新高考高中数学核心知识点全透视专题3.7函数、方程与不等式的关系(精讲精析篇)(原卷版+解析)

专题3.7函数、方程与不等式的关系（精讲精析篇）一、核心素养1.与不等式、方程等问题结合，考查二次函数、幂函数等函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．通过判断具体函数零点的个数或零点所在区间，凸显数学运算、直观想象的核心素养．3．通过函数零点或方程根的存在情况求参数的取值范围，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．．二、考试要求1.理解函数零点的概念.2.常见函数的图象和性质、简单不等式的解法.三、主干知识梳理1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点2．函数零点的判定定理条件结论函数y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)内有零点(1)图象是连续不断的曲线(2)f(a)f(b)＜03.判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．4．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系函数图象判别式符号(设判别式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0与x轴交点个数210方程的根的个数2105．设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2.根的分布(m＜n＜p)图象满足条件一个区间只有一个根x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1＜n＜x2＜peq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＞0，,fn＜0，,fp＞0))一个区间有两个根m＜x1＜x2＜neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,m＜－\f(b,2a)＜n，,fm＞0，,fn＞0))m＜x1＜x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－\f(b,2a)＞m，,fm＞0))在(m，n)内有且只有一个根或f(m)·f(n)＜0或Δ＝0且－eq\f(b,2a)∈(m，n)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝0，,m＜－\f(b,2a)＜\f(m＋n,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fn＝0，,\f(m＋n,2)＜－\f(b,2a)＜n))另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＞0，,\f(c,a)＞0))来解决；x1，x2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＜0，,\f(c,a)＞0))来解决；x1，x2一正一负也可通过满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac＞0，,\f(c,a)＜0))来解决．二、真题展示1.（2023年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则___________.2.(2023·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．考点01求函数的零点

【典例1】（2023·全国高二课时练习）若相异两实数x，y满足，则之值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【典例2】（2023·东北育才学校高三其他（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为________.【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,考点02判断零点所在的区间

【典例3】（2023·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（）A． B． C． D．【典例4】（2023·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]【总结提升】判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．考点03函数零点个数的判断【典例5】（2023·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（）A．5050 B．4041 C．4040 D．2020【典例6】【多选题】（2023·广东广州·高一期末）设函数，则下列命题中正确的有（）A．若，则B．方程可能有三个实数根C．当时，函数在是单调增函数D．当时，函数在上有最小值【总结提升】判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点问题．考点04根据零点情况求参数范围【典例7】（2023·鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数，若恰好有2个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【典例8】（2023·江苏高考真题）已知函数，若其图像上存在互异的三个点，，，使得，则实数的取值范围是__________.考点05一元二次方程根的分布问题【典例9】（2023·全国高三专题练习）已知二次函数满足条件，.（1）求函数的解析式；（2）如果函数的图像与x轴的两个不同交点在区间内，求实数m的取值范围；（3）当函数的图像与x轴有两个交点时，这两个交点能否在点的两旁；（4）若是函数的一个单调区间，求实数m的取值范围.【典例10】（2023·安徽省六安一中高一月考）已知函数.(1)如果函数的一个零点为，求的值；(2)当函数有两个零点，且其中一个大于，一个小于时，求实数的取值范围.【总结提升】二次函数零点的分布一般为下面两个方面的问题：(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值的正负等方面去探究．1．（2023·山东高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（）A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点2.（2023·江西省崇义中学高一开学考试（文））方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2023·河南省高三其他（文））已知函数若函数恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．4．（2023·浙江省镇海中学高一期中）若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．5．【多选题】已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)<0，那么下列结论中正确的是()A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)<f(6) D．f(0)<f(－6)6．【多选题】定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列说法正确的有()A．方程f(g(x))＝0有两正数解和一负数解B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解7．（2023·海南省海南中学高二期中）满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为________8.(2023·平遥县综合职业技术学校高一期中）已知函数.（1）为何值时，有两个根且均比大；（2）求在上的最大值.9．（2023·嘉兴市第五高级中学高二期中）设(R)(1)若，求在区间上的最大值；(2)若，写出的单调区间；(3)若存在，使得方程有三个不相等的实数解，求的取值范围.10.（2023·全国）设函数f（x）是定义在上的增函数.（1）若不等式对于任意恒成立，求实数x的取值范围；（2）若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围.专题3.7函数、方程与不等式的关系（精讲精析篇）一、核心素养1.与不等式、方程等问题结合，考查二次函数、幂函数等函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．通过判断具体函数零点的个数或零点所在区间，凸显数学运算、直观想象的核心素养．3．通过函数零点或方程根的存在情况求参数的取值范围，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．．二、考试要求1.理解函数零点的概念.2.常见函数的图象和性质、简单不等式的解法.三、主干知识梳理1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点2．函数零点的判定定理条件结论函数y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)内有零点(1)图象是连续不断的曲线(2)f(a)f(b)＜03.判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．4．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系函数图象判别式符号(设判别式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0与x轴交点个数210方程的根的个数2105．设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2.根的分布(m＜n＜p)图象满足条件一个区间只有一个根x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1＜n＜x2＜peq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＞0，,fn＜0，,fp＞0))一个区间有两个根m＜x1＜x2＜neq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,m＜－\f(b,2a)＜n，,fm＞0，,fn＞0))m＜x1＜x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－\f(b,2a)＞m，,fm＞0))在(m，n)内有且只有一个根或f(m)·f(n)＜0或Δ＝0且－eq\f(b,2a)∈(m，n)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝0，,m＜－\f(b,2a)＜\f(m＋n,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fn＝0，,\f(m＋n,2)＜－\f(b,2a)＜n))另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＞0，,\f(c,a)＞0))来解决；x1，x2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＜0，,\f(c,a)＞0))来解决；x1，x2一正一负也可通过满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac＞0，,\f(c,a)＜0))来解决．二、真题展示1.（2023年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则___________.答案：2【解析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.2.(2023·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．答案：(1,4)【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.考点01求函数的零点

【典例1】（2023·全国高二课时练习）若相异两实数x，y满足，则之值为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：D分析：根据已知条件求得，由此求得所求表达式的值.【详解】两式作差消元得：，反代回去得：，同理可得：，由同构及韦达定理有：继而有：.故选：D【典例2】（2023·东北育才学校高三其他（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为________.答案：【解析】，令，可得，则函数的零点，即为函数与函数的图象交点的横坐标，作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称，所以，函数的所有零点之和为.故答案为：.【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,考点02判断零点所在的区间

【典例3】（2023·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（）A． B． C． D．答案：D【解析】因为函数在R上单调递减,,,所以零点所在的大致区间为故选:D【典例4】（2023·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]答案：C【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C【总结提升】判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．考点03函数零点个数的判断【典例5】（2023·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（）A．5050 B．4041 C．4040 D．2020答案：B【解析】由函数的定义域为R上的奇函数，可得，又由在区间上恰有5个零点，可得函数在区间和内各有2个零点，因为是周期为2，所以区间内有两个零点，且，即函数在区间内有4个零点，所以在区间上的零点个数为个零点.故选：B.【典例6】【多选题】（2023·广东广州·高一期末）设函数，则下列命题中正确的有（）A．若，则B．方程可能有三个实数根C．当时，函数在是单调增函数D．当时，函数在上有最小值答案：ABC分析：根据解析式表示出即可求出c的值，可判断A；对b，c取特殊值，可判断B；时，可以根据函数的对称性加以判断C；b＞0时，分x≥0和x＜0两种情况讨论，转化为二次函数求单调性，判断D.【详解】因为,解得c＝1010，故A对；令，则，解得x＝0，2，﹣2，故B正确；当b＜0时，，由解析式可知函数在R上是单调增函数，故C正确；当b＞0时，，值域是R，故函数在R上没有最小值，故D错误.故选：ABC【总结提升】判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点问题．考点04根据零点情况求参数范围【典例7】（2023·鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数，若恰好有2个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．答案：C【解析】令，因为方程的两根为，所以在同一直角坐标系下作出函数的图象如图所示：由图可知，当时，函数恰有两个零点，图象如图所示：当时，函数恰有两个零点，图象如图所示：综上可知，所求实数的取值范围为.故选：C【典例8】（2023·江苏高考真题）已知函数，若其图像上存在互异的三个点，，，使得，则实数的取值范围是__________.答案：分析：先画出函数的图象，转化为函数与函数的图象有三个不同的交点，再画函数的图象，观察交点的个数，从而求得的取值范围．【详解】解：画出函数的图象如下图，由题意得函数图象上存在互异的三个点，且，则可看做函数与函数的图象有三个不同的交点，由图知，当或时，有且仅有两个交点，要使两个图象有三个不同的交点，则的取值范围为．故答案为：．考点05一元二次方程根的分布问题【典例9】（2023·全国高三专题练习）已知二次函数满足条件，.（1）求函数的解析式；（2）如果函数的图像与x轴的两个不同交点在区间内，求实数m的取值范围；（3）当函数的图像与x轴有两个交点时，这两个交点能否在点的两旁；（4）若是函数的一个单调区间，求实数m的取值范围.答案：（1）；（2）；（3）这两个交点不可能落在点的两旁；（4）.分析：（1）设二次函数的解析式为，用待定系数法求解；（2）根据题意可知，判别式，对称轴且，计算可得到答案；（3）使用反证法，假设两个交点在，则需要满足，，若满足，则成立，若不满足，则不成立；（4）在区间上单调，区分为在是单调递增，还是单调递减，进行分类讨论即可.【详解】（1）设二次函数的解析式为，由，则，又，，故，即.因此，，故.（2）因为抛物线与x轴的两个交点在区间内，其图象如图所示：因此m应满足：，解得.故m的取值范围为.（3）假设的图像与x轴的两个交点落在点的两旁，则.因为，故抛物线开口向上，又，不满足，故假设不成立，因此当的图像与x轴有两个交点时，这两个交点不可能落在点的两旁.（4）因为抛物线的对称轴为直线，若是函数的一个单调区间，则必有或，即或.故的取值范围为：．【典例10】（2023·安徽省六安一中高一月考）已知函数.(1)如果函数的一个零点为，求的值；(2)当函数有两个零点，且其中一个大于，一个小于时，求实数的取值范围.答案：(1)；(2).【解析】(1)因为函数的一个零点为，所以，即.(2)因为函数有两个零点，且其中一个大于，一个小于，所以当时，，即；当时，，此时无解；故实数的取值范围为.【总结提升】二次函数零点的分布一般为下面两个方面的问题：(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值的正负等方面去探究．1．（2023·山东高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（）A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点答案：C分析：根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.【详解】，最大值是1，A正确；对称轴是直线，B正确；单调递减区间是，故C错误；令的，故在函数图象上，故D正确，故选：C2.（2023·江西省崇义中学高一开学考试（文））方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（）A． B． C． D．答案：C【解析】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，另一根在区间（3，4）内，只需，即，解不等式组可得，即的取值范围为，故选：C.3．（2023·河南省高三其他（文））已知函数若函数恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．答案：D【解析】令，由题意，画出的图象如图，函数恰有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个不同的交点，∵当时，，当时，，∴，或，故选：D．4．（2023·浙江省镇海中学高一期中）若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．答案：A【解析】当时，；当时，，当时，，显然不合题意；若，则图象如下图所示：由图象可知：若有三个不同的零点，则，解得：；若，则图象如下图所示：由图象可知：若有三个不同的零点，则，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故选：.5．【多选题】已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)<0，那么下列结论中正确的是()A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)<f(6) D．f(0)<f(－6)答案：AC【解析】因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)<0，f(6)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确．故选A、C.6．【多选题】定义域和值域均为[－a，a](常数a＞0)的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则下列说法正确的有()A．方程f(g(x))＝0有两正数解和一负数解B．方程g(f(x))＝0最多只有三个解C．方程f(f(x))＝0可能存在五个解D．方程g(g(x))＝0有且仅有一个解答案：ABCD【解析】设f(x)的零点分别为x1，x2，x3，则x1＜x2＜0＜x3，设g(x)的零点为x4，x4＞0.f(g(x))＝0，即g(x)＝x1，有一个解为正数，g(x)＝x2，有一个解为正数，g(x)＝x3，有一个解为负数，故A正确；g(f(x))＝0，则f(x)＝x4，根据图象知：函数最多有三个交点，故B正确；f(f(x))＝0，即f(x)＝x1，可能为一个解，f(x)＝x2，可能为三个解，f(x)＝x3，可能为一个解，故C正确；g(g(x))＝0，故g(x)＝x4，方程有且仅有一个解，故D正确．故选ABCD.7．（2023·海南省海南中学高二期中）满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为________答案：【解析】当时，方程为，此时一定有解；此时，0，1，2；即