人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义第41讲 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第2课时：二倍角的正弦、余弦、正切公式）（教师版）

第09讲5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时：二倍角的正弦、余弦、正切公式课程标准学习目标①掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式的内容。②会运用二倍角的三角函数公式解决三角函数式的化简、求值与证明。掌握二倍角公式的恒等变形与应用，解决与二倍角有关的三角函数式的计算与证明知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0③SKIPIF1<0【即学即练1】（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【即学即练2】（2023秋·高一课时练习）SKIPIF1<0SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】原式SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【即学即练3】（2023·全国·高一随堂练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0知识点02：降幂公式①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0【即学即练4】（2023春·山东泰安·高一校考阶段练习）SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0.故选：D.【即学即练5】（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）函数SKIPIF1<0的最小正周期等于.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为函数SKIPIF1<0故最小正周期等于SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型01利用二倍角公式解决给角求值问题【典例1】（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：A．【典例2】（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知角SKIPIF1<0的顶点为原点，始边为SKIPIF1<0轴的非负半轴，若其终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】由三角函数的定义可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·河南新乡·高三卫辉一中校联考阶段练习）已知角SKIPIF1<0的终边过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为角SKIPIF1<0的终边过点SKIPIF1<0，根据三角函数的定义，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B．【变式2】（2023秋·广东湛江·高三校考阶段练习）已知角SKIPIF1<0的终边与单位圆交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为角SKIPIF1<0的终边与单位圆交于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型02利用二倍角公式求角【典例1】（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】由于SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·河南新乡·高一校联考期末）已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．答案：C.【变式2】（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0题型03利用二倍角公式解决条件求值问题【典例1】（2023·山西运城·高三校考学业考试）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B【典例2】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为锐角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为锐角，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【变式1】（2023秋·河南新乡·高一校联考期末）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：C【变式2】（2023·云南·校联考模拟预测）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/0.96【详解】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．题型04二倍角中的拼凑角问题【典例1】（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：C【典例2】（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0​，则SKIPIF1<0​．【答案】SKIPIF1<0/0.28【详解】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·山东青岛·高一校联考期中）已知SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：C.【变式2】（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是第一象限角，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0是第一象限，则SKIPIF1<0为第一象限角或第二象限角，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0.故选：B.【变式3】（2023秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.题型05二倍角公式与数学文化的结合【典例1】（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长SKIPIF1<0与太阳天顶距SKIPIF1<0的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长SKIPIF1<0等于表高SKIPIF1<0与太阳天顶距SKIPIF1<0正切值的乘积，即SKIPIF1<0．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为SKIPIF1<0，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，第二次的“晷影长”是“表高”的4倍，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，得SKIPIF1<0，由第二次的“晷影长”是“表高”的4倍，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：D【典例2】（2023秋·山东威海·高三校考阶段练习）黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比，其比值为SKIPIF1<0，上述比例又被称为黄金分割．将底和腰之比等于SKIPIF1<0的等腰三角形称为黄金三角形，若某黄金三角形的一个底角为C，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】

设这个黄金三角形的另一个底角为B，顶角为A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到许多线段之间的长度关系是符合黄金分割比的，也就是说正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形.如图所示的五角星中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0等都是黄金分割比SKIPIF1<0，已知五角星的顶角是36°，则利用上面信息可求得SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由图形可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C【变式2】（2023春·福建漳州·高一漳州三中校考期中）黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比值为无理数SKIPIF1<0该值恰好等于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：C．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023秋·北京·高三统考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】B【详解】SKIPIF1<0.故选：B2．（2023春·甘肃陇南·高一统考期末）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0.故选：D3．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）函数SKIPIF1<0的最小正周期是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，所以所求最小正周期为SKIPIF1<0.故选：C.4．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故A，C，D错误.故选：B.5．（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C6．（2023·贵州·校联考模拟预测）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故选：C.7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知角SKIPIF1<0的终边落在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为角SKIPIF1<0的终边落在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B8．（2023秋·山东威海·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的两根，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的两根，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B二、多选题9．（2023春·四川宜宾·高一校考期中）下列各式中，值为SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】对于A，SKIPIF1<0，故A正确；对于B，SKIPIF1<0，故B错误；对于C，SKIPIF1<0，故C正确；对于D，SKIPIF1<0，故D正确；故选：ACD10．（2023春·四川绵阳·高一校考阶段练习）下列各式中，值为SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】对于A，SKIPIF1<0，A正确；对于B，SKIPIF1<0，B错误；对于C，SKIPIF1<0，C错误；对于D，SKIPIF1<0，D正确．故选：AD三、填空题11．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．（2023春·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期中）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域为.【答案】SKIPIF1<0【详解】根据题意，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故函数值域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式的值：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0.14．（2023秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，锐角SKIPIF1<0和钝角SKIPIF1<0的终边分别与单位圆交于A，B两点，且SKIPIF1<0两点的横坐标分别为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）因为锐角SKIPIF1<0和钝角SKIPIF1<0的终边分别与单位圆交于点A，B，且点A，B的横坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然点A在第一象限，点B在第二象限，则点A，B的纵坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知及三角函数定义得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.B能力提升1．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为锐角，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0