人教A版（2019）高中数学必修第二册球的切接问题分类强化训练及参考答案

球的切接问题分类强化训练

类型一墙角类型

墙角类型一一三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的模型.

解决方法：构造长方体，外接球的直径等于长方体的,在长方体的同一顶点的三

条棱长分别为a,6,c,外接球的半径为R,

贝I]2R=^cr+tr+c1=

【例1】已知三棱锥A-3co的四个顶点A8,C,O都在球。的表面上，平面比〃BCL

CD,且BC=2,CD=#,则球。的表面积为（）

A.12JiB.7JIC.9JID.8

JI

练习1在正三棱锥s一/及:中,〃"分别是棱SC,宽的中点，且若侧棱SA=2百，

S

则正三棱锥s—46。外接球的表面积是./K

%

练习2（2019全国I）已知三棱锥产一/比1的四个顶点在球。的球面上，以=阳=闱2\/戊7

是边长为2的正三角形，E,尸分别是

PA,的中点，/两90°,则球。的体积为（）.

A.8瓜口B.4\石兀C.2屈氏D.血兀

类型二对棱相等类型

对棱相等类型一一三棱锥的三组对棱长分别相等.勺——

解决方法：构造长方体，外接球的直径等于长方体的体对角线长.设三棱锥的三

组对棱长分别为/0

x,y,z,外接长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则此时火=A'B

【例2】正四面体的各条棱长都为五，则该正面体外接球的体积为

1

练习3在三棱锥/一6切中，AB=CA2,AABC=3,AC=BA4,则三棱锥A-BCD外接

球的表面积为.

练习4在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，3P+PE的最

小值为近，则该正四面体的外接球的体积是（）

A.屈兀B.6万C.3&兀

32

类型三直棱柱与圆柱类型

解决方法：几何法一一确定球心（多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分

别垂直这两个面的直线的交点），解直角三角形.

【例3】己知直三棱柱力8c—4AG的6个顶点都在球。的球面上.若/8=3,AC=\,ABV

AC,44=12,则球。的半径为（）.

A.B.25C.—D.3A/10

22

练习5直三棱柱ABC—ABC的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AAI=2,ZBAC=120°,

则此球的表面积等于（）.

A.10mB.20JiC.30JiD.40

JI

练习6若一个圆柱的表面积为12万，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为（）

A.（12正一12）万B.12岳C.（12括+3）万D.16兀

类型四垂面类型

垂面类型一一有一条侧棱垂直底面的棱锥.

解决方法：补出棱锥所在直棱柱，转化为直棱柱外接球问题.

【例4】已知在三棱锥S一46c中，弘，平面A6C且N2%=30°,4C=2A8=2小,弘=1.

2

则该三棱锥的外接球的体积为（）

A.it・9D

0.芈0

练习7在三棱锥5—26c中，侧棱弘，底面ABC,46=5,BC=R,/A8C=60°,S4=2小,

则该三棱锥的外接球的表面积为（）

642564362048镉

A.—JiB.-7-nC-&叮D.97*

OJO乙（

JI

练习8在三棱锥一一W中，已知以，底面/8C,ZBAC=120°,PA=AB=AC=2,,若该三棱

锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.1g五B.18JiC.20nD.9^3Ji.

类型五面面垂直类型

面面垂直类型一一有一侧面垂直底面（存在面面垂直）的棱锥，常见类型为两个互相垂直

的面都是特殊三角形.

4*\巧jiji

【例5】已知在三棱锥夕一/回中，七郎=叩，ZAPC^—,ABPC=~,PALAC,PBLBC,

且平面B4C_L平面PBC,那么三棱锥产一/回外接球的体积为.

练习9如图，己知平面四边形/阅9满足/8=加=2,N/=60°,NC=90°,将初沿对

角线如翻折，使平面/初，平面加，则四面体/灰/外接球的体积为

3

练习10已知三棱锥4一式》中，△/!劭与△故?是边长为2的等边三角形且二面角A-BD

—C为直二面角，则三棱锥力一6切的外接球的表面积为（）

类型六锥体类型

锥体类型一一圆锥，顶点在底面投影为底面外心的棱锥.

【例6】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表

面积为（）

变式训练如图所示，在正四棱锥产一/灰/中，底面46切是边长为4的正方形，E,户分别

、历

是48,5的中点，cosZPEF=^~,若4B,C,D,尸在同一球面上，则此球的体积

为________

练习11一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60。，若该圆锥的侧面积为3g万，则该圆锥外

接球的表面积为.

练习12（2020•全国I）已知A,8,6'为球。的球面上的三个点，。。为△力回的外接圆.若

。。的面积为4兀,

AB=BC=AC=Oa,则球。的表面积为（）

A.64兀B.48JIC.36兀D.32

4

JI

类型七已知球心或半径类型

［例7］三棱锥S—Z6c的底面各棱长均为3,其外接球半径为2,则三棱锥S—46c的体积

最大时，点S到平面的距离为（）

A.2+73B.2-73C.3D.2

练习13（2017•全国I）已知三棱锥S-46c的所有顶点都在球。的球面上，SC是球。的直

径.若平面SQ_L平面SCB,SA=AC,

SB=BC,三棱锥S一/回的体积为9,则球。的表面积为.

练习14（2020新高考全国I）已知直四棱柱切一45G〃的棱长均为2,/胡2=60°.以

“为球心，击为半径的球面与侧面6Ca区的交线长为.

类型八最值问题

【例8】已知三棱锥户一/回的顶点?，A,B,C在球。的球面上，△/回是边长为福的等边

三角形，如果球。的表面积为36五,那么尸到平面/回距离的最大值为.

练习15在四面体48（力中，AB=1,BC=CD=事,AC=y［2,当四面体力85的体积最大时，

其外接球的表面积为（）

A.2兀B.3兀C.6兀D.8

ji

练习16已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12兀，当正四棱柱的体积最

5

大时，正四棱柱的高为.

*类型九普通三棱锥类型

求解方法：几何法一一寻找外接球球心.

［例9］在三棱锥A-BCD中，AABD和ACBD均为边长为2的等边三角形，且二面角

A-BD-C的平面角为60。，则三棱锥的外接球的表面积为.

练习17在等腰直角AABC中，AB=2,ABAC=90°,为斜边3c的高，将AABC沿">

折叠，使二面角B-AD-C为

60°,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为.

类型十内切球类型

【引例】已知三棱锥产一/8G求其内切球的半径.

求解方法：等体积法

【例10】已知一个三棱锥的所有棱长均为隹，则该三棱锥的内切球的体积为.

练习18（2020•全国III）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球

的体积为.

6

参考答案

例1答案A

解析由/口平面8切，6人切知三棱锥4—8切可构造以/GBC,切为三条棱的长方体,

设球。的半径为此则有（2而2=//+初+切=3+4+5=12,所以S球=4"*=12n,故

选A.

练习1367r

解析VAM1MN,SB//MN,：.AMLSB,'：ACVSB,；.SB_L平面SAC,SBVSA,

SBLSC,■■■SBLSA,BCLSA,；.SA_L平面SBC,SAISC,故三棱锥S—ABC的三棱

条侧棱两两互相垂直，.・.（222=（26）2+（2石）2+（2退）2=36,即4R2=36,.,.正三棱锥

S-ABC外接球的表面积是36万.

练习2D

解析解法一：上4=P3=PC,AABC为边长为2的等边三角形，ABC为正三

棱锥，又E,F分别为R4,AB的中点，二跖〃/®,，£F，AC,又跖_LCE,

CEAC=C,EF±平面PAC,；.PB1,平面PAC,

:.NAPB=90。，：.PA=PB=PC=应,二P-ABC为正方体的一部分，2H=J2+2+2，

=而，BPR=—,:.V;+兀产=m兀,故选D.

2338

（解法一）（解法二）

EF=—PB

解法二：设%=M=PC=2x,E，P分别为尸4，血的中点，〃尸3,且2

7

△^C为边长为2的等边三角形，-■-CF=j3,又NCEF=90：

x2+4--x2

CE=,3-炉AE=—PA=xcos/EAC=----------------

2,AAEC中,由余弦定理可得2X2XX

ACAD1

作PD±AC于D,PA=PC,：.D为AC的中点，cosZEPA2x,

X2,+4—3+%2172

2x2+1=2,「.X?=—,x=——

4x2x22：.PA=PB=PC=yJl,又

:Y

AB=BC=AC=2・•・吟依，尸C两两垂直，2R=y/2+2+2=yf6,

4a46A/6

.•.V=_»R3=—7TX=------

338=瓜兀,故选D.

例2号

解析这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,放入长方体中，2R二也，

-T

4373V3

1V7=—71------=----71•

382

29

练习3一71

2

解析构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为加C,则a2+从=9,

22222

/+，=4,c+a=16/.2(/+。2+。2)=9+4+16=29,2(«+/?+c)=9+4+16=29,

292929

。9+人9+c9=——，479?=——，S=——7t-

222

练习4A

解析将侧面AABC和AACD展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为Q,则

BP+PE的最小值为BE=)/+£-24、即05120。=也a=77,;.a=2.在正四面体

V422

A-BCD的边长为2,外接球的半径R==外接球的体积V=3万尺3=几7r.

423

例3C

8

[51

解析如图所示，由球心作平面2回的垂线，则垂足为6。的中点又AM=5BC=1,OM=q

M=6,所以球。的半径7?=的=、肾+62=竽.

另解过，点作48的平行线，过6点作4C的平行线，交点为。，同理过G作力心的平行线,

过人作4a的平行线，交点为我,连接DIX,则ABCD-A^CM恰好成为球的一个内接长方体,

故球的半径r=+4?+12?=12.故选。

22

练习5B

解析如图，先由余弦定理求出8c=2斓，再由正弦定理求出r=/Q=2,外接球的直

径冗=小可了=小,所以该球的表面积为4兀川=20兀.故选B.

练习6A

解析设圆柱的底面半径为，高为h,则2万户+2m7z=12万，则/z=9-r.设该圆柱的外

r

接球的半径为K,则尺2=/+4）2=/+工（9—/）2=9户+二一3..4盯?—3=3括—3,

24r4r2\4r2

当且仅当9/=二，即/=型时，等号成立.故该圆柱的外接球的表面积的最小值为

4r25

4万（3石-3）=（126一12）万.

例4D

解析：//冲=30°,/。=2/8=24，...△/%?是以〃为斜边的直角三角形，其外接圆

9

AT

半径二=5=#,则三棱锥外接球即为以△/8C为底面，以弘为高的三棱柱的外接球，•••

三棱锥外接球的半径丹满足目=乎,故三棱锥外接球的体积K=|n#=

陪.故选D.

0

练习7B

解析由题意知，48=5,6c=8,N/6C=60°,则在△/胸中，由余弦定理得

—2XABXBCXcosNABC,解得4C=7,设△/8C的外接圆半径为r,则△/8C的外接圆直径

AC__7_7

,又•••侧棱弘，底面/回，.•.三棱锥的外接球的球心到平面

sin/48c镉,

2

/比的距离分/，则外接球的半径斤=

=^S4=,则该三棱锥的外

接球的表面积为S=4n7?=—Ji.

o

练习8c

解析如图，先由余弦定理求出8c=2嫡，再由正弦定理求出r=/4=2,外接球的直径

仁、『三十,所以该球的表面积为4Ji4=20Ji.

B

j32兀

例5下

解析如图，取尸C的中点。，连接力。，B0,设R7=2A,则勿=必="=8=兄，。

是三棱锥夕一4回外接球的球心，易知，PB=R,BC=/R,VZAPC^,PALAC,0为PC

的中点，C.AOLPC,又平面用C_L平面阳G且平面用CTl平面物.•./。_1平面阳，，

1111I-4-J3一心

/.^ABC=VA-P=-X-XPBXBCXAO=~X-XJ?Xyl3RXF=^,解得火=2,...二棱锥产一力及;

BCOLJJ乙0

10

外接球的体积勺本4“川=3子2Ji

练习9*

解析在四面体5中，/92=60°,；.△/劭为正三角形，设物的中点为

M,连接AM,则AMLBD,又平面/庞LL平面CBD,平面/劭C平面例）=M,，阂吐平面CBD."：

△侬为直角三角形，，其外接圆的圆心是斜边劭的中点〃，由球的性质知，四面体力及方

外接球的球心必在线段/〃上，又44切为正三角形，.,.球心是△力切的中心，则外接球的半

径为沁义当=半,；.四面体力6切外接球的体积为口X（芈尸二竺”.

。乙JJJ乙/

练习10D

解析如图，取初中点弘连接幽CM,取△/阳△碗的中心即幽。/的三等分

点RQ,过户作平面/切的垂线，过0作平面物的垂线，两垂线相交于点。，则点。为外

接球的球心，如图，其中。。=乎，浙平，连接oc,则外接球的半径/?=〃，=半，表

,o20兀

面积为4"川=一丁，故选D.

例6A

解析如图所示，设球半径为尼底面中心为。'且球心为。，：正四棱锥P/85中

AB=2,C.AO'=铺，,:PO'=4,...在RtAAOO中，A6=AO'2+00'\...川=（小”+

11

981Ji

(4-7?)2,解得A=i，.•.该球的表面积为4n4=4mX

4-

变式训练36m

、历

解析由题意，得底面ABCD是边长为4的正方形，cosNPEF=々,故高山为2.易

知正四棱锥产一48切的外接球的球心在它的高产。上，记球心为。，贝|/。=2隹，PO=AO=

2

R,pa=2,0a=2一斤或2(此时。在尸a的延长线上)，在直角△/a。中，I^=AO+

2

44兀

。4=(2班尸+(2—而2,解得衣=3,所以球的体积为.

277r

练习

11~2~

解析1SZASB=ZBSC=ZCSA=60°,贝I&4=5B=SC=>1B=AC=3C.设AB=x,则底

面圆的直径为=隼，该圆锥的侧面积为J万.隼・x=3辰，解得x=3,高

sin60°73273

OS=4一(回=底.：・r=〉6.设圆锥外接球的半径为R,所以函-+产=上，

解得R=娅，则外接球的表面积为4万&=—.

42

练习12A

解析设。。的半径为T,球的半径为此依题意，得兀行=4兀，♦・・7=2.由正弦定

理可得一一.\AB=2rsin60°=2A/3.OOi=AB=2y[3.根据球的截面性质，

sin60YY

12

得〃Q_L平面ABC,：.Oa±aA,R=0A=7a#=7〃d+1=4,球。的表面积S=4Jt

4=64m.故选A.

例7C

解析如图，设三棱锥S一板底面三角形48C的外心为G,三棱锥外接球的球心为0,

要使三棱锥s一46c的体积最大,则。在SG上，由底面三角形的边长为3,可得AG=-.

2sm60

=木.连接的，在Rt△。》中，由勾股定理求得由2'—（小）=I.

点S到平面被7的距离为。S+OG=2+1=3.故选C.

练习1336IT

解析如图，连接加，仍，为球。的直径，.•.点。为SC的中点，：幺=然，SB

：.AOLSC,BOLSC,\,平面SC4_L平面受次平面S四A平面S%=SG平面SW,设

球。的半径为此则》=如=兄SC=2R.：.V^ABC=^-c=^XSASBCXA^XSCX0B\X

SBoo、|乙|XJ

・••球。的表面积为s=4兀用=4兀X32=36Ji.

13

练习144I三

解析如图，设AG的中点为反

球面与棱阳，CG的交点分别为P，Q,连接DB,〃笈，RP,D.E,EP,EQ,由/物小60°,

AB=AD,知△/初为等边三角形，；."5=施=2,；.△45G为等边三角形，贝!j〃£=/且

。反L平面及％为，；.£为球面截侧面及％合所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r,则r

=N电—施=木口=取.又由题意可得露=如镜，.•.球面与侧面比G片的交线为以£

为圆心的圆弧20.又仄仁市,...61々7〃尸一"这=1,同理仪=1,0分别为期，

%的中点，，/侬上全知尸Q的长为:"X第=”|巴，即交线长为工

例83+24

解析依题意，边长是小的等边△亚右的外接圆半径r=1•gin^QO=1.•.•球。的表面

积为36Ji=4JI",.•.球。的半径7?=3,；.球心。到平面力回的距离d=^J^~r=2y[2,：.

球面上的点户到平面/回距离的最大值为7?+d=3+2，L

练习15C

解析-：AB=1,BC=y[3,AC=y[2,由勾股定理可得4行+//=6已所以△/8C是以布

为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC=事,当切，平面A6C时，四面体ABCD

的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2仁：初+”=/,因此，四面体力85的外

接球的表面积为4n#=nX(2而2=6五.故选C.

练习168

解析设正四棱柱的底面边长为a,高为h,球的半径为r,由题意知4”产=12口，所以

r—3,又2a2+方=(2r)。=12,所以a2=6—*所以正四棱柱的体积-a27?=(6—则

14

3

r=6—/,由r>o,得o〈力<2,由r<o,得力>2,所以当力=2时，正四棱柱的体积最

大，嘘x=8.

例9—

9

解析如图，取53中点H,连接AH,CH,因为A/RD与ACBD均为边长为2的

等边三角形，所以A"_L3D,CHLBD,则NAHC为二面角A-BD