高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)10.1平面向量的线性运算及基本定理(精讲)(提升版)(原卷版+解析)

10.1平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一平面向量的基本定理【例1】(2023·广东·高三开学考试）在中，已知，，与交于，则（

）A．

B．

C．

D．【一隅三反】1．(2023·广东·高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（

）A． B． C． D．2．(2023·江苏·扬州中学高三开学考试）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在中，为中点，且，则（

）A． B．C．∥ D．考点二平面向量中的共线问题【例2-1】(2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若M、P、Q三点共线，则（

）A．1 B．2 C．4 D．－1【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．122．（2023·全国·高三专题练习）已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则________.3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.考点三最值【例3】2(2023·北京·高三开学考试）已知是边长为2的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·浙江）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（

）A． B． C． D．考点四平面向量与其他知识综合【例4-1】(2023·全国·高三专题练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2【例4-2】(2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.【一隅三反】1．(2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）（多选）在平面四边形中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（

）A．为等比数列 B．为递减数列C．为等差数列 D．2．(2023·云南·昆明一中高三开学考试）已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则向量在向量上的投影向量为___________.（用坐标作答）10.1平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一平面向量的基本定理【例1】(2023·广东·高三开学考试）在中，已知，，与交于，则（

）A．

B．

C．

D．答案：C【解析】如图，过作直线交于，因为，所以，因为，所以设，则，所以，因为，所以，所以.故选：C.【一隅三反】1．(2023·广东·高三开学考试）在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为在平行四边形中，点、分别满足，，所以，，所以．故选：A2．(2023·江苏·扬州中学高三开学考试）如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由得因为点是的中点，所以由三点共线知，存在实数，满足，由三点共线知，存在实数，满足，所以，又因为为不共线的非零向量，所以，解得，所以，即，所以，故A不正确；，故B正确；D不正确；，故C不正确.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在中，为中点，且，则（

）A． B．C．∥ D．答案：BC【解析】因为，则三点共线，且，又因为为中线，所以点为的重心，连接并延长交于，则为的中点，所以，所以∥故选：BC．考点二平面向量中的共线问题【例2-1】(2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为O，A，B三点共线，则所以，，即整理得：又∵向量，不共线，则，则故选：A．【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若M、P、Q三点共线，则（

）A．1 B．2 C．4 D．－1答案：A【解析】∵M、P、Q三点共线，则与共线，∴，即，得，解得.故选：A.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．12答案：D【解析】，，三点共线，，，当且仅当，时取等号，所以的最小值是12.故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则________.答案：3【解析】如图，设F为BC的中点，则，又，，则，又G，D，E三点共线，∴，即.故答案为：3.3．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.答案：【解析】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以，所以.故答案为：考点三最值【例3】2(2023·北京·高三开学考试）已知是边长为2的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如图所示由图像可知，与夹角的范围为，所以,所以.故选：B.【一隅三反】1．(2023·浙江）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】在圆外，则且，又，所以，又三点共线，所以，，而，所以．故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，，设，则，由得：，令，即，，其中锐角满足，因此，当时，，当时，，所以的取值范围是.故选：D3．(2023·全国·高三专题练习）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以为的垂心，所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心，因为，解得，所以为边长为的正三角形，如图所示，以为原点建立直角坐标系，则，因为，可得设，其中，又因为，即为的中点，可得，所以.即的最大值为.故选：B.考点四平面向量与其他知识综合【例4-1】(2023·全国·高三专题练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2答案：B【解析】设，，，，则，，，，.所以，当且仅当，时等号成立.所以的的最小值是.故选：B【例4-2】(2023·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.答案：【解析】由题可知，，，设，则则所以，当时，的最小值为.故答案为：.【一隅三反】1．(2023·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）（多选）在平面四边形中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（

）A．为等比数列 B．为递减数列C．为等差数列 D．答案：BD【解析】如图，连交于，则，即，所以，所以，所以，设，因为当时，恒有，所以，，所以当时，恒有，所以，即，又，所以，所以，所以，因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确；因为，即，所以为递减数列，故B正确；因为不是常数，所以不为等差数列，故C不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：BD2．(2023·云南·昆明一中高三开学考