高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题4.4导数的综合应用(真题测试)(原卷版+解析)

专题4.4导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高考真题（理））已知函数有唯一零点，则（）A． B． C． D．12．(2023·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．是的零点 B．1是的极值点C．3是的极值 D．点在曲线上3．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．(2023·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（

）A． B． C． D．e7．(2023·全国·高考真题（理））设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．(2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数，若对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如的方程称为微分方程，符合方程的函数称为微分方程的解，下列函数为微分方程的解的是（

）A． B．C． D．10．(2023·河北沧州·二模）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．11．(2023·湖南·模拟预测）已知，，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．12．(2023·全国·高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线三、填空题13．（2023·河南高三其他（理））函数，若，则在的最小值为_______；当时，恒成立，则a的取值范围是_____.14．(2023·全国·模拟预测（理））若曲线与仅有1个公共点，则的取值范围是___________.15．(2023·福建·高考真题（理））对于实数a和b，定义运算“*”：设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________16．(2023·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为________．四、解答题17．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．18．(2023·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.19．(2023·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.20．(2023·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）设，证明当时，.21．(2023·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．22．(2023·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围专题4.4导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高考真题（理））已知函数有唯一零点，则（）A． B． C． D．1答案：C【解析】分析：【详解】因为，设，则，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.2．(2023·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．是的零点 B．1是的极值点C．3是的极值 D．点在曲线上答案：A【解析】【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．3．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：将转化为，再分别求导分析和的图象，再分别求得，，到的斜率，分析临界情况即可【详解】由且，得，设，，，已知函数在（0，2）上单调递增，在上单调递减，函数的图象过点，，，，结合图象，因为，所以．故选：C4．(2023·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．答案：C【解析】【详解】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．5．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：令得，利用导数研究的图像，由函数有三个零点可知，若令，则可知方程的一根必在内，另一根或或上，分类讨论即可求解.【详解】由得，令，由，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，则的图像如图所示：即函数的最大值为，令，则，由二次函数的图像可知，二次方程的一根必在内，另一根或或上，当时，，则另一根，不满足题意，当时，a＝0，则另一根，不满足题意，当时，由二次函数的图像可知，解得，则实数的取值范围是，故选：D.6．(2023·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（

）A． B． C． D．e答案：D【解析】分析：将不等式化为，构造有，利用函数的单调性及参变分离法有在上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果.【详解】∵，∴．令，则不等式化为．∵为增函数，∴，即．令，则，当时，，即递减；当时，，即递增；所以．∴实数a的最大值为e．故选：D7．(2023·全国·高考真题（理））设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.8．(2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数，若对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：将所求不等式变形为，构造函数，可知该函数在上为增函数，由此可得出，其中，利用导数求出的最大值，即可求得实数的取值范围.【详解】当时，由可得，即，构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，，即，其中，令，其中，则.当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，，.故选：D.二、多选题9．(2023·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如的方程称为微分方程，符合方程的函数称为微分方程的解，下列函数为微分方程的解的是（

）A． B．C． D．答案：CD【解析】分析：根据导数的运算求得导函数，代入微分方程检验即可．【详解】选项A，，则，，不是解；选项B，，，，是方程的解；选项C，，，，不是方程的解；选项D，，，，是方程的解．故选：CD．10．(2023·河北沧州·二模）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】分析：A.由得到判断；BC.由，得到判断；D.由，得到，令，用导数法判断.【详解】由得，又，所以，所以，所以，选项错误；因为，所以，即，所以，选项正确，因为，所以，所以.令，则，所以在区间上单调递增，所以，即，又，所以，即，选项正确.故选：BCD11．(2023·湖南·模拟预测）已知，，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】分析：构造函数，利用导数判断函数的单调性，得出，结合不等式以及指、对数函数的性质逐一判断即可.【详解】令，则，所以当时，，所以在上单调递增；由得，即，∵，∴，∴，即，∴，即，∴，A正确；由知，所以，所以选项B错误；由知，所以选项C正确．由，知，所以，所以D错误，故选：AC．12．(2023·全国·高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线答案：AC【解析】分析：利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.三、填空题13．（2023·河南高三其他（理））函数，若，则在的最小值为_______；当时，恒成立，则a的取值范围是_____.答案：【解析】当时，∵，∴.当时，恒成立，∴在上单调递增.∴在上最小值为.又时，恒成立，令,,所以在递增，所以∴恒成立，∴.故答案为；.14．(2023·全国·模拟预测（理））若曲线与仅有1个公共点，则的取值范围是___________.答案：##【解析】分析：将原问题转化为只有一个解,令,利用导数求出的单调性及最值即可得答案.【详解】由题意可得:只有一个解,即只有一个解.令,原问题等价于与只有一个交点.因为因为在上单调递减,且在处的值为0,所以当时,单调递增,当时,单调递减且恒为正,所以,又因为与只有一个交点,所以.故答案为:.15．(2023·福建·高考真题（理））对于实数a和b，定义运算“*”：设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________答案：【解析】【详解】由定义运算“*”可知即，该函数图像如下：由，假设当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是，且满足方程，所以令则，所以令所以，又在递增的函数，所以，所以，所以在递减，则当时，；当时，所以.16．(2023·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为________．答案：【解析】分析：由且，得出，构造函数，利用导数研究的单调性，画出和的大致图象，由图可知，设为和的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即，当直线过和时，即可求出求出的值，从而得出的取值范围.【详解】由题可知，，，由于的解集中恰有一个整数，即，即，因为，所以的解集中恰有一个整数，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，画出和的大致图象，如图所示：要使得，可知，设为和的交点的横坐标，而的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即，当时，得；当时，得，即，，当直线过点时，得，当直线过点时，得，所以的取值范围为.故答案为：四、解答题17．(2023·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．答案：（1）切线方程是（2）证明见解析【解析】分析：（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当时，,令，只需证明即可．【详解】（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以．因此．18．(2023·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.答案：（1）见解析；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.19．(2023·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.答案：（1）见解析；（2）见解析.【解析】分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1，利用导数易得，即得证.【详解】（1）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当时，时；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.20．(2023·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）设，证明当时，.答案：（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.所以当时，.故当时，，，即.（Ⅲ）由题设，设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.所以当时，.21．(2023·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．答案：（1）在单调递减，在单调递增；（2）.【解析】【详解】（Ⅰ）．若，则当时，，；当时，，．若，则当时，，；当时，，．所以，在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；