高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第1课时集合学案

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：集合．常与一元二次不等式交汇命题，主要考查一元二次不等式的解法及集合的交、并、补运算．2．轮考点：常用逻辑用语、不等式的性质、基本不等式．(1)充分、必要条件的判断常与数列、平面向量等知识交汇命题，注重对基本概念、基本性质的考查；(2)全称量词与存在量词命题常考查其否定形式的识别；(3)不等式的性质主要体现在数(式)的大小比较；(4)基本不等式主要体现在应用其求代数式的最值．第1课时集合[考试要求]1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义．2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．3．会求两个集合的并集、交集与补集．4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．考点一集合的基本概念1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号∈和∉表示．3．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．4．数学中一些常用的数集及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR[典例1](1)(2024·安徽淮南校考期中)已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，则A中元素的个数为()A．1 B．5C．6 D．无数个(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．(1)C(2)－32[(1)由x＋y≤2，x，y∈N，则(x，y所以A＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)}，共6个元素．故选C．(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－本例(1)验证条件“x∈N，y∈N，x＋y≤2”是求解的关键，同时注意集合A是点集；本例(2)在求解中易忽视集合中元素的互异性，导致增解．跟进训练1(1)设集合A＝{x|x是10的正约数}，B＝{x|x是小于10的素数}，则A∩B＝()A．{1，2，5} B．{2，5}C．{2，3，5，7，10} D．{1，2，3，5，7，10}(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为()A．1 B．1或0C．0 D．－1或0(1)B(2)C[(1)由题意知A＝{1，2，5，10}，B＝{2，3，5，7}，所以A∩B＝{2，5}．(2)∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性，舍去；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0．故选C．]考点二集合间的基本关系1．子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A．2．真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA．3．相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．[典例2](1)(2023·北京东城二模)已知集合A＝{x∈N|－1<x<5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则()A．AB B．A＝BC．B∈A D．B⊆A(2)集合{1，2，3，4，5}的非空真子集个数为()A．32 B．31C．30 D．29(3)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．(1)A(2)C(3)[－1，＋∞)[(1)A＝{x∈N|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则AB．故选A．(2)因为集合{1，2，3，4，5}中含有5个元素，所以集合{1，2，3，4，5}的非空真子集个数为25－2＝30．故选C．(3)①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2；②当B≠∅时，2m-综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]本例(3)这类问题常借助数轴来直观解决，同时注意空集对题目求解产生的影响．跟进训练2(2023·辽宁沈阳校考三模)设集合A＝{1，2，3}，则满足A∪B＝{x∈N|x≤4}的集合B的个数是()A．7 B．8C．15 D．16B[A∪B＝x∈Nx≤4＝0，1，2，3，4，又A＝故B可以为如下8个集合中的任意一个：{0，4}，{0，4，1}，{0，4，2}，{0，4，3}，{0，4，1，2}，{0，4，1，3}，{0，4，2，3}，{0，4，1，2，3}．故选B．]【教师备用】(2023·江苏南京、盐城一模)设M＝xx=k2，k∈A．MN B．NMC．M＝N D．M∩N＝∅B[因为x＝k＋12＝2k+12，因为所以2k＋1为奇数，故NM．故选B．]考点三集合的基本运算并集交集补集图形表示集合表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}[常用结论]A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A．[典例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}(2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．a<－2 B．a≤－2C．a>－4 D．a≤－4(3)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝()A．∁U(M∪N) B．N∪∁UMC．∁U(M∩N) D．M∪∁UN(1)C(2)D(3)A[(1)∵x2－x－6≥0，∴(x－3)(x＋2)≥0，N＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则M∩N＝{－2}．故选C．(2)集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤-a2，由A∪B＝则－a2(3)由题意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A．]注意数形结合思想的应用，集合运算中常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．跟进训练3(1)(2023·山东菏泽校考)设全集U是实数集R，M＝xx≥3，N＝xA．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x<3}C．{x|2<x<3} D．{x|2≤x≤3}(2)(2024年1月九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．(1)C(2)5[(1)由题干图可知阴影部分表示N∩(∁UM)，由M＝{x|x≥3}，得∁UM＝{x|x<3}，因为N＝{x|2<x<5}，所以N∩(∁UM)＝{x|2<x<3}，故选C．(2)由A∩B＝A，则A⊆B，由x-3≤故有4≤m+3，即m的最小值为5．]【教师备用】(2023·广东茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]A[集合A＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x要使A⊆B，只需1<a2解得a>2．故选A．]课后习题(一)集合1．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是()A．1∈A B．{－1}⊆AC．∅⊆A D．{－1，1}∉A[答案]ABC2．(北师大版必修第一册P7例4改编)集合A＝{2，3，4}的子集有()A．4个 B．6个C．8个 D．9个C[A＝{2，3，4}的子集个数为23＝8，故选C．]3．(人教A版必修第一册P35T9改编)已知集合M＝{1，3，m2}，N＝{1，m＋2}，若M∩N＝N，则实数m＝________．2[因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以m＋2∈M．当m＋2＝3，即m＝1时，M＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当m＋2＝m2时，m＝－1(舍去)或m＝2，此时M＝{1，3，4}，N＝{1，4}，符合题意．综上，实数m＝2．]4．(湘教版必修第一册P12习题1.1T10改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________．{x|x≤2，或x≥10}{x|2<x<3，或7≤x<10}[因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B＝{x|2<x<10}，∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．]5．(2023·山东威海二模)已知全集U＝{x|0<x<5}，集合A满足∁UA＝{x|1<x<3}，则()A．1∉A B．2∈AC．3∉A D．4∈AD[因为U＝{x|0<x<5}，且∁UA＝{x|1<x<3}，所以A＝{x|0<x≤1，或3≤x<5}，所以1∈A，2∉A，3∈A，4∈6．(2024·潮州模拟)已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝()A．[1，3] B．(2，3]C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)C[由x2－4x＋3≤0，得(所以B＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{又A＝{x|x>2}，所以A∪B＝{x|x＞2}∪{x|1≤x7．(2023·山东济宁三模)若集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，B＝{(x，y)|y>x}，则集合A∩B中的元素个数为()A．0 B．1C．2 D．3C[因为A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}＝{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}，又B＝{(x，y)|y>x}，所以A∩B＝{(0，4)，(1，3)}，即集合A∩B中含有2个元素．故选C．]8．已知集合A＝{x|x≥3，或x≤－1}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的最大值为()A．－3 B．3C．－1 D．1C[因为A∪B＝{x|x≥3，或x≤－1}则a≤－1，则实数a的最大值为－1．故选C．]9．(多选)(2023·山东潍坊一模)若非空集合M，N，P满足：M∩N＝N，M∪P＝P，则()A．P⊆M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩∁PN＝∅BC[由M∩N＝N，可得N⊆M，由M∪P＝P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故选项A错误；由M⊆P，可得M∩P＝M，故选项B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故选项C正确；由N⊆M，可得M∩∁PN不一定为空集，故选项D错误．故选BC．]10．(2024·湖南校联考模拟预测)定义集合A÷B＝zz=xy，x∈A，y∈B．已知集合AA．3 B．4C．5 D．6B[因为A＝{4，8}，B＝{1，2，4}，所以A÷B＝{1，2，4，8}，故A÷B中元素的个数为4．故选B．]11．(2024·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝x-1}，若ACB，写出一个符合条件的集合C，则C{x|1≤x≤4}(答案不唯一)[A＝{x|1≤x若ACB，则可有C＝{x|1≤x12．已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m＝________．0或3[因为A∪B＝A，所以B⊆A．因为A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3．当m＝0时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合题意；当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；当m＝3时，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合题意．综上，m＝0或3．]阶段提能(一)集合1．(北师大版必修第一册P12习题1-1B组T4)已知全集U＝{x∈N|0≤x≤6}，A⊆U，B⊆U，∁U(A∪B)＝{0}，A∩B＝∅，写出3组满足条件的集合A，B．[解]U＝{x∈N|0≤xA⊆U，B⊆U，∁U(A∪B)＝{0}⇒A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，①A∩B＝∅，②由①②可写出以下3组满足条件的集合A，B：(1)A＝{1}，B＝{2，3，4，5，6}，(2)A＝{1，2}，B＝{3，4，5，6}，(3)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}．2．(湘教版必修第一册P8例7)设U＝{x∈Z|x∈(0，12]}，A＝{x∈N|0<x<6}，B＝{x∈Z|x∈[7，11]}，求∁UA和∁UB．[解]由条件可知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{7，8，9，10，11}，因此∁UA＝{6，7，8，9，10，11，12}，∁UB＝{1，2，3，4，5，6，12}．3．(湘教版必修第一册P12习题1.1T11)已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A，x－y∈A}，求集合B中元素的个数．[解]∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A，x－y∈A}，∴0≤x＋∴集合B的元素有：(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(4，0)，共有9个元素．4．(人教A版必修第一册P35复习参考题1T11)学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？[解]设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，只参加球类比赛的人数为z，则只参加游泳比赛的有15－3－3＝9(人)，作出Venn图，如图所示，由Venn图，得3解得x=所以同时参加田径比赛和球类比赛的人数为3，只参加游泳一项比赛的有9人．5．(湘教版必修第一册P13习题1.1T16)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩(∁UB)＝{1，8}，(∁UA)∩B＝{2，6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，7}，求集合A，B．[解]因为A∩(∁UB)＝{1，8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，7}，所以[A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩(∁UB)]＝(∁UB)∩[A∪(∁UA)]＝(∁UB)∩U＝{1，4，7，8}，所以∁UB＝{1，4，7，8}，因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以B＝{2，3，5，6}．因为(∁UA)∩B＝{2，6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，7}，所以[B∩(∁UA)]∪[(∁UA)∩(∁UB)]＝(∁UA)∩[B∪(∁UB)]＝(∁UA)∩U＝{2，4，6，7}，所以∁UA＝{2，4，6，7}，因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以A＝{1，3，5，8}．综上，A＝{1，3，5，8}，B＝{2,3，5，6}．6．(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝()A．{1} B．{2}C．{1，2} D．{1，2，3}A[由M＝{x|x∈P且x∉Q}知，M＝{1}．故选A．]7．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝()A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8} D．UA[由题意知，∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选A．]8．(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2 B．1C．23 B[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B．所以a＝1，故选B．]9．(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体