人教A版普通高中数学一轮复习第八章第六节双曲线学案

第六节双曲线考试要求：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的简单几何性质．自查自测知识点一双曲线的定义1．已知平面内两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是()A．|PF1|－|PF2|＝±7B．|PF1|－|PF2|＝±6C．|PF1|－|PF2|＝±4D．|PF1|2－|PF2|2＝±6C解析：因为两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，所以|F1F2|＝6.由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||∈(0，6)，所以四个选项的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是C.2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝9，则|PF17解析：根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.核心回扣1.平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当a＜c时，点M的轨迹是双曲线．(2)当a＝c时，点M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线．(3)当a＞c时，点M不存在．自查自测知识点二双曲线的标准方程及几何性质1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)方程x2m－y2n＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(2)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2. (√)2．以椭圆x24＋A.x2－y23＝1 B．x23C.x2－y22＝1 D．x2A解析：设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由椭圆x24＋y23＝1，得椭圆的焦点为(±1，0)，在x轴上的顶点为(±2，0)，所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c3．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.22 C．2 D．2C解析：由题意可得ba＝1，所以e＝1+b2a24．双曲线x224－y225＝－1的实轴长为，离心率为1075y＝±5612x解析：在双曲线y225－x224＝1中，a＝5，b所以实轴长为2a＝10，离心率e＝ca＝7渐近线方程为y＝±abx＝±56核心回扣双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2(a＞0，b＞0)y2a2(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)实虚轴实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长渐近线y＝±bay＝±ab离心率e＝ca∈(1，＋∞a，b，c的关系c2＝a2＋b2【常用结论】1．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a2．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同的渐近线的方程可表示为x2a3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.应用1若过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交A.3 B．2C．103 D．C解析：如图．不妨设双曲线的一个焦点为F(c，0)，渐近线为y＝bax则过点F(c，0)且与直线y＝bax垂直的直线方程为y＝－ab(x－令x＝0，得y＝acb，则acb＝3c，所以ba所以双曲线的离心率e＝ca＝1+b2a2应用2直线3x＋y＝0是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞23解析：由题意知ba＝3①顶点到渐近线3x＋y＝0的距离为3a3+1＝又双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞所以3a2＋b＝3联立①②，解得a＝1，b＝3，故虚轴长为23.双曲线的定义及应用【例1】(1)(2024·青岛模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A．x24－y25B．x29－y25C．x29＋y2D．x29＋y2A解析：如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2.又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为x24－y25(2)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且|OP|＝2，则△PF1FA．72 C．52 B解析：由题可得|F1F2|＝4，因为|OP|＝2＝12|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16.又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF(3)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|9解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，则|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|，所以当|PF1|＋|PA|最小时，满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点P在线段AF1上时，满足|PF1|＋|PA|最小，最小值为|AF1|＝5.故所求的最小值为9.双曲线定义应用的两个方面提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，明确所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．一动圆P过定点M(－4，0)，且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是()A．x24－y212B．x24－y212C．x24－D．y24－C解析：设动圆圆心为P，半径为r，由题知圆N的圆心为N，半径为4，且|PN－PM|＝4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，故P在以M，N为焦点的双曲线上，且2a＝4，2c＝8，所以b＝23，所以动圆圆心P的轨迹方程为x24－2．(2024·温州模拟)已知双曲线E：x2m－y23＝1(m＞0)的离心率为2，右焦点为F，动点P在双曲线右支上，点A(0，1)，则|A．5B．C．22 D．22－2B解析：因为双曲线E：x2m－y23＝1(m＞0)的离心率为所以a＝1，b＝3，c＝2.设双曲线E的左焦点为B，则B(－2，0)，又A为(0，1)，所以|PF|－|PA|＝|PB|－2a－|PA|＝|PB|－|PA|－2≤|AB|－2＝22+1当且仅当B，A，P三点共线时，等号成立，所以|PF|－|PA|的最大值为5－2.3．设F1，F2分别是双曲线C：x24－y25＝1的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝12|PF1－PF2|，则△A．5 B．10C．52 A解析：由题意得a2＝4，b2＝5，所以c2＝9，即c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．因为|OP|＝12|PF1－PF2|＝12|F2F设P(x0，y0)，则x解得|y0|＝53则△PF1F2的面积为12|F1F2|×|y0|＝12×6×双曲线的标准方程【例2】(1)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞A．x2－y23＝1 B．x23C．x2－3y23＝1 D．3xA解析：由e＝ca＝2，得c＝2a，b＝c2−a2＝3a将点(2，3)代入双曲线的方程，可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b(2)(多选题)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的是()A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为nC．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±−mD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线ACD解析：对于A，当m＞n＞0时，有1n＞1m＞0，方程化为x对于B，当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝1n，表示圆心为原点，半径为1对于C，当m＞0，n＜0时，方程化为x21m－y2−1n＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝1m，b＝−1n，渐近线方程为y＝±−mnx；当m＜0，n＞0时，方程化为y21n－x2对于D，当m＝0，n＞0时，方程化为y＝±1n，表示两条平行于x轴的直线，故D求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(提醒：由方程类型讨论参数范围时，要将方程化为标准形式．1．“0＜k＜1”是“方程x2k−1＋y2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A解析：若方程表示双曲线，则(k－1)(k＋2)＜0，得－2＜k＜1，所以“0＜k＜1”是“方程x2k−1＋y22．(2024·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为FA．x24－y212＝1 B．C．x23－y2＝1 D．x2－D解析：由方程x2a2得双曲线的渐近线方程为y＝±bax不妨设点A在直线y＝bax由△OAF是边长为2的等边三角形，可得c＝2，直线y＝bax的倾斜角为60°，即ba＝联立b=3a故双曲线的标准方程为x2－y2双曲线的几何性质考向1双曲线的渐近线【例3】设F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1FA．x±2y＝0 B．2x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0B解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则P所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.因为|F1F2|＝2c＞2a，所以△PF1F2最短的边是PF2，所以△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos30°，整理得c2－23ac＋3a2＝0，即(c－3a)2＝0，解得c＝3a，所以c2＝3a2.又a2＋b2＝c2＝3a2，则b2＝2a2，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为2x±y求双曲线的渐近线方程的方法(1)由条件求出a，b的值，根据双曲线焦点的位置写出渐近线方程．(2)由条件c2＝a2＋b2得到关于a，b的方程，构造关于ba的方程，通过解方程求b考向2求双曲线的离心率(范围)【例4】(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A．72 B．C．7A解析：设|PF2|＝m，m＞0，则|PF1|＝3m，|PF1|－|PF2|＝2m＝2a.在△F1PF2中，|F1F2|＝m2+9m2即2c＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝7m(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点2(满足1＜e≤5皆可)解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，所以C的渐近线方程为y＝±bax.结合渐近线的特点，只需0＜ba≤2，即可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝ca＝1+b2a2≤1+4＝关于双曲线离心率(范围)的求法求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ca转化为关于e1．双曲线x2a2－y2b2＝1(A．π4 B．C．3π4 B解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(所以ca＝2，所以ba＝c2−a所以此双曲线的渐近线的斜率为±3，所以此双曲线的渐近线的倾斜角是π3或22．已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，A．(1，3)B．(3，22)C．(1＋2，＋∞)D．(1，1＋2)D解析：依题意，得|AF1|＝|BF1|＝b2a且0＜∠AF2F1＜π4，故0＜tan∠AF2F1＜1，则b2a2c＝c2−a22ac＜1，即e2－2e－1＜0，解得1－2＜e＜1＋课时质量评价(五十一)1．“k＜9”是“方程x225−k＋y2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：若方程x225−k＋则(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，所以“k＜9”是“方程x225−k＋y22．双曲线x22－y24＝λA．62 B．C．3或62 D．B解析：因为λ＞0，所以x22λ－y24λ＝1，所以双曲线的焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为e＝ca＝c3．已知双曲线C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PFA．1 B．13C．17 D．1或13B解析：由题意知双曲线x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得4a＝43，解得a＝3，所以c＝a2+b2＝5.又F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝6.又|PF1|＝7，解得|PF2|＝13或1.当|PF2|＝1时，|4．(2024·朝阳模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFOA．52 B．C．2 D．23B解析：在Rt△AFO中，因为∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，则tan30°＝ba＝33，所以e＝ca＝1+ba5．(多选题)(2024·聊城模拟)已知双曲线C：x29−k＋y2A．双曲线C的焦点在x轴上B．双曲线C的焦距等于42C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于1−kD．双曲线C的离心率的取值范围为1ACD解析：对于A，因为0＜k＜1，所以9－k＞0，k－1＜0，所以双曲线C：x29−k－y21−k＝1(0＜k对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝10−2k，所以双曲线C的焦距等于2c＝210−2k(0＜k＜1)，故选项B错误；对于C，设焦点在x轴上的双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦点坐标为(±c，0)，则渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝bca2+b2＝b，所以双曲线对于D，双曲线C的离心率e＝1+b2a2＝1+1−k9−k＝2−89−k，因为0＜k＜1，所以1＜2－6．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率y＝±3x解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(所以e＝c2a2＝a所以b2所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x7．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－23F355解析：(方法一)如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，则F2A＝(x－c，y)，F2B＝(－c，又F2A＝－23F2B，则可得A53又F1A⊥F1B，且F1A＝83c，−23n，F1B＝(c，n)，则F1A·F1B＝83c2－23又点A在C上，则259c2a2－4将n2＝4c2代入，可得25c2a2－16c2解得e2＝95或e2＝15(舍去)，故e＝(方法二)由F2A＝－23F2B，得F2A设|F2A|＝2t，|F2B|＝3t，由对称性可得|F1B|＝3t，则|AF1|＝2t＋2a，|AB|＝5t.设∠F1AF2＝θ，则sinθ＝3t5t＝35，所以cosθ＝45＝2t+2a5t，解得所以|AF1|＝2t＋2a＝4a，|AF2|＝2a.在△AF1F2中，由余弦定理可得cosθ＝16a2+4a2−4c216a2＝48．已知双曲线C：x2－y2b2＝1((1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．解：(1)因为双曲线C：x2－y2b2＝1(b＞0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y所以b＝2，所以双曲线C的标准方程为x2－y2(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝12|PF1因为△PF1F2的面积为9，所以|PF1|·|PF2|＝18.又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40.又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10.由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.9．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0，若双曲线C1A．1，23C．(1，2) D．(2，＋∞)A解析：由双曲线C1的方程可得其渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay圆C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝14a故圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝12a由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得aba2+b2＜12a，即c＞2b又b2＝c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜43a2所以e＝ca又e＞1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为1，10．(多选题)(新背景)2022年卡塔尔世界杯的会徽(如图)正视图近似伯努利双纽线．定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C.已知P(x0，y0)是双纽线C上的一点，下列说法正确的是()A．双纽线C关于原点O成中心对称B．－a2≤y0≤C．双纽线C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|OP|的最大值为2aABD解析：对于A，因为定义：在平面直角坐标系中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)的距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为双纽线C，设M(x，y)是双纽线C上任意一点，所以x+a2+y2用M′(－x，－y)替换方程中的M(x，y)，原方程不变，所以双纽线C关于原点O成中心对称，所以A正确；对于B，根据三角形的等面积法可知12×|PF1|×|PF2|sin∠F1PF2＝12×2a×|y即|y0|＝a2sin∠F1PF2≤a2，所以－a2≤y0对于C，若双纽线C上的点P满足|PF1|＝|PF2|，则点P在y轴上，即x0＝0，所以a2+y02×a2+对于D，因为PO＝12(PF1＋PF2所以|PO|2＝14(|PF1|2＋2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＋|PF2|2由余弦定理得4a2＝|PF1|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＋|PF2|2，所以|PO|2＝a2＋|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝a2＋a2cos∠F1PF2≤2a2，所以|PO|的最大值为2a，所以D正确．11．(2024·内江模拟)已知双曲线x2－y2a2A．213，+∞C．(1，2) D．以上选项均不正确D解析：设切线方程为y－2＝k(x－2)，由y−2=k得(a2－k2)x2＋4k(k－1)x－4(k－1)2－a2＝0，显然当a2－k2＝0时，所得直线不是双曲线的切线，所以k≠±a.由Δ＝0，得16k2(k－1)2＋4(a2－k2)[4(k－1)2＋a2]＝0，整理得3k2－8k＋4＋a2＝0.由题意可知此方程有两个不等实根，所以Δ1＝64－12(4＋a2)＞0，a2＜43则c2＝1＋a2＜73(c为双曲线的半焦距)，e＝c1＝c＜213，即1＜e将k＝±a代入方程3k2－8k＋4＋a2＝0，得a＝±1，此时e＝2.综上，e的取值范围是(1，2)∪2，12．已知焦点在x轴上的双曲线x28−m＋y2(0，2)解析：对于焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为bcb2+a2＝b.双曲线x28−m＋y24−m＝