高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式[考试要求]1．会推导两角差的余弦公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．考点一两角和与差的三角公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tanα(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα2．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2+b2sin(α＋φ)，其中sinφ＝ba[典例1](1)(2024·苏州模拟)cos24°cos36°－sin24°cos54°等于()A．cos12° B．－cos12°C．－12 D．(2)(2024·合肥模拟)已知sinα＋cosα＝23，则sinα-A．±13 B．C．－13 D．－(3)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝17，则tanβ(1)D(2)C(3)3[(1)原式＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝12(2)∵sinα＋cosα＝23∴2sinα+π4＝∴sinα+π4＝∴sinα-3π4＝－sin＝－13(3)tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα+β-tan(1)在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊角或已知角表示．跟进训练1(1)(2024·杭州二中模拟)已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(A．－211 B．C．112 D．－(2)化简：sinx＋3cosx＝________．(1)A(2)2sinx+π3[(1)∵α∈∴cosα＝－45，tanα＝－3又tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－1∴tan(α－β)＝tan＝-＝－211(2)sinx＋3cosx＝21＝2sinx+π考点二二倍角的三角公式1．sin2α＝2sinαcosα；2．cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；3．tan2α＝2tan[典例2](1)已知sinα－cosα＝43，则sin2αA．－79 B．－C．29 D．(2)(2024·江西南昌市高三开学考试)已知α∈-π2，π2，且3cos2αA．－13 B．C．223 (1)A(2)C[(1)sinα－cosα＝43，平方得1－2sinαcosα＝169，1－sin2α＝169，sin2α(2)由3cos2α＋10sinα＝－1，可得3(1－2sin2α)＋10sinα＝－1，解得sinα＝－13或sinα因为α∈-π2，π2所以cosα＝1-sin2α＝1-【教师备用】(2024·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－5(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tanα＝43，tanα＝sin所以sinα＝43cosα因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55所以sin(α＋β)＝1-cos2α+β因此tan(α＋β)＝－2．因为tanα＝43所以tan2α＝2tanα1-因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α-tan二倍角公式与其他公式应用时注意“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”．跟进训练2(1)已知α为锐角，且tanα＝34，则sin2αA．35 B．C．1225 D．(2)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2αA．15 B．C．33 D．(1)D(2)B[(1)法一：sin2α＝2sinαcosαsin法二：由α为锐角，且tanα＝34，得sinα＝35，cosα＝所以sin2α＝2sinαcosα＝2×35×45＝(2)由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α．又α∈0，π2，所以2sinα又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝15所以sinα＝55考点三公式的灵活应用1．两角和与差的公式的常用变形(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ．(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ．(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．2．二倍角公式变形(1)升降幂公式：cos2α＝1+cos2α2；sin2α＝1-cos2α2；sin(2)配方变形公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；1±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2．公式的逆用[典例3](多选)下列式子化简正确的是()A．cos82°sin52°－sin82°cos52°＝1B．sin15°sin30°sin75°＝1C．tan48°+D．cos215°－sin215°＝3BD[选项A中，cos82°sin52°－sin82°cos52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－12，故A错误；选项B中，sin15°sin30°sin75°＝12sin15°cos15°＝14sin30°＝18，故B正确；选项C中，tan48°+tan72°公式的变形[典例4](1)若α＋β＝－3π4，则(1＋tanα)(1＋tan(2)化简：2+2cos8＋2(1)2(2)－2sin4[(1)tan-3π4＝tan(α＋β)＝tanα+tanβ1-tan所以1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．(2)原式＝4cos24因为54π<4<3所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4．](1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)当条件或式子中出现正切的和、差式及乘积式的情况，应注意利用正切和差公式的变形．跟进训练3(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22 B．C．12 D．－(2)设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝22(sin56°－cos56°)，c＝1-tan239°1+tanA．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a>c>b(1)B(2)D[(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC(2)a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°，b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝1-tan239°1+tan2＝cos78°＝sin12°．因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sin所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a>c>b．]课后习题(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．(多选)(苏教版必修第二册P67习题10.1(3)T1改编)下列计算正确的是()A．sin72°sin78°－cos72°sin12°＝3B．tan22.5C．cos4π8－sin4π8D．cos275°＋cos215°＋cos15°sin15°＝5ACD[sin72°sin78°－cos72°sin12°＝sin72°cos12°－cos72°sin12°＝sin(72°－12°)＝32，故A正确；tan22.5°1-tan222.5°＝12×2tan22.5°1-tan222.5°12tan45°＝12，故B错误；cos4π8－sin4π8＝cos2π8+2．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32 B．C．－12 D．D[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝123．(人教A版必修第一册P219例4(3)改编)计算：1-tan33[1-tan15°1+tan4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝______．3[∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝3-3tan10°tan50°，∴原式＝3-3tan10°·tan50°＋5．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝()A．1 B．1C．32 D．－B[原式＝sin45°cos15°＋cos(180°＋45°)sin(180°－15°)＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝126．(2024·黑龙江大庆四中月考)已知角θ的终边在直线y＝－3x上，则sin2θA．－611 B．－C．311 D．A[依题意，tanθ＝－3，所以原式＝2sinθcos故选A．]7．(2024·辽宁沈阳模拟)已知cosα＋cosβ＝12，sinα－sinβ＝13，则cos(α＋A．－1372 B．C．－5972 D．C[(cosα＋cosβ)2＝cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝14(sinα－sinβ)2＝sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝19两式相加得2＋2(cosαcosβ－sinαsinβ)＝2＋2cos(α＋β)＝14＋19＝∴cos(α＋β)＝－59728．(2024·日照实验中学模拟)设a＝12cos2°－32sin2°，b＝2tan14°1-A．a＜c＜b B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜bD[由题意可知，a＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin25°，∴c＜a＜b．]9．(多选)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈A．cosβ＝79 B．sinβ＝C．cos(α－β)＝2327 D．sin(α－β)＝－AC[因为α∈0，π2，cosα＝13，所以sinα＝223，又α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1-cos2α+β＝223，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－19＋89＝79，A正确．sinβ＝429，B错误．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinα10．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则5[因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosα