新高考高中数学核心知识点全透视专题3.8函数、方程与不等式的关系(专题训练卷)(原卷版+解析)

专题3.8函数、方程与不等式的关系（专题训练卷）一、单选题1．（2023·山西晋中·高三（理））已知集合，，则等于（）A． B． C． D．2．（2023·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的区间为（）A． B． C． D．3.（2023·河南南阳市·南阳中学）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（）A． B．C． D．4．已知函数，若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f（）＝()A．2 B．4C．6 D．85．（2023·合肥市第六中学）已知函数满足∶当时，，当时，，若，且，设，则()A．没有最小值 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为6．（2023·天津高一期末）已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则数的取值范围是（）A． B． C． D．7.（2023·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8.（2023·全国高一专题练习）已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国）已知二次函数的图象过原点，且，，则的可能是（）A．20 B．21 C．30 D．3210.（2023·普宁市普师高级中学）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论正确的是（）A．当时， B．C． D．11．（2023·全国高一课时练习）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是B．方程有两个正根的充要条件是C．方程无实数根的必要条件是D．当时，方程的两个实数根之和为012.（2023·辽宁高三月考）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当，，则（）A．是偶函数 B．的图象关于对称C．在上有3个实数根 D．三、填空题13．（2023·浙江高考真题）已知，函数若，则___________.14.（2023·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.15．（2023·上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则．16．（2023·怀仁市第一中学校（文））在下列命题中，正确命题的序号为___________.（写出所有正确命题的序号）①函数的最小值为；②已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；③定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则；④已知函数，若，则.四、解答题17.（2023·福建上杭一中高三月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；18．（2023·全国高三专题练习）已知，，，试比较实数a､b､c的大小关系.19．（2023·全国高三专题练习）求二元函数的最小值．20．（2023·重庆市第二十九中学校）设函数．（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若，求的最小值．21．（2023·云南省玉溪第一中学高一月考）已知函数．（1）若的解集为，求实数，的值；（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．22．（2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）已知函数，若对于任意的与，且有，均满足：（1）求a的取值范围？（2）当，函数的最小值为M（a），对于给定范围内的实数a，求得M（a）的最小值.专题3.8函数、方程与不等式的关系（专题训练卷）一、单选题1．（2023·山西晋中·高三（理））已知集合，，则等于（）A． B． C． D．答案：A分析：分别解出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，所以.故选：A.2．（2023·浙江高一期末）方程（其中）的根所在的区间为（）A． B． C． D．答案：B【解析】由函数的单调性和函数零点存在定理，即可判断零点所在的区间．【详解】函数在上为增函数，由，（1），（1）结合函数零点存在定理可得方程的解在，内．故选：．3.（2023·河南南阳市·南阳中学）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（）A． B．C． D．答案：C分析：由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.【详解】由题可得和是方程的两个根，且，，解得，则，则函数图象开口向下，与轴交于.故选：C.4．已知函数，若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f（）＝()A．2 B．4C．6 D．8答案：D【解析】(1)由题意得a>0.当0<a<1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝，解得a＝，则f（）＝f(4)＝8.当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．故选D.5．（2023·合肥市第六中学）已知函数满足∶当时，，当时，，若，且，设，则()A．没有最小值 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为答案：B分析：根据已知条件，首先利用表示出，然后根据已知条件求出的取值范围，最后利用一元二次函数并结合的取值范围即可求解.【详解】∵且，则，且，∴，即由，∴，又∵，∴当时，，当时，，故有最小值.故选：B.6．（2023·天津高一期末）已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：A【解析】作出函数的图像和直线，如图所示，当，函数的图像和直线有三个交点，所以.故选：A7.（2023·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：A分析：分析函数的单调性，解出不等式，再根据条件列出不等式即可得解.【详解】当时，，则在上递减，当时，，则在上递减，于是得在上是减函数，因此，不等式等价于，解得，依题意，存在，使成立，从而得，解得，所以实数的取值范围是.故选：A8.（2023·全国高一专题练习）已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（）A． B． C． D．答案：B分析：由题设可得，又即为方程两个不等的实根，即有，结合、得，即可求其最小值.【详解】由题意知：当有，∵知：是两个不等的实根.∴，而，∵，即，∴，令，则，∴当时，的最小值为.故选：B二、多选题9．（2023·全国）已知二次函数的图象过原点，且，，则的可能是（）A．20 B．21 C．30 D．32答案：BC分析：由题意设，求得，（1），（3），设，求得，，再由不等式的性质，即可得到所求范围，从而判断出结果．【详解】解：二次函数的图象过原点，设，由，（1），可得，，又（3），设，可得，，解得，，则（3）（1），，（1），可得（3）．即（3）的取值范围是，，符合条件只有选项BC.故选：BC．10.（2023·普宁市普师高级中学）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论正确的是（）A．当时， B．C． D．答案：AC分析：根据二次函数的性质可得函数与轴的另一交点为，结合函数图象及对称轴即可判断；【详解】解：依题意抛物线与轴交于点，顶点坐标为，所以函数与轴的另一交点为，所以当时，，故A正确；当时，，故B错误；抛物线与轴交于点，且，，，，，，，，，所以C正确，D错误；故选：AC．11．（2023·全国高一课时练习）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是B．方程有两个正根的充要条件是C．方程无实数根的必要条件是D．当时，方程的两个实数根之和为0答案：ABC分析：根据一元二次方程根与系数的关系，结合根的分布情况、对应二次函数的性质判断各选项的正误即可.【详解】A选项中，方程有一个正根一个负根则即；同时时方程有一个正根一个负根；是方程有一个正根一个负根的充要条件.B选项中，方程有两个正根则即；同时时方程有两个正根；是方程有两个正根的充要条件.C选项中，方程无实数根则即；而时方程可能无实根也可能有实根；故是方程无实数根的必要条件.D选项中，时知方程无实根；故选：ABC12.（2023·辽宁高三月考）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当，，则（）A．是偶函数 B．的图象关于对称C．在上有3个实数根 D．答案：BC【解析】由为偶函数，得到的图象关于对称，可判定B正确；由是奇函数，得到函数关于点对称，得到和，根据题意，求得，可判定D不正确；由，可判定A不正确；由，可判定C正确.【详解】根据题意，可得函数的定义域为，由函数为偶函数，可得函数的图象关于对称，即，所以B正确；由函数是奇函数，可得函数的图象关于点对称，即，可得，则，即函数是以8为周期的周期函数，当时，，可得，即，所以D不正确；由函数是以8为周期的周期函数，可得，因为，令，可得，所以，所以函数一定不是偶函数，所以A不正确；当时，，所以，由，可得，又由，所以C正确.故选：BC.三、填空题13．（2023·浙江高考真题）已知，函数若，则___________.答案：2分析：由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.14.（2023·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.答案：2【解析】函数的零点即方程的根，函数的零点个数，即方程的根的个数..当时，.当时，或或（舍）.当时，，方程无解.综上，方程的根为，1.所以方程有2个根，即函数有2个零点.故答案为：2.15．（2023·上海高三三模）函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则．答案：4【解析】作出函数的图象，方程有四个不同的实数解，等价为和的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为、、、，且，由、关于原点对称，、关于对称，可得，，则．故答案为：4．16．（2023·怀仁市第一中学校（文））在下列命题中，正确命题的序号为___________.（写出所有正确命题的序号）①函数的最小值为；②已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；③定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则；④已知函数，若，则.答案：②③④分析：根据函数性质，逐项分析判断即可得解.【详解】①当时，无最小值，故①错误；②因为，所以的图象关于直线对称，又的周期为4，所以，救函数一定为偶函数，故②正确；③因为是定义在上的奇函数又是以2为周期的周期函数，所以，，，故.又，，所以，故③正确；④因为为奇函数，函数在上单调递增，若，则，有，所以，故④正确.故答案为：②③④四、解答题17.（2023·福建上杭一中高三月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；答案：（1）；（2）.分析：（1）根据幂函数，偶函数的定义以及题意可知，，，即可求出，得到函数的解析式；（2）由偶函数的性质以及函数的单调性可得，即，即可解出．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上单调递增，为偶函数，∴，即．(2)∵∴，，，∴，即的取值范围为．18．（2023·全国高三专题练习）已知，，，试比较实数a､b､c的大小关系.答案：分析：由题意化为，则点是抛物线上的点，结合二次函数的图象与性质，得到，，再利用作差比较得到，即可求解.【详解】由，可得，则点是抛物线上的点，由，可知是上方的点，如图所示，故满足的点应为阴影内的抛物线上除去的点，所以，，又由，所以，综上可得：.故答案为：.19．（2023·全国高三专题练习）求二元函数的最小值．答案：分析：解法一看成关于x的二次函数，y为参数，利用二次函数的性质求解；解法二由二元函数结构特点，将函数关系看成是点和点的距离，再由点的轨迹是直线，点的轨迹是双曲线，转化为直线上的点和双曲线上的点的距离平方的最小值求解.【详解】解法一（二次函数极值法）：首先看成关于x的二次函数，y为参数．，顶点在，且开口向上的抛物线．所以（时最小）．解法二（构造法）：由二元函数结构特点，可将函数关系看成是点和点的距离，而点的轨迹是直线，点的轨迹是双曲线，所以问题就转化为直线上的点和双曲线上的点的距离平方的最小值，如图所示：由图可知：连线过原点且与直线垂直时，其交点C到点B最近，此时A，B，C三点的坐标是，，，，即的最小值是．20．（2023·重庆市第二十九中学校）设函数．（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若，求的最小值．答案：（1）；（2）．分析：（1）由不等式的解集．，是方程的两根，由根与系数的关系可求，值；（2）由，得到，将所求变形为展开，利用基本不等式求最小值．【详解】解：（1）∵的解集为，是的两根，．（2）由于，，，则可知，得，所以，当且仅当且，即时成立，所以的最小值为.21．（2023·云南省玉溪第一中学高一月考）已知函数．（1）若的解集为，求实数，的值；（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．答案：（1），；（2）.分析：（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，可将问题转化为，是一元二次方程的两根，再根据韦达定理列方程组可解得；（2）不等式恒成立，分离参数可得，令转化为求最小值即可．【详解】（1）因为的解集为，所以的解集为，所以2，是一元二次方程的两根．可得，解得．（2）当时，不等式恒成立，则对于恒成立，令，，则．因为，当且仅当即时取等号，所以，所以，所以的取值范围为．22．（2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高二月考）已知函数，若对于任意的与，且有，均满足：（1）求a的取值范围？（2）当，函数的最小值为M（