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文档简介
2025届河南省宝丰九年级数学第一学期期末质量检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1.如果,那么()A. B. C. D.2.如图,已知:在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为()A.70° B.45° C.35° D.30°3.如图所示,线段与交于点,下列条件中能判定的是()A.,,, B.,,,C.,,, D.,,,4.已知,,是反比例函数的图象上的三点,且,则、、的大小关系是()A. B. C. D.5.当温度不变时,气球内气体的气压P(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的函数,下表记录了一组实验数据:P与V的函数关系式可能是()V(单位:m3)11.522.53P(单位:kPa)96644838.432A.P=96V B.P=﹣16V+112C.P=16V2﹣96V+176 D.P=6.某个密码锁的密码由三个数字组成,每个数字都是0-9这十个数字中的一个,只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同,才能将锁打开,如果仅忘记了所设密码的最后那个数字,那么一次就能打开该密码的概率是()A.110 B.19 C.17.“泱泱华夏,浩浩千秋.于以求之?旸谷之东.山其何辉,韫卞和之美玉……”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感.小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上,并决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将文章发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发,每个好友转发之后,又邀请n个互不相同的好友转发,依此类推.已知经过两轮转发后,共有111个人参与了宣传活动,则n的值为()A.9 B.10 C.11 D.128.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD=,BC=4,则AC的长为()A.1 B. C.3 D.9.如图,已知是的外接圆,是的直径,是的弦,,则等于()A. B. C. D.10.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点,,,都在格点上,点在的延长线上,以为圆心,为半径画弧,交的延长线于点,且弧经过点,则扇形的面积为()A. B. C. D.二、填空题(每小题3分,共24分)11.一元二次方程有一个根为,二次项系数为1,且一次项系数和常数项都是非0的有理数,这个方程可以是_________.12.在中,若、满足,则为________三角形.13.某数学兴趣小组利用太阳光测量一棵树的高度(如图),在同一时刻,测得树的影长为6米,小明的影长为1米,已知小明的身高为1.5米,则树高为_________米.14.如图,P是等边△ABC内的一点,若将△PAC绕点A按逆时针方向旋转到△P'AB,则∠PAP'=_____.15.如图,在正方形中,以为边作等边,延长,分别交于点,连接、、与相交于点,给出下列结论:①;②;③;④,其中正确的是__________.16.如图,矩形中,,点是边上一点,交于点,则长的取值范围是____.17.函数,其中是的反比例函数,则的值是__________.18.如图,在中,,,,则的长为_____.三、解答题(共66分)19.(10分)(1)解方程:(2)如图已知⊙的直径,弦与弦平行,它们之间的距离为7,且,求弦的长.20.(6分)(1)已知关于x的一元二次方程x2+(a+3)x+a+1=1.求证:无论a取何值,原方程总有两个不相等的实数根:(2)已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠1)中的x和y满足下表:x…﹣11123…y…31﹣11m…①观察上表可求得m的值为;②试求出这个二次函数的解析式.21.(6分)已知:如图,,点在射线上.求作:正方形,使线段为正方形的一条边,且点在内部.22.(8分)抛物线L:y=﹣x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B(1)直接写出抛物线L的解析式;(2)如图1,过定点的直线y=kx﹣k+4(k<0)与抛物线L交于点M、N,若△BMN的面积等于1,求k的值;(3)如图2,将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D、F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标.23.(8分)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过点E作EF⊥BD交BC于点F,连接DF,G为DF的中点,连接EG,(1)如图1,求证:EG=CG;(2)将图1中的ΔBEF绕点B逆时针旋转45°,如图2,取DF的中点G,连接EG,CG.问((3)将图1中的ΔBEF绕点B逆时计旋转任意角度,如图3,取DF的中点G,连接EG,CG.问(24.(8分)如图,的三个顶点在平面直角坐标系中正方形的格点上.(1)求的值;(2)点在反比例函数的图象上,求的值,画出反比例函数在第一象限内的图象.25.(10分)定义:点P在△ABC的边上,且与△ABC的顶点不重合.若满足△PAB、△PBC、△PAC至少有一个三角形与△ABC相似(但不全等),则称点P为△ABC的自相似点.如图①,已知点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(0,1).(1)若点P的坐标为(2,0),求证点P是△ABC的自相似点;(2)求除点(2,0)外△ABC所有自相似点的坐标;(3)如图②,过点B作DB⊥BC交直线AC于点D,在直线AC上是否存在点G,使△GBD与△GBC有公共的自相似点?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由.26.(10分)如图,两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等,现同时转动、两个转盘,停止后,指针各指向一个数字.小力和小明利用这两个转盘做游戏,若两数之积为非负数则小力胜;否则,小明胜.(1)画树状图或列表求出各人获胜的概率。(2)这个游戏公平吗?说说你的理由
参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【详解】根据二次根式的性质,由此可知2-a≥0,解得a≤2.故选B【点睛】此题主要考查了二次根式的性质,解题关键是明确被开方数的符号,然后根据性质可求解.2、C【分析】先根据垂径定理得出=,再由圆周角定理即可得出结论.【详解】解:∵OA⊥BC,∠AOB=70°,∴=,∴∠ADC=∠AOB=35°.故选C.【点睛】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.3、C【解析】根据平行线分线段成比例的推论:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边,逐项判断即可得答案.【详解】A.∵∴不能判定,故本选项不符合题意;B.无法判断,则不能判定,故本选项不符合题意;C.∵,,,∴∴故本选项符合题意;D.∵∴不能判定,故本选项不符合题意;故选C.【点睛】本题考查平行线分线段成比例的推论,熟练掌握此推论判定平行是解题的关键.4、C【分析】先根据反比例函数y=的系数2>0判断出函数图象在一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,再根据x1<x2<0<x3,判断出y1、y2、y3的大小.【详解】解:函数大致图象如图,∵k>0,则图象在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,又∵x1<x2<0<x3,∴y2<y1<y3.故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.5、D【解析】试题解析:观察发现:故P与V的函数关系式为故选D.点睛:观察表格发现从而确定两个变量之间的关系即可.6、A【解析】试题分析:根据题意可知总共有10种等可能的结果,一次就能打开该密码的结果只有1种,所以P(一次就能打该密码)=,故答案选A.考点:概率.7、B【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动,即可得出关于n的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】解:依题意,得:1+n+n2=111,解得:n1=10,n2=﹣11(不合题意,舍去).故选:B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.8、D【解析】∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°.∴∠ACD=∠B.在Rt△ABC中,∵,BC=4,∴,解得.∴.故选D.9、C【分析】由直径所对的圆周角是直角,可得∠ADB=90°,可计算出∠BAD,再由同弧所对的圆周角相等得∠BCD=∠BAD.【详解】∵是的直径∴∠ADB=90°∴∠BAD=90°-∠ABD=32°∴∠BCD=∠BAD=32°.故选C.【点睛】本题考查圆周角定理,熟练运用该定理将角度进行转换是关键.10、B【分析】连接AC,根据网格的特点求出r=AC的长度,再得到扇形的圆心角度数,根据扇形面积公式即可求解.【详解】连接AC,则r=AC=扇形的圆心角度数为∠BAD=45°,∴扇形的面积==故选B.【点睛】此题主要考查扇形面积求解,解题的关键是熟知勾股定理及扇形面积公式.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据有理系数一元二次方程若有一根为,则必有另一根为求解即可.【详解】根据题意,方程的另一个根为,∴这个方程可以是:,即:,故答案是:,【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,正确理解“有理系数一元二次方程若有一根为,则必有另一根为”是解题的关键.12、直角【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得∠A和∠B,即可作出判断.【详解】∵,∴,,∴,,∵,,∴∠A=30°,∠B=60°,
∴,
∴△ABC是直角三角形.
故答案为:直角.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,非负数的性质及三角形的内角和定理,根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数,是解题的关键.13、1【分析】在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,对应比值相等进而得出答案.【详解】解:根据相同时刻的物高与影长成比例.设树的高度为,则,解得:.故答案为:1.【点睛】此题考查相似三角形的应用,解题关键在于掌握其性质定义.14、60°【解析】试题分析:根据旋转图形的性质可得:∠PAP′=∠BAC=60°.考点:旋转图形的性质15、①②③④【分析】①正确.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题;②正确,通过计算证明∠BPD=135°,即可判断;③正确,根据两角相等两个三角形相似即可判断;④正确.利用相似三角形的性质即可证明.【详解】∵△BPC是等边三角形,
∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°,
在正方形ABCD中,
∵AB=BC=CD,∠A=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°,
∴∠ABE=∠DCF=90°-60°=30°,在和中,,∴,∴,∴在中,∠A=90°,∠ABE=30°,∴,故①正确;∵PC=CD,∠PCD=30°,
∴∠PDC=∠DPC=75°,∴∠BPD=∠BPC+∠DPC=60°+75°=135°,故②正确;∵∠ADC=90°,∠PDC=75°,
∴∠EDP=∠ADC-∠PDC=90°-75°=15°,
∵∠DBA=45°,∠ABE=30°,
∴∠EBD=∠DBA-∠ABE=45°-30°=15°,
∴∠EDP=∠EBD=15°,
∵∠DEP=∠BED,
∴△PDE∽△DBE,故③正确;∵△PDE∽△DBE,∴,∴,故④正确;综上,①②③④都正确,故答案为:①②③④.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,等边三角形的性质,正方形的性质,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.16、【分析】证明,利用相似比列出关于AD,DE,EC,CF的关系式,从而求出长的取值范围.【详解】∵∴∴∵四边形是矩形∴∴∴∴∴∴因为∴故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次方程的最值问题,掌握相似三角形的性质以及判定、解一元二次方程得方法是解题的关键.17、【分析】根据反比例函数的定义知m1-5=-1,且m-1≠0,据此可以求得m的值.【详解】∵y=(m-1)x
m1−5是y关于x的反比例函数,∴m1-5=-1,且m-1≠0,∴(m+1)(m-1)=0,且m-1≠0,∴m+1=0,即m=-1;故答案为:-1.【点睛】本题考查了反比例函数的定义,重点是将一般式y=(k≠0)转化为y=kx-1(k≠0)的形式.18、【解析】过A作AD垂直于BC,在直角三角形ABD中,利用锐角三角函数定义求出AD的长,在直角三角形ACD中,利用锐角三角函数定义求出CD的长,再利用勾股定理求出AC的长即可.【详解】解:过作,在中,,,∴,在中,,∴,即,根据勾股定理得:,故答案为【点睛】此题考查了解直角三角形,涉及的知识有:锐角三角函数定义,以及勾股定理,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.三、解答题(共66分)19、(1);(2)1.【分析】(1)先移项,然后利用因式分解法解方程即可(2)作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OA、OC,根据垂径定理求出AM,根据勾股定理求出OM,根据题意求出ON,根据勾股定理、垂径定理计算即可.【详解】(1)解:∵或(2)作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OA、OC,则∵∴点在同一条直线上,在中∴在中,∵∴【点睛】本题考查了解一元二次方程、垂径定理和勾股定理的应用,掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键.20、(2)证明见解析;(2)①3;②y=(x﹣2)2﹣2.【分析】(2)△=(a+3)2﹣4(a+2)=a2+2a+5=(a+2)2+4>2,即可求解;(2)①函数的对称轴为:x=2,根据函数的对称轴知,m=3,即可求解;②函数的顶点坐标为(2,﹣2),故抛物线的表达式为:y=a(x﹣2)2﹣2,将(2,2)代入上式并解得:a=2,即可求解.【详解】(2)△=(a+3)2﹣4(a+2)=a2+2a+5=(a+2)2+4>2,故无论a取何值,原方程总有两个不相等的实数根;(2)①函数的对称轴为:x=2,根据函数的对称性可得,m=3,故答案为:3;②函数的顶点坐标为(2,﹣2),故抛物线的表达式为:y=a(x﹣2)2﹣2,将(2,2)代入上式得:2=a(2﹣2)2﹣2,解得:a=2,故抛物线的表达式为:y=(x﹣2)2﹣2.【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式,二次函数的性质,待定系数法求函数的解析式,此题中能读懂表格中的数值变化是解题的关键.21、见详解【分析】先以点B为圆心,以BD为半径画弧,作出点E,再分别以点D,点E为圆心,以BD为半径画弧,作出点F,连结即可作出正方形.【详解】如图,作法:1.以点B为圆心,以BD长为半径画弧,交AB于点E;2.分别以点D,点E为圆心,以BD长为半径画弧,两弧相交于点F,3.连结EF,FD,∴四边形DBEF即为所求作的正方形.理由:∵BD=DF=FE=EB∴四边形DBEF为菱形,∵∴四边形DBEF是正方形.【点睛】本题主要考查了基本作图,正方形的判定.解题的关键是熟记作图的方法及正方形的判定.22、(1)y=﹣x2+2x+1;(2)-3;(3)当m=2﹣1时,点P的坐标为(0,)和(0,);当m=2时,点P的坐标为(0,1)和(0,2).【解析】(1)根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A(0,1)利用待定系数法进行求解可即得;(2)根据直线y=kx﹣k+4=k(x﹣1)+4知直线所过定点G坐标为(1,4),从而得出BG=2,由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1得出xN﹣xM=1,联立直线和抛物线解析式求得x=,根据xN﹣xM=1列出关于k的方程,解之可得;(3)设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m,知C(0,1+m)、D(2,1+m)、F(1,0),再设P(0,t),分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况,由对应边成比例得出关于t与m的方程,利用符合条件的点P恰有2个,结合方程的解的情况求解可得.【详解】(1)由题意知,解得:,∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1;(2)如图1,设M点的横坐标为xM,N点的横坐标为xN,∵y=kx﹣k+4=k(x﹣1)+4,∴当x=1时,y=4,即该直线所过定点G坐标为(1,4),∵y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2,∴点B(1,2),则BG=2,∵S△BMN=1,即S△BNG﹣S△BMG=BG•(xN﹣1)-BG•(xM-1)=1,∴xN﹣xM=1,由得:x2+(k﹣2)x﹣k+3=0,解得:x==,则xN=、xM=,由xN﹣xM=1得=1,∴k=±3,∵k<0,∴k=﹣3;(3)如图2,设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m,∴C(0,1+m)、D(2,1+m)、F(1,0),设P(0,t),(a)当△PCD∽△FOP时,,∴,∴t2﹣(1+m)t+2=0①;(b)当△PCD∽△POF时,,∴,∴t=(m+1)②;(Ⅰ)当方程①有两个相等实数根时,△=(1+m)2﹣8=0,解得:m=2﹣1(负值舍去),此时方程①有两个相等实数根t1=t2=,方程②有一个实数根t=,∴m=2﹣1,此时点P的坐标为(0,)和(0,);(Ⅱ)当方程①有两个不相等的实数根时,把②代入①,得:(m+1)2﹣(m+1)+2=0,解得:m=2(负值舍去),此时,方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2,方程②有一个实数根t=1,∴m=2,此时点P的坐标为(0,1)和(0,2);综上,当m=2﹣1时,点P的坐标为(0,)和(0,);当m=2时,点P的坐标为(0,1)和(0,2).【点睛】本题主要考查二次函数的应用,涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等,(2)小题中根据三角形BMN的面积求得点N与点M的横坐标之差是解题的关键;(3)小题中运用分类讨论思想进行求解是关键.23、(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【解析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.
(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.
(3)结论依然成立.过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N.由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC,得出△MEC是等腰直角三角形,就可以得出结论.【详解】(1)在RtΔFCD中,G为DF∴CG=1同理,在RtΔDEF中,EG=∴EG=CG.(2)如图②,(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
理由:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
∴∠AMG=∠DMG=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD=BC=AB,∠ADG=∠CDG.∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.
在△DAG和△DCG中,
AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG,
∴△DAG≌△DCG(SAS),
∴AG=CG.
∵G为DF的中点,
∴GD=GF.
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=90°,
∴∠BEF=∠BAD,
∴AD∥EF,
∴∠N=∠DMG=90°.∠DGM=∠FGNFG=DG∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG(ASA),
∴MG=NG.
∵∠DA∠AMG=∠N=90°,
∴四边形AENM是矩形,
∴AM=EN,
在△AMG和△ENG中,
AM=EN∠AMG=∠ENGMG=NG,
∴△AMG≌△ENG(SAS),
∴AG=EG,
∴EG=CG;
(3)如图③,(1)中的结论仍然成立.
理由:过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN⊥AB于N.
∵MF∥CD,
∴∠FMG=∠DCG,∠MFD=∠CDG.∠AQF=∠ADC=90°
∵FN⊥AB,
∴∠FNH=∠ANF=90°.
∵G为FD中点,
∴GD=GF.
在△MFG和△CDG中
∠FMG=∠DCG∠MFD=∠CDGGF=GD,
∴△CDG≌△MFG(AAS),
∴CD=FM.MG=CG.
∴MF=AB.
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=90°.
∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°,
∴∠NFH=∠EBH.
∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°,
∴四边形ANFQ是矩形,
∴∠MFN=90°.
∴∠MFN=∠CBN,
∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH,
∴∠MFE=∠CBE.
在△EFM和△EBC中
MF=AB∠MFE=∠CBEEF=EB,
∴△EFM≌△EBC(SAS),
∴ME=CE.,∠FEM=∠BEC,
∵∠【点睛】考查了正方形的性质的运用,矩形的判定就性质的运用,旋转的性质的运用,直角三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.24、(1);(2),图见解析【分析】(1)过点B作BD⊥AC于点D,然后在Rt△ABD中可以求出;(2)将点B代入,可得出k的值,从而得出反比例函数解析式,进而用描点法画出函数图象即可.【详解】解:(1)过点B作BD⊥AC于点D,由图可得,BD=2,AD=4,∴.(2)将点B(1,3)代入,得k=3,∴反比例函数解析式为.函数在第一象限内取点,描点得,x(x>0)1236y6322连线得函数图象如图:【点睛】本题主要考查正切值的求法,反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象的画法,掌握基本概念和作图步骤是解题的关键.25、(1)见解析;(2)△CPA∽△CAB,此时P(,);△BPA∽△BAC,此时P(,);(3)S(3,-2)是△GBD与△GBC公共的自相似点,见解析【分析】(1)利用:两边对应成比例且夹角相等,证明△APC∽△CAB即可;(2)分类讨论:△CPA∽△CAB和△BPA∽△BAC,分别求得P点的坐标;(3)先求得点D的坐标,说明点G(5,)、S(3,-2)在直线AC:上,证得△ABC△SGB,再证得△GBS∽△GCB,说明点S是△GBC的自相似点;又证得△DBG△DSB,说明点S是△GBD的自相似点.从而说明S(3,-2)是△GBD与△GBC公共的自相似点.【详解】(1)如图,∵A(1,0),B(3,0),C(0,1),P(2,0),∴AP=2-1=1,AC=,AB=3-1=2,∴,,∴=,∵∠PAC=∠
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