数学建模讲义-初等数学模型

数学建模讲义例1椅子能在不平的地面上放稳吗?问题分析模型假设通常:三只脚着地放稳:四只脚着地

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。初等数学模型模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来

椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置

四只脚着地距离是

的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和:

f(

)B,D两脚与地面距离之和:

g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(

),g(

)是连续函数.对任意

,f(

),g(

)至少一个为0.数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;

对任意

，f(

)•g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.评注和思考:建模的关键:假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子

和f(

),g(

)的确定例2放射性废物的处理问题美国原子能委员会(现为核管理委员会)处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他们这种做法安全吗？分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.

联想：安全、危险圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒)圆桶和海底碰撞时的速度有多大？

问题:求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.(原问题是什么?)可利用的数据条件：

圆桶的总重量:W=527.327（磅）

圆桶受到的浮力:B=470.327（磅）

圆桶下沉时受到的海水阻力:D=Cv，C=0.08利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程：

求解方法：其中方程的解为或者：计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0

分析1：考虑圆桶的极限速度≈713.86>>40（英尺/秒）

实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！

结论1：解决问题的方向是正确的.分析2：解决思路：避开求t0的难点

令v(t)=v(y(t)),其中y=y(t)

是圆桶下沉深度

代入(1)得将两边积分得函数方程：

若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).用数值方法求出v(300)的近似值为

v(300)≈45.41＞40（英尺/秒）

分析：v=v(y)是一个单调上升函数，而v

增大,y

也增大,可求出函数y=y(v)

令v=40(英尺/秒),g=32.2（英尺/秒),算出y=238.4(英尺)＜300(英尺）问题的实际解答：美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的,必须改变。

例3商人们怎样安全过河3名商人

3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?河小船(至多2人)问题分析:多步决策过程决策:每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求:在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.模型构成Xk:第k次渡河前此岸的商人数Yk:第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk):过程的状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S:允许状态集合Uk:第k次渡船上的商人数Vk:第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk):决策D={(u

,v)

u+v=1,2}:允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k:状态转移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110

穷举法:编程上机

图解法:状态s=(x,y):16个格点:10个点允许决策:移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,,d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设建模热传导定律Q1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量

T:温差,d:材料厚度,k:热传导系数例4：双层玻璃窗的功效热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta:内层玻璃的外侧温度Tb:外层玻璃的内侧温度K1:玻璃的热传导系数K2:空气的热传导系数建模记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁……损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大例5

崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑表功能的计算器。方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5米。

我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始条件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再积分一次，得：

若设k=0.05并仍设t=4秒，则可求得h≈73.6米。

听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间

进一步深入考虑不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多测几次，取平均值再一步深入考虑代入初始条件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：

将e-kt用泰勒公式展开并令k→0+

，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落的真正时间为t1，声音传回来的时间记为t2，还得解一个方程组：这一方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理

相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石块下落时间t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，则t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。例6：舰艇的会合令：则上式可简记成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母护卫舰

θ1

θ2

即：可化为：记v2/v1=a通常a>1

则汇合点p必位于此圆上。

（护卫舰的路线方程）（航母的路线方程）即可求出P点的坐标和θ2

的值。本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用

例7

某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方