江苏省苏州市常熟市2025届九上数学期末统考模拟试题含解析

江苏省苏州市常熟市2025届九上数学期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如右图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的值为（）A． B． C． D．2．二次函数(m是常数)，当时，，则m的取值范围为()A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞13．如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，点D是半圆AB上一动点（不与A、B重合）,连结DC交直径AB与点E,若∠AOC=60°，则∠AED的范围为（）A．0°<∠AED<180° B．30°<∠AED<120°C．60°<∠AED<120° D．60°<∠AED<150°4．如图，在△ABC中，E,G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，若，则()A． B． C． D．5．如图，已知AB∥CD∥EF，AC=4，CE=1，BD=3，则DF的值为()A． B． C． D．16．中，，，，则的值是（）A． B． C． D．7．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）A．100 B．50 C．20 D．108．如图，点的坐标是，是等边角形，点在第一象限，若反比例函数的图象经过点，则的值是（）A． B． C． D．9．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．10．在中，，，若，则的长为（）．A． B． C． D．11．下列计算中正确的是（）A． B． C． D．12．若在实数范围内有意义，则的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．方程的两根为，，则=．14．如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为,，，，求的长.15．如图，在Rt△ABC中∠B=50°，将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△ADE．当点C在B1C1边所在直线上时旋转角∠BAB1=____度．16．将抛物线向左平移个单位，得到新的解析式为________.17．如图，点在双曲线（）上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接.若，则的值为______.18．某扇形的弧长为πcm，面积为3πcm2，则该扇形的半径为_____cm三、解答题（共78分）19．（8分）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接.（1）若，，求的直径；（2）若，求的度数.20．（8分）如图，已知正方形，点在延长线上，点在延长线上，连接、、交于点，若，求证：．21．（8分）如图，在中，，点P为内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值，小华的解题思路，以点A为旋转中心，将顺时针旋转得到，那么就将求PA+PB+PC的值转化为求PM+MN+PC的值，连接CN，当点P，M落在CN上时，此题可解．（1）请判断的形状，并说明理由；（2）请你参考小华的解题思路，证明PA+PB+PC=PM+MN+PC；（3）当，求PA+PB+PC的最小值．22．（10分）一个不透明的口袋里装着分别标有数字，，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀.（1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率；（2）从中任取一球，将球上的数字记为，然后把小球放回；再任取一球，将球上的数字记为，试用画树状图（或列表法）表示出点所有可能的结果，并求点在直线上的概率.23．（10分）如图，四边形ABCD为矩形.(1)如图1，E为CD上一定点，在AD上找一点F，使得矩形沿着EF折叠后,点D落在BC边上(尺规作图，保留作图痕迹);(2)如图2，在AD和CD边上分别找点M，N，使得矩形沿着MN折叠后BC的对应边B'C'恰好经过点D，且满足B'C'⊥BD(尺规作图，保留作图痕迹);(3)在（2）的条件下，若AB＝2，BC＝4，则CN＝.24．（10分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用树状图或列表法求下列事件的概率.（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于6.25．（12分）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．（1）求证：△BAP≌△CAQ．（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．【详解】如图，过作于，则，＝1．．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2、D【分析】根据二次函数的性质得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．【详解】∵二次函数，∴图像开口向上，与x轴的交点坐标为(1,0),(m-1,0),∵当时，，∴m-1>0,∴m>1.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象和解一元一次不等式，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．3、D【分析】连接BD，根据圆周角定理得出∠ADC=30°,∠ADB=90°，再根据三角形的外角性质可得到结论.【详解】如图，连接BD，由∵∠AOC=60°,∴∠ADC=30°,∴∠DEB>30°∴∠AED<150°,∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴∠EDB=90°-30°=60°,∴∠AED>60°∴60°<∠AED<150°,故选D【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质.正确应用圆周角定理找出∠ADC=30°,∠ADB=90°是解题的关键.4、C【分析】根据两组对应角相等可判断△AEG∽△ACB，△AEF∽△ACD,再得出线段间的比例关系进行计算即可得出结果.【详解】解：（1）∵∠AEG=∠C，∠EAG=∠BAC，

∴△AEG∽△ACB.

∴.

∵∠EAF=∠CAD，∠AEF=∠C，

∴△AEF∽△ACD．

∴又，∴.∴故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题，要找到两组对应角相等，再利用相似的性质求线段的比值.5、C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=4，CE=1，BD=3，∴即，解得DF=．

故选：C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．6、D【分析】根据勾股定理求出BC的长度，再根据cos函数的定义求解，即可得出答案.【详解】∵AC=，AB=4，∠C=90°∴∴故答案选择D.【点睛】本题考查的是勾股定理和三角函数，比较简单，需要熟练掌握sin函数、cos函数和tan函数分别代表的意思.7、B【分析】圆锥的侧面积为半径为10的半圆的面积．【详解】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=，故选B．【点睛】解决本题的关键是把圆锥的侧面积转换为规则图形的面积．8、D【分析】首先过点B作BC垂直OA于C,根据AO=4，△ABO是等辺三角形，得出B点坐标，迸而求出k的值.【详解】解：过点B作BC垂直OA于C，

∵点A的坐标是(2,0)

，AO=4，

∵△ABO是等边三角形∴OC=

2，BC=∴点B的坐标是(2，),把(2，)代入，得:k=xy=故选：D【点睛】本题考查的是利用等边三角形的性质来确定反比例函数的k值．9、D【分析】可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【详解】A．一次函数y=ax+c与y轴交点应为(0，c)，二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点也应为(0，c)，图象不符合，故本选项错误；B．由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；C．由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；D．由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来解答这种数形结合题是一种很好的方法．10、A【分析】根据余弦的定义和性质求解即可．【详解】∵，，∴∴故答案为：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握余弦的定义和性质是解题的关键．11、D【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．【详解】A、无法计算，故此选项不合题意；B、，故此选项不合题意；C、，故此选项不合题意；D、，正确.故选D.【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．12、A【解析】根据二次根式有意义的条件:被开方数≥0和分式有意义的条件:分母≠0,列出不等式,解不等式即可．【详解】解:由题意可知:解得：故选A．【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件:被开方数≥0和分式有意义的条件:分母≠0是解决此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、．【解析】试题分析：∵方程的两根为，，∴，，∴===．故答案为．考点：根与系数的关系．14、.【分析】在中，根据求得CE，在中，根据求得BC，最后将CE,BC的值代入即可.【详解】解：在中，,.在中，，.的长为.【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数定义是解题的关键.15、100【分析】根据Rt△ABC中∠B=50°，推出∠BCA=40°，根据旋转的性质可知，AC=AC1，∠BCA=∠C1=40°，求出∠CAC1的度数，即可求出∠BAB1的度数.【详解】∵Rt△ABC中∠B=50°，∴∠BCA=40°，∵△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△ADE．当点C在B1C1边所在直线上，∴∠C1=∠BCA=40°，AC=AC1，∠CAB=∠C1AB1，∴∠ACC1=∠C1=40°，∴∠BAB1=∠CAC1=100°，故答案为：100.【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键.16、【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），向左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣3），所以，平移后的抛物线的解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．17、【分析】设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；【详解】解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，CF=，∴AK=OK=，∴OA=，∵∠AOB+∠AOF=90°，∠CFO+∠AOF=90°，∴∠AOB=∠CFO，又∵∠ABO=∠COF，∴△FOC∽△OBA，∴，∴，∴OB=，AB=，∴A（，），∴k=×=．故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18、1【分析】根据扇形的面积公式S＝，可得出R的值．【详解】解：∵扇形的弧长为πcm，面积为3πcm2，扇形的面积公式S＝，可得R＝故答案为1．【点睛】本题考查了扇形面积的求法，掌握扇形面积公式是解答本题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）1；（2）【分析】（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则，根据勾股定理即可求得结果；

（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数；【详解】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，

∴CE＝DE＝8，

设，

又∵BE＝4，

∴∴，

解得：，

∴⊙O的直径是1．（2）∵OM＝OB，

∴∠B＝∠M，

∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，

∵∠DOB＋∠D＝90°，

∴2∠B＋∠D＝90°，

∵，∴∠B＝∠D，

∴2∠D＋∠D＝90°，

∴∠D＝30°；【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．20、见解析.【分析】根据已知条件证明△ADG≌△CDF,得到∠ADG=∠CDF,根据AD∥BC，推出∠CDF=∠E,由此证明△CDE∽△CFD,即可得到答案.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠BCD=90，AD=CD，∴∠DCF=∠A=90，又∵,∴△ADG≌△CDF,∴∠ADG=∠CDF,∵AD∥BC，∴∠ADG=∠E,∴∠CDF=∠E,∵∠BCD=∠DCF=90，∴△CDE∽△CFD,∴,∴.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，在证明题中证明线段成比例的关系通常证明三角形相似，由此得到边的对应比的关系，注意解题方法的积累.21、（1）等边三角形，见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）根据旋转的性质可以得出，即可证明出是等边三角形；（2）绕点A顺时针旋转得到，根据的旋转的性质得到，，相加即可得；（3）由（2）知，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC取到最小，由，，可得CN垂直平分AB，再利用直角三角形的边角关系，从而求出PA+PB+PC的最小值．【详解】（1）等边三角形；绕A点顺时针旋转得到MA，，是等边三角形.（2）绕点A顺时针旋转得到，，由（1）可知，.（3）由（2）知，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC取到最小．连接BN，由旋转的性质可得：AB=AN，∠BAM=60°∴是等边三角形；，，是AB的垂直平分线，垂足为点Q，，，，即的最小值为.【点睛】本题为旋转综合题，掌握旋转的性质、等边三角形的判定及性质及理解小华的思路是关键．22、（1）所抽取的数字恰好为负数的概率是；（2）点（x，y）在直线y＝﹣x﹣1上的概率是．【分析】（1）四个数字中负数有2个，根据概率公式即可得出答案；

（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出点（x，y）落在直线y=-x-1上的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）∵共有4个数字，分别是﹣3，﹣1，0，2，其中是负数的有﹣3，﹣1，∴所抽取的数字恰好为负数的概率是＝；（2）根据题意列表如下：﹣3﹣102﹣3（﹣3，﹣3）（﹣1，﹣3）（0，﹣3）（2，﹣3）﹣1（﹣3，﹣1）（﹣1，﹣1）（0，﹣1）（2，﹣1）0（﹣3，0）（﹣1，0）（0，0）（2，0）2（﹣3，2）（﹣1，2）（0，2）（2，2）所有等可能的情况有16种，其中点（x，y）在直线y＝﹣x﹣1上的情况有4种，则点（x，y）在直线y＝﹣x﹣1上的概率是＝．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23、（1）图见解析（2）图见解析（3）【分析】（1）以点E为圆心，以DE长为半径画弧，交BC于点D′，连接DD′，作DD′的垂直平分线交AD于点F即可；（2）先作射线BD，然后过点D作BD的垂线与BC的延长线交于点H，作∠BHD的角平分线交CD于点N，交AD于点M，在HD上截取HC′=HC，然后在射线C′D上截取C′B′=BC，此时的M、N即为满足条件的点；（3）在（2）的条件下，根据AB＝2，BC＝4，即可求出CN的长．【详解】（1）如图，点F为所求；（2）如图，折痕MN、矩形A’B’C’D’为所求；（3）在（2）的条件下，∵AB＝2，BC＝4，∴BD＝2，∵BD⊥B′C′，∴BD⊥A′D′，得矩形DGD′C′．∴DG＝C′D′＝2，∴BG＝2−2设CN的长为x，CD′＝y．则C′N＝x，D′N＝2−x，BD′＝4−y，∴（4−y）2＝y2＋（2−2）2，解得y＝−1．（2−x）2＝x2＋（−1）2解得x＝．故答案为：．【点睛】本题考查了作图−复杂作图、矩形的性质、翻折变换，解决本题的关键是掌握矩形的性质．24、(1)；(2)=.【分析】（1）列出表格展示所有可能的结果，再找到相同小球的情况数，利用概率公式，即可求解；（2）找出两次取出的小球标号的和等于6的情况数，再利用概率公式，即可求解．【详解】解：12341(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)总共有16种可能，其中4种两次取的小球标号一样，∴P=；（2）有三种情况：2+4=6，3+3=6，4+2=6，∴P=．【点睛】本题主要考查例举法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图以及概率公式是解题的关键．25、（1）见解析；（2）1【分析】（1）直接利用旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；

（2）直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，∴∠BAP＝∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，，∴△BAP≌△CAQ（SAS）；（2）∵由（1）得△APQ是等边三角形，∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，∵∠APB＝110°，∴∠PQC＝110°﹣60°＝90°，∵PB＝QC，∴QC＝4，∴△