高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第1课时两个计数原理、排列与组合学案

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：计数原理、互斥事件与相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列与期望．(1)从近几年的考题看，高考中出现的计数问题的难度与教材例题、习题的难度相当．重在考查对两个计数原理的理解及排列、组合知识的简单应用．(2)互斥事件、独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列、期望与方差的计算，注重考查应用意识、阅读理解能力，主要考查数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养．2．轮考点：二项式定理、古典概型、条件概率、全概率公式．(1)古典概型的概率计算常与两个计数原理、排列与组合知识进行综合考查，一般难度不大．(2)二项式定理通常以选择、填空题形式出现在高考试题中，难度较小，属于易得分题．(3)随着高考改革的持续深入，对条件概率和全概率公式的应用要有足够的重视．第1课时两个计数原理、排列与组合[考试要求]1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．考点一两个计数原理及综合应用分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法[典例1](1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9(2)(2024·四川资阳统考模拟)某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有()A．360种 B．420种C．480种 D．540种(3)(多选)(2024·山东枣庄模拟预测)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是()A．选1人为负责人的选法种数为30B．每组选1名组长的选法种数为3024C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种(1)B(2)D(3)ABC[(1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(种)走法．(2)如图，先在区域A布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E布置花卉，有4种不同的布置方案，再在区域D布置花卉，有3种不同的布置方案．若区域B与区域E布置同一种花卉，则区域C有3种不同的布置方案；若区域B与区域E布置不同的花卉，则区域B有2种不同的布置方案，区域C有3种不同的布置方案．故不同的布置方案有5×4×3×(3＋2×3)＝540(种)．故选D.(3)对于A，选1人为负责人的选法有6＋7＋8＋9＝30(种)，故A正确；对于B，每组选1名组长的选法有6×7×8×9＝3024(种)，故B正确；对于C，2人需来自不同的小组的选法有6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335(种)，故C正确；对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有43－33＝37(种)，故D错误．故选ABC.][拓展变式]若本例(1)中CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有________条．26[先假设CD是实线，则从E到G，向上3次，向右4次，最短路径有C74＝35(条)，其中经过CD的，即先从E到C，然后C到D，最后D到G的最短路径有3×3＝9(条)，所以当CD利用两个计数原理解决问题的步骤跟进训练1(1)(2023·广西桂林一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有()A．18种B．24种C．36种D．54种(2)(2024·福建三明模拟)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有()A．180种B．192种C．300种D．420种(3)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，则在组成的三位数中，“凹数”的个数为________．(1)D(2)D(3)20[(1)因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》《礼记》《周易》三种书中选择一种，甲可在除《诗经》和乙选择外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为3×(2)如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有A53＝60(种)；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有3＋2×2＝7(种)情况；则一共有60(3)当十位上的数为0时，有4×3＝12(个)；当十位上的数为1时，有3×2＝6(个)；当十位上的数为2时，有2×1＝2(个)，所以“凹数”的个数为12＋6＋2＝20.]考点二排列、组合问题1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2．排列数与组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数公式Anm＝n(n－1)·(n－2)…(n－mCnm＝A＝n性质Ann＝n！Cnn＝1，C[常用结论](1)排列数与组合数的关系：Anm＝(2)组合数的性质：①Cnm＝②Cn+1m＝排列问题[典例2]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定．[解](1)从7人中选5人排列，有A75＝7×6×5×4(2)分两步完成，先选3人站前排，有A73种方法，余下4人站后排，有A4(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A4(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A5(5)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有法二(特殊位置优先法)：左右两边位置可安排另6人中的两人，有A62种排法，其他位置有A5(6)(间接法)7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A6(7)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有A7求解排列应用问题的六种常用方法组合问题[典例3]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？[解](1)从余下的34种商品中，选取2种有C34(2)从34种可选商品中，选取3种，有C34所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C20所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．(4)选取2种假货有C201C152所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)选取3种的总数为C353，选取3种假货有C15所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．跟进训练2有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．[解](1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有(C53C32＋C54(2)除去该女生后，先选后排，有C7(3)先安排该男生，再先选后排，有C4(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C63种，再安排该男生有C31种，其余3人全排列有考点三分组、分配问题不同元素的整体均分问题[典例4]教育部为了发展各地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．90[先把6个毕业生平均分成3组，有C62C42不同元素的部分均分问题[典例5](2024·江苏南通模拟)“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为()A．72B．36C．48D．18B[由题意可知有2名专家去一个地方，其余2地方各分派一名专家，故共有C4故选B.]不同元素的不等分问题[典例6]若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．360[将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C6第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C5第3步，余下的3名教师作为一组，有C3根据分步乘法计数原理，共有C6再将这3组教师分配到3所中学，有A3故共有60×6＝360(种)不同的分法．]相同元素的分配问题[典例7]把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法种数为()A．41B．56C．156D．252B[问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法数．故有C8【教师备用】将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．[解](1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C5(2)法一：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C52种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成空盒，如|0|000||00|，有C4法二：先从4个盒子中选一个空盒子，有C41种选法，然后把6个相同的小球放入剩余3个盒子中，有C5(3)法一：恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C51①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C3②将两块隔板与前面三块隔板之一并放，如|00|||0000|，有C3故共有C51·(C3法二：先从4个盒子中选2个盒子有C42种选法，然后把6个小球放入剩余的两个盒子中有C51分组、分配问题是排列与组合的综合问题，解题思想是先分组后分配(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解．提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以Am跟进训练3(1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种(2)(2024·山东泰安高三模拟)第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目．若将3男、3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有()A．540种B．36种C．108种D．90种(3)(2024·广东揭阳高三模拟)为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有________种．(用数字作答)(1)C(2)B(3)9[(1)根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A4(2)由题意，将3男、3女6人分成3组，每组1男1女，分组方法有C3将这3组分别分配到3个自选项目比赛场馆的分配方法有A33种，故不同的分配方案共有(3)将这6名选手平均分为三组，有C6其中来自A学校的3名选手都不在同一组，有A3所以恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有15－6＝9种，故答案为：9.]课后习题(五十)两个计数原理、排列与组合1．(人教B版选择性必修第二册P24习题3－1AT5改编)已知某圆上有10个不同的点，过每2个点画一条弦，则所有这些弦的交点个数最多为()A．45B．120C．210D．420C[圆上每2个点画一条弦，每两条弦相交有1个交点，对应圆上的四个不同的点，这些弦的交点个数最多为C102．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为()A．52B．56C．48D．72A[当个位为0时，共有A52＝5×4＝20(个)；当个位不为0时，共有A21A3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．16[法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有C21C法二：从6人中任选3人，不同的选法共有C63＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有4．(人教A版选择性必修第三册P12习题6.1T84554[五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．]5．(2024·河南郑州统考模拟)黄金分割最早见于古希腊和古埃及．黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b两段，使得长线段a与原线段a＋b的比等于短线段b与长线段a的比，即a∶(a＋b)＝b∶a，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为()A．180 B．210C．240 D．360C[先把6，1，8，9排列，然后选两个空档插入3，总方法为A46．(2023·广东深圳二模)现将5个代表团人员安排至甲、乙、丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住．若这5个代表团中A，B两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为()A．6B．12C．16D．18A[甲宾馆不再安排其他代表团入住，则乙、丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团，共有C37．(2024·江西南昌模拟预测)四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为()A．141B．144C．150D．155A[从10个点中任取4个点有C10第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4个顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104－4故选A.]8．(2024年1月九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有()A．20种B．16种C．12种D．8种B[因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾