2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点05基本不等式(精讲)(原卷版+解析)

第5讲基本不等式知识点1基本不等式1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.证明：推论：（）.2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：；.a2+b2≥2ab成立的条件与a+b2提示:不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而a+b23、基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．4、几个重要的不等式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq\a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.).证明：由，可得，即（当且仅当时等号成立）拓展：（6）a>0,b>0,c>0则a+b+5、利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(简记：和定积最大)6、基本不等式公式推导图1．（2023•乙卷）下列函数中最小值为4的是A． B． C． D．4．（2023•天津）已知，，则的最小值为．5．（2023•上海）已知函数的最小值为5，则．2．（2023•上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．3．【多选】（2023•海南）已知，，且，则A． B． C． D．6．（2023•天津）已知，，且，则的最小值为．7．（2023•江苏）已知，则的最小值是．8．（2023•上海）若，，且，则的最大值为．9．（2023•天津）设，，，则的最小值为．考点一利用基本不等式比较大小解题方略：在利用基本不等式比较大小时，也可能要用到函数的单调性.【例1-1】【多选】(2023·湖南·模拟预测）已知，且，则（

）A． B．C． D．【例1-2】(2023·全国·高三专题练习）已知，则下列选项错误的是（

）A． B．C． D．【题组练透】1、【多选】(2023·江苏无锡·高三期末）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2、【多选】(2023·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）若，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．3、【多选】(2023·广东汕尾·高三期末）已知a，b都是不等于1的正实数，且a>b，0<c<1，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．考点二利用基本不等式求最值解题方略：直接法①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.积，和和平方和三者之间的不等式关系：②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，求最值时要求"一正、二定、三相等".③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．【例2-1】(2023·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．【例2-2】(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.【例2-3】(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值【例2-4】(2023·四川·石室中学模拟预测（文））函数的最大值是（

）A．7 B． C．9 D．【题组练透】1、(2023·安徽·高三期末（文））已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．2、(2023·江西·模拟预测（文））函数的最大值为________．(2023·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________.配凑法将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．(3)形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。【例2-4】(2023·全国·高三专题练习（理））函数的最小值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【例2-5】(2023·全国·高三专题练习）已知x<eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________．【例2-6】(2023·全国·高三专题练习）已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)【例2-7】(2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）求函数的最小值及此时的值；2、(2023·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.3、(2023·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（

）A． B．2 C．4 D．6常数代换法（1）若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.模型1已知正数满足，求的最小值。模型2已知正数满足求的最小值。（2）常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：①根据已知条件或其变形确定定值(常数)；②把确定的定值(常数)变形为1；③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值．（3）有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.【例2-8】(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例2-9】(2023·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（

）A．6B．9C．D．18【例2-10】(2023·全国·模拟预测）已知为正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为_________2、(2023·全国·高三专题练习（理））已知都是正数，且，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．33、(2023·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．4、(2023·全国·高三专题练习）已知实数a>0，b>0，，则的最小值为（

）A． B． C． D．5、(2023·四川·广安二中模拟预测（理））已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______．6、(2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1（四）消元法消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围【例2-11】(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，则的最大值为______.2、(2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．3、(2023·湖北武汉·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为(

)A．0 B．2 C．4 D．6(五）换元法当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.【例2-12】(2023·辽宁·模拟预测）若，且，则的最小值为______．【题组练透】1、(2023·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．（六）重组转化当条件式或目标式较为复杂、不易理清其结构特点与内在联系时，可从拆分、合并等角度尝试进行重组，注意观察式子的结构特点,寻找条件式与目标式的结构特征及相互联系.【例2-13】(2023·天津·一模）已知正实数，满足，则的最小值为___________.【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习（理））已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（

）A．40 B． C．42 D．2、(2023·浙江台州·二模）已知正实数满足，则的最大值为___________；的最大值为___________.3、(2023·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．（七）利用两次基本不等式求最值在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可.【例2-14】(2023·全国·高三专题练习）已知a>0,b>0,则2ab+1a+1A.2 B.4 C.42 D.6【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为（

）A． B． C． D．2、(2023·全国·高三专题练习）若a，，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．43、(2023·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．（八）基本不等式与对勾函数对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时，对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数；（1）当同号时，对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当异号时，对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示：【例2-15】(2023·河南·模拟预测（文））下列函数中最小值为6的是（

）A． B．C． D．【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）在下列函数中，最小值是2的函数是（

）A． B．C． D．2、(2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为______(2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有解求的取值范围；考点三与基本不等式有关的参数问题解题方略：1、求参数的值或取值范围的方法观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．2、求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.【例3-1】(2023·浙江·高三专题练习）若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}【例3-2】(2023·全国·高三专题练习）已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【例3-3】(2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【例3-4】(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C．D．【例3-5】(2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(

)A． B． C． D．【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．2、(2023·全国·高三专题练习）对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3、(2023·全国·高三专题练习）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8考点四基本不等式的实际应用解题方略：利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【例4-1】(2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（

）A． B．C． D．【例4-2】(2023·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（

）A．30 B．60 C．900 D．1800【例4-3】(2023·湖北·一模）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）某人围一个面积为32的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高3，新墙的造价为1000元/，则当x取（

）时，总造价最低？（假设旧墙足够长）A．9 B．8 C．16 D．642、(2023·全国·高三专题练习）自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为（，k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.3、(2023·全国·高三专题练习）近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.考点五基本不等式的综合应用解题方略：求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．与函数的结合【例5-1】(2023·全国·模拟预测）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________．【题组练透】1、(2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.2、(2023·天津·二模）已知，则的最小值为__________.3、【多选】(2023·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数，且正实数，满足，则下列结论可能成立的是（

）A． B．的最大值为C． D．的最小值为与三角函数、解三角形的结合【例5-2】(2023·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））的内角A、B、C的对边分别为、、，已知，且，则面积的最大值是（

）A． B． C．2 D．【题组练透】1、(2023·全国·模拟预测）中，，内角所对的边分别为线段上的点满足，且，则的最小值为___________.2、(2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（

）A．1 B． C． D．3、【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则（

）A． B．周长的最大值为6C．的取值范围为 D．的最大值为与平面向量的结合【例5-3】(2023·全国·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．4 D．2【题组练透】1、(2023·安徽淮南·二模（理））已知平面向量的夹角为，且，则的最大值为________．2、(2023·黑龙江·哈九中模拟预测（理））设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．23、(2023·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9与数列的结合【例5-4】(2023·全国·高三专题练习）设，，2是与的等比中项，则的最大值为（

）A． B． C． D．【题组练透】1、(2023·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．2、(2023·四川·模拟预测（理））已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3、(2023·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．不存在与解析几何的结合【例5-5】(2023·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））设复数，若复数对应的点在直线上，则的最小值为___________【题组练透】1、若直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是__________．2、(2023·辽宁大连·二模）若直线平分圆的周长，则ab的取值范围是（

）A． B． C． D．3、(2023·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（

）A． B． C． D．第5讲基本不等式知识点1基本不等式1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.证明：推论：（）.2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：；.a2+b2≥2ab成立的条件与a+b2提示:不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而a+b23、基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．4、几个重要的不等式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq\a\vs4\al(当且仅当a＝b时,等号成立.).证明：由，可得，即（当且仅当时等号成立）拓展：（6）a>0,b>0,c>0则a+b+5、利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(简记：和定积最大)6、基本不等式公式推导图1．（2023•乙卷）下列函数中最小值为4的是A． B． C． D．【解析】对于，，所以函数的最小值为3，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项正确；对于，因为当时，，所以函数的最小值不是4，故选项错误．故选：．4．（2023•天津）已知，，则的最小值为．【解析】法一：，，，当且仅当且，即时取等号，的最小值为，法二：，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为，故答案为：．5．（2023•上海）已知函数的最小值为5，则．【解析】，所以，经检验，时等号成立．故答案为：9．2．（2023•上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【解析】．显然当，时，不等式不成立，故错误；．，，，故正确；．显然当，时，不等式不成立，故错误；．显然当，时，不等式不成立，故错误．故选：．3．【多选】（2023•海南）已知，，且，则A． B． C． D．【解析】①已知，，且，所以，则，故正确．②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确．③，故错误．④由于，，且，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确．故选：．6．（2023•天津）已知，，且，则的最小值为．【解析】，，且，则，当且仅当，即，或，取等号，故答案为：47．（2023•江苏）已知，则的最小值是．【解析】方法一、由，可得，由，可得，，则，当且仅当，，可得的最小值为；方法二、，故，当且仅当，即，时取得等号，可得的最小值为．故答案为：．8．（2023•上海）若，，且，则的最大值为．【解析】，；故答案为：9．（2023•天津）设，，，则的最小值为．【解析】，，，则；，，，由基本不等式有：，，，故：；（当且仅当时，即：，时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．考点一利用基本不等式比较大小解题方略：在利用基本不等式比较大小时，也可能要用到函数的单调性.【例1-1】【多选】(2023·湖南·模拟预测）已知，且，则（

）A． B．C． D．【解析】由题设，，则(仅等号成立)，可得，由，即，则，A正确；由，即，B错误；由，C正确；由，当且仅当时等号成立，D错误；故选：AC【例1-2】(2023·全国·高三专题练习）已知，则下列选项错误的是（

）A． B．C． D．【解析】由，得，，所以，整理得，故A正确；由，得，又，所以，故B正确.因为，，所以，故C正确；因为，所以，，当且仅当时，等号成立，又，所以，D错误．故选：D【题组练透】1、【多选】(2023·江苏无锡·高三期末）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【解析】，则，因为，所以，A选项正确；因为，所以，由基本不等式得：，B选项正确；，，C选项错误；，，，D选项正确，故选：ABD2、【多选】(2023·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）若，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【解析】因为，，当且仅当时等号成立，则或，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，故AC错误，D正确.对于B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确.故选：BD3、【多选】(2023·广东汕尾·高三期末）已知a，b都是不等于1的正实数，且a>b，0<c<1，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【解析】函数，因为，所以是减函数，因为a>b，所以，故A错．函数，因为，所以在是增函数，因为a>b，所以，故B正确．函数，因为，所以在是减函数，因为a>b，所以，故C错．，当且仅当时取等号，又，所以，故D正确．故选：BD考点二利用基本不等式求最值解题方略：直接法①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型.积，和和平方和三者之间的不等式关系：②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，求最值时要求"一正、二定、三相等".③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值．④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值．【例2-1】(2023·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．【解析】∵，，∴，即，当且仅当时等号成立，∴．故选：D．【例2-2】(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.【解析】因为x＞0，a＞0，所以f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36.【例2-3】(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值【解析】，，，当且仅当，即时取等号，有最大值.故选：D．【例2-4】(2023·四川·石室中学模拟预测（文））函数的最大值是（

）A．7 B． C．9 D．【解析】由题意可得函数的定义域为，则，所以，当且仅当，即时，取等号，所以函数的最大值是，故选：B【题组练透】1、(2023·安徽·高三期末（文））已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】因为，，，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.2、(2023·江西·模拟预测（文））函数的最大值为________．【解析】∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：3、(2023·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________.【解析】直线过点，则又，设，则由，当且仅当，即时等号成立.所以，即所以的最大值为，当且仅当时等号成立.故答案为：配凑法将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．(3)形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。【例2-4】(2023·全国·高三专题练习（理））函数的最小值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【解析】因为，所以，，利用基本不等式可得，当且仅当即时等号成立.故选：D.【例2-5】(2023·全国·高三专题练习）已知x<eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________．【解析】因为x<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为1.【例2-6】(2023·全国·高三专题练习）已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)【解析】∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq\f(3,4).当且仅当x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)时，等号成立．故选B.【例2-7】(2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【解析】，当且仅当,即等号成立.故选：D.【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）求函数的最小值及此时的值；【解析】∵，∴，当且仅当即时，等号成立.故函数的最小值为5，此时；2、(2023·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.【解析】由题意，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值为3.故答案为：3.3、(2023·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（

）A． B．2 C．4 D．6【解析】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：C.常数代换法（1）若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.模型1已知正数满足，求的最小值。模型2已知正数满足求的最小值。（2）常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：①根据已知条件或其变形确定定值(常数)；②把确定的定值(常数)变形为1；③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值．（3）有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系.【例2-8】(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】因为，，所以（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4.故选：D.【例2-9】(2023·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（

）A．6B．9C．D．18【解析】，，且，且，，当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9；故选：B【例2-10】(2023·全国·模拟预测）已知为正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】因为为正实数，所以所以当且仅当，即时，取等号，故的最小值为8.故选：C【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为_________【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：2、(2023·全国·高三专题练习（理））已知都是正数，且，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3【解析】由题意知，，，则，当且仅当时，取最小值.故选：C．3、(2023·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】因为，，所以，又所以当且仅当即，时，取等号所以故选：A4、(2023·全国·高三专题练习）已知实数a>0，b>0，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】依题意，，.当且仅当时等号成立.故选：B5、(2023·四川·广安二中模拟预测（理））已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______．【解析】因为、且，所以当仅当时取等号，即解得或（舍去），当且仅当、时取等号；故答案为：6、(2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】因为，所以，∴，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.（四）消元法消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围【例2-11】(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，则的最大值为______.【解析】依题意正实数，满足，，，当且仅当，时等号成立.故答案为：2、(2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________．【解析】因为xy＋2x＋y＝4，所以x＝eq\f(4－y,y＋2).由x＝eq\f(4－y,y＋2)>0，得－2<y<4，又y>0，则0<y<4，所以x＋y＝eq\f(4－y,y＋2)＋y＝eq\f(6,y＋2)＋(y＋2)－3≥2eq\r(6)－3，当且仅当eq\f(6,y＋2)＝y＋2(0<y<4)，即y＝eq\r(6)－2时取等号．3、(2023·湖北武汉·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为(

)A．0 B．2 C．4 D．6【解析】，，当时等式不成立，∴a≠1，∴，∴，当且仅当时取等号，故选：A．(五）换元法当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.【例2-12】(2023·辽宁·模拟预测）若，且，则的最小值为______．【解析】（当且仅当时取等号），，设，则，解得：（舍）或，即，.故答案为：.【题组练透】1、(2023·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．【解析】由题意，，，，得：，设，则，故，当且仅当，即时取得等号，故的最小值为，故答案为：（六）重组转化当条件式或目标式较为复杂、不易理清其结构特点与内在联系时，可从拆分、合并等角度尝试进行重组，注意观察式子的结构特点,寻找条件式与目标式的结构特征及相互联系.【例2-13】(2023·天津·一模）已知正实数，满足，则的最小值为___________.【解析】；（当且仅当时取等号），解得：；在上单调递减，.即的最小值为.故答案为：.【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习（理））已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（

）A．40 B． C．42 D．【解析】，又，当且仅当时取“=”，则，所以当时，的最大值为.故选：D2、(2023·浙江台州·二模）已知正实数满足，则的最大值为___________；的最大值为___________.【解析】①由，得，当且仅当，即时取等；②，当且仅当，即时取等，又由上知，故，当且仅当时取等，所以，当且仅当时取等.故答案为：；.3、(2023·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【解析】，则，当且仅当时，“=”成立，又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，所以的最大值为.故选：C（七）利用两次基本不等式求最值在求解某些复杂一些的最值问题时，可能会需要连续多次使用基本不等式进行放缩.此时，我们需要注意两点:一是由基本不等式进行放或缩一定要考虑到不等号的方向与不等式传递性相一致，即多次放大或者多次缩小，一般不可以既放大又缩小;二是多次使用基本不等式后要考虑等号成立的条件，只有多个等号能够同时成立时方可.【例2-14】(2023·全国·高三专题练习）已知a>0,b>0,则2ab+1a+1A.2 B.4 C.42 D.6【解析】因为a>0,b>0,所以2ab+1a+1b≥2ab+【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【解析】（当且仅当，即时等号成立），（当且仅当，即时等号成立）.两个等号可以同时成立，的最小值为.故选：C.2、(2023·全国·高三专题练习）若a，，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【解析】，当且仅当时，等号成立；又，当且仅当时，即，等号成立；，解得，，所以的最大值为故选：A3、(2023·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【解析】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．（八）基本不等式与对勾函数对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时，对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数；（1）当同号时，对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当异号时，对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示：【例2-15】(2023·河南·模拟预测（文））下列函数中最小值为6的是（

）A． B．C． D．【解析】A.，最小值为5，故错误；B.令，则在上递减，其最小值为10，故错误；C.，当且仅当，即时，等号成立，故正确；D.当时，，显然不成立，故错误；故选：C【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）在下列函数中，最小值是2的函数是（

）A． B．C． D．【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B：因为，所以，当且仅当，即时取等号，故B正确；对于C：因为，所以，又在上单调递减，所以，故C错误；对于D：，因为，在上单调递增，所以，即，故D错误；故选：B2、(2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为______【解析】设，即求函数在[1，2]上的最大值函数为对勾函数，在上单调递减；所以当t=1时，函数取到最大值，即；3、(2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有解求的取值范围；【解析】根据题意得时，无解;在内有解，即:在上的取值范围，设，当时，在为单调递减，在为单调递增，因为，则当时，，故；考点三与基本不等式有关的参数问题解题方略：1、求参数的值或取值范围的方法观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．2、求不等式恒成立问题常用分离参数法的方法若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.【例3-1】(2023·浙江·高三专题练习）若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}【解析】∵x＞0，∴不等式x24，当且仅当x＝2时，表达式取得最小值为4，由关于x的不等式xa2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，可得4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，故选：A．【例3-2】(2023·全国·高三专题练习）已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【解析】若恒成立，则，因为，当且仅当，即时取等号．所以所以，即，解得：．故选：C【例3-3】(2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】由题意，对任意，则有，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，又由对任意时，恒成立，所以，即的取值范围为.故选：A.【例3-4】(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C．D．【解析】因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立；又不等式恒成立，所以只需，即，解得.故选：A.【例3-5】(2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(

)A． B． C． D．【解析】，，当且仅当时取等号，故．故选：C．【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【解析】因为所以，当且仅当，即时取等号，又因为恒成立，所以，解得．故选：C.2、(2023·全国·高三专题练习）对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】，即，即又，当且仅当“”，即“”时等号成立，即，故.故选：C.3、(2023·全国·高三专题练习）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，，，当且仅当即时等号成立，，或舍去，即所以正实数a的最小值为4.故选：B.考点四基本不等式的实际应用解题方略：利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【例4-1】(2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（

）A． B．C． D．【解析】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则，，，∴，，故选:D.【例4-2】(2023·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（

）A．30 B．60 C．900 D．1800【解析】，当且仅当，即当时等号成立.所以f（Q）的最小值是60.故选：B.【例4-3】(2023·湖北·一模）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.【解析】设矩形空地的长为m，则宽为m，依题意可得，试验区的总面积，当且仅当即时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为.故答案为：6【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）某人围一个面积为32的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高3，新墙的造价为1000元/，则当x取（

）时，总造价最低？（假设旧墙足够长）A．9 B．8 C．16 D．64【解析】由题设，总造价，当且仅当时等号成立，即时总造价最低.故选：B.2、(2023·全国·高三专题练习）自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为（，k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.【解析】(1)由题得，当时，，则，故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为(2)由（1）知，当且仅当，即时等号成立，即线上直播150小时可使y最小为42万元.3、(2023·全国·高三专题练习）近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.【解析】(1)由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，当时，当时，，所以.(2)当时，，此时函数开口向上的抛物线，且对称轴为，所以当时，（万元）；当时，，因为，当且仅当即时，等号成立，即当时，（万元），综上可得，当时，取得最大值为（万元），即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.考点五基本不等式的综合应用解题方略：求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．与函数的结合【例5-1】(2023·全国·模拟预测）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________．【解析】当时，，所以，定点的坐标为，由已知可得，因为，则且，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【题组练透】1、(2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.【解析】∵恒过定点，∴过定点∴，即，∴≥，当且仅当即时等号成立，∴所以的最小值为9，故答案为：9.2、(2023·天津·二模）已知，则的最小值为__________.【解析】因为，所以，所以，故，且，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.3、【多选】(2023·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数，且正实数，满足，则下列结论可能成立的是（

）A． B．的最大值为C． D．的最小值为【解析】当，时，，则所以，所以，故A正确当，时，，，则所以，故C正确当，时，，则所以对于B，当，，且时取，时，（，）当，且时取，时，当，