{x|m－1<x<3m＋1}，m∈R，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求m的取值范围．(1)A(2)A[(1)由线面垂直的性质知，若m⊥α，n⊂α，则m⊥n成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，m必须垂直平面α内的两条相交直线，才有m⊥α，即必要性不成立．故选A．(2)命题“∀x∈[1，2]，2x＋ax≥0”为真命题，可化为“∀x∈[1，2]，2x2＋a≥0即只需a≥(－2x2)max＝－2，所以命题“∀x∈[1，2]，2x＋ax≥0”为真命题的一个充要条件是a而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥－2}的真子集，由选项可知A符合题意．故选A．](3)[解]①要使函数有意义，则4x-1>0，log故A＝x│②x∈A是x∈B的充分不必要条件，B＝{x|m－1<x<3m＋1}，m∈R，则集合A是集合B的真子集．则有m-1<3m+1，所以实数m的取值范围是m│考点二全称量词命题、存在量词命题及其否定1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题及其否定名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．[典例2](1)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x”的否定是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>xB．∀x∈R，∀n∈N*，都有n>xC．∃x∈R，∃n∈N*，使得n>xD．∃x∈R，∀n∈N*，都有n>x(2)由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．(1)D(2)1[(1)“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x”是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，故其否定是∃x∈R，∀n∈N*，都有n>x．故选D．(2)因为命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，故Δ＝22－4m<0，即m>1，故a＝1．]1．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真2．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改写量词；(2)否定结论．本例(2)根据命题的否定为真，转化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求解．跟进训练2(1)(多选)下列四个命题中为真命题的是()A．∀x∈R，2x-1＞0B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lgx＜1D．∃x∈R，tanx＝2(2)若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为()A．a>0 B．a≥0C．a≤0 D．a≤1(3)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数(1)ACD(2)B(3)14，+∞[(1)当x＝1时，(x(2)根据题意，命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，即不等式ax2＋1≥0恒成立，当a＝0时，不等式为1≥0，恒成立．当a≠0时，必有a>0，Δ=0综上可得a≥0，故选B．(3)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m由f(x)min≥g(x所以m≥1课后习题(二)常用逻辑用语1．(多选)(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件ABD[A：a＝b有ac＝bc成立，ac＝bc不一定有a＝b成立，必要性不成立，假命题；B：当a＝1>b＝－2时，a2<b2，充分性不成立，假命题；C：a<5不一定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，真命题；D：a＋5是无理数，则a是无理数，若a是无理数也有a＋5是无理数，故为充要条件，假命题．故选ABD．]2．(北师大版必修第一册P20练习T1改编)下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是()A．菱形的四条边都相等B．∃x∈N，使2x为偶数C．∀x∈R，x2＋2x＋1>0D．π是无理数A[对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题．对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题．对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1>0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题．对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题．故选A．]3．(人教A版必修第一册P35复习参考题1T6(3)改编)存在量词命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．[答案]∃x，y∈R，x＋y>1∀x，y∈R，x＋y≤1假4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则a的取值范围为________．[答案][3，＋∞)5．(2023·广东佛山高三一模)命题“∀x∈Q，x2－5≠0”的否定为()A．∃x∉Q，x2－5＝0 B．∀x∈Q，x2－5＝0C．∀x∉Q，x2－5＝0 D．∃x∈Q，x2－5＝0D[原命题为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈Q，x2－5＝0”．故选D．]6．(2024·黑龙江大庆模拟预测)已知向量a＝(x－5，7)，b＝(x，－2)，则“x＝7”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若x＝7，则a·b＝2×7＋7×(－2)＝0，则a⊥b，满足充分性；若a⊥b，则x(x－5)－14＝0，解得x＝7或x＝－2，不满足必要性．故“x＝7”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A．]7．已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要条件，则A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)C[由3x+1<1，得即x-2x+1>0，解得x∵“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要条件，∴k即k的取值范围为[2，＋∞)．故选C．]8．(2023·广东佛山市二模)记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3＝a1＋a2＋a3＝3a2，数列{an}的前n项和为Sn，取a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，显然有S3＝3a2，而a4－a3＝2≠a3－a2，即数列{an}不是等差数列，所以“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的必要不充分条件．故选B．]9．(多选)以下说法正确的有()A．“－2<x<4”是“x2－2x－15<0”的必要不充分条件B．命题“∃x>1，ln(x－1)≥0”的否定是“∀x≤1，ln(x－1)<0”C．“lna>lnb”是“a2>b2”的充分不必要条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件CD[A选项，x2－2x－15＝(x－5)(x＋3)<0，解得－3<x<5，所以“－2<x<4”是“x2－2x－15<0”的充分不必要条件，A选项错误．B选项，因为由ln(x－1)≥0，得命题“∃x>1，ln(x－1)≥0”的否定是“∀x>1，x<2”，所以B选项错误．C选项，lna>lnb⇔a>b>0，所以ln所以“lna>lnb”是“a2>b2”的充分不必要条件，所以C选项正确．D选项，由于a≠0ab≠0，ab≠0⇒a≠0，故选CD．]10．已知有三个条件：①ac2>bc2；②ac>bc；③a2>b2，其中能成为a>①[①由ac2>bc2可知c2>0，则a>b,故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，a<b；③当a<0，b<0时，由a2>b2，有a<b;故②③不是a>b的充分条件．所以能成为“a>b”的充分条件的只有①．]11．(2023·南京第一次联考)已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．(－2，2][设A＝{x|a≤x≤a2＋1}，依题设，AB，则a≥解得－2≤a经检验，当a＝－2时，不符合题意，所以－2<a≤2．]12．(2024·江