安徽省2024中考数学第2章方程组与不等式组第3节一元二次方程及其应用试题

Page1其次章方程(组)与不等式(组)第三节一元二次方程及其应用考点帮易错自纠易错点1忽视一元二次方程二次项系数不为01.若方程(m-1)xm2+1易错点2误认为关于x的方程ax2+bx+c=0肯定是一元二次方程2.关于x的方程(m-2)x2-2x+1=0有实根,则(B)A.m<3 B.m≤3C.m<3且m≠2 D.m≤3且m≠2易错点3一元二次方程ax2+bx+c=0有2个实数根时,忽视Δ=0的状况3.方程x2+2x+k=0有2个实数根,则k的取值范围是(B)A.k<1 B.k≤1C.k≤-1 D.k<-1易错点4干脆开平方解一元二次方程时易丢根4.方程4x2+4x+1=9的解为x1=1,x2=-2.

易错点5方程两边同时约去含有未知数的因式导致漏根5.方程x(x+2)=2(x+2)的根为x1=2,x2=-2.

真题帮【考法速览】考法1解一元二次方程(10年4考)考法2根的判别式(10年2考)考法3一元二次方程的实际应用(10年3考)考法1解一元二次方程1.[2011安徽,8]一元二次方程x(x-2)=2-x的根是(D)A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和22.[2024安徽,15]解方程:(x-1)2=4.解:∵(x-1)2=4,∴x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.3.[2016安徽,16]解方程:x2-2x=4.解:方程两边都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5,∴x-1=±5,∴x1=1+5,x2=1-5.4.[2012安徽,16]解方程:x2-2x=2x+1.解:原方程可化为x2-4x-1=0,∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±202=2±∴x1=2-5,x2=2+5.考法2根的判别式5.[2024安徽,5]下列方程中,有两个相等实数根的是(A)A.x2+1=2x B.x2+1=0C.x2-2x=3 D.x2-2x=0变式训练6.[2024山东潍坊]关于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0的根的状况,下列说法正确的是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.无法确定7.[2024安徽,7]若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1 B.1C.-2或2 D.-3或1考法3一元二次方程的实际应用8.[2017安徽,8]一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元,设两次降价的百分率都为x,则x满意(D)A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=169.[2015安徽,6]我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业迅猛发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是(C)A.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.510.[2013安徽,7]目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系,某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是(B)A.438(1+x)2=389 B.389(1+x)2=438C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=389作业帮基础分点练(建议用时:40分钟)

考点1解一元二次方程1.[2024合肥包河区一模]一元二次方程x2+2x=0的解是(D)A.x=0 B.x=-2C.x1=2,x2=0 D.x1=-2,x2=02.[2024山东聊城]用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正确的是(A)A.(x-34)2=1716 B.(x-34)C.(x-32)2=134 D.(x-32)3.[2024辽宁营口]一元二次方程x2-5x+6=0的解为(D)A.x1=2,x2=-3 B.x1=-2,x2=3C.x1=-2,x2=-3 D.x1=2,x2=34.[2024江苏常州]若关于x的方程x2+ax-2=0有一个根是1,则a=1.

5.[2024湖北十堰]对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,则m=-3或4.

6.解一元二次方程:(x-3)2=2x(3-x).解:∵(x-3)2=2x(3-x),∴(x-3)2-2x(3-x)=0,即(x-3)2+2x(x-3)=0,即(x-3)(3x-3)=0,∴x-3=0或3x-3=0,∴x1=3,x2=1.7.[2024黑龙江齐齐哈尔]用配方法解方程:x2+6x=-7.解:∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,即(x+3)2=2,则x+3=±2,∴x=-3±2,即x1=-3+2,x2=-3-2.8.[2024江苏无锡]解方程:x2+x-1=0.解:∵a=1,b=1,c=-1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5>0,∴x=-b±b2-4ac故x1=-1+52,x2=考点2根的判别式9.下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是(D)A.x2-x+14=0 B.x2C.x2-x+2=0 D.x2-2x=010.[2024安庆模拟]已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1a+c的值等于(B)A.-2 B.2 C.4 D.-411.[2024合肥庐阳区模拟]若关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有实数根,则k的取值范围是(D)A.k≥1 B.k>1 C.k<1 D.k≤112.[2024辽宁抚顺]若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是k<-1.

13.[2024亳州模拟]已知关于x的方程x2-2mx+m2+m-2=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围.(2)当m为正整数时,求方程的根.解:(1)∵关于x的方程x2-2mx+m2+m-2=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(-2m)2-4(m2+m-2)>0.解得m<2.(2)由(1)知,m<2.又m为正整数,∴m=1.将m=1代入原方程,得x2-2x=0,即x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2.考点3一元二次方程的实际应用14.[2024河南]国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2024年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2024年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列方程为(C)A.5000(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=750015.在一次同学聚会上,每人都向其他人赠送了一份小礼品,参与聚会的同学共送出156份小礼品.假如参与聚会的同学有x名,依据题意列出的方程是(B)A.x(x+1)=156 B.x(x-1)=156C.2x(x+1)=156 D.x(x-1)=156×216.[2024贵州遵义]如图,把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后把纸板沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2,设剪去的小正方形的边长为xcm,则可列方程为(D)A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-x)=600C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2x)(40-2x)=60017.某校图书馆2017年共有图书10万册,2024年共有图书14.4万册.假设该校图书馆图书册数的年增长率保持不变,则该校图书馆的图书册数首次超过20万册的年份是(B)A.2024年 B.2024年 C.2024年 D.2024年18.[2024上海]某商店去年“十一黄金周”进行促销活动期间,前六天的总营业额为450万元,第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额;(2)去年,该商店7月份的营业额为350万元,8,9月份营业额的月增长率相同,“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等,求该商店去年8,9月份营业额的月增长率.解:(1)450+450×12%=504(万元).答:该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元.(2)设该商店去年8,9月份营业额的月增长率为x,依据题意,得350(1+x)2=504,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).答:该商店去年8,9月份营业额的月增长率为20%.19.[2024合肥蜀山区期末]某水果连锁店将进价为20元/千克的某种热带水果以25元/千克的价格售出,每日能售出40千克.(1)每日的销售利润为200元.

(2)调查表明:当售价在25元/千克~32元/千克范围内时,这种热带水果每千克的售价每上涨1元,其销售量就削减2千克.在售价不高于32元/千克的状况下,若要使每日的销售利润为300元,售价应定为多少?解:(1)200解法提示:(25-20)×40=200(元).(2)设每千克上涨x元,则售价为(25+x)元/千克,每日可售出(40-2x)千克,依题意,得(25+x-20)(40-2x)=300,整理,得x2-15x+50=0,解得x1=5,x2=10.当x=5时,25+x=30,符合题意;当x=10时,25+x=35>32,不合题意,舍去.答:售价应定为30元/千克.综合提升练(建议用时:20分钟)1.[2024甘肃陇南]已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一个根,则m的值为(B)A.-1或2 B.-1 C.2 D.02.[2024河南]定义运算:m☆n=mn2-mn-1.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.则方程1☆x=0的根的状况为(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根3.[2024浙江衢州]某厂家2024年1~5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的月平均增长率为x,依据题意可得方程(B)A.180(1-x)2=461 B.180(1+x)2=461C.368(1-x)2=442 D.368(1+x)2=4424.[2024湖南邵阳]中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔几步.”翻译成数学问题是:一块矩形田地的面积为864平方步,它的宽比长少12步,问它的宽是多少步.利用方程思想,设宽为x步,则依题意列方程x(x+12)=864.

5.[2024阜阳颍州区一模]已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+34m2+1(1)证明:该方程有实数根;(2)当m=4时,该方程的两个根是等腰三角形ABC的两边长,求该三角形的面积.(1)证明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4×1×(34m2+12m)=4m2+4m+1-3m2-2m=m2+2m+1=(m+1)∴该方程有实数根.(2)解:当m=4时,该方程为x2-9x+14=0,解得x1=2,x2=7.∵2+2<7,2+7>7,∴该等腰三角形的腰长为7,底边长为2.∴底边上的高线长为72-1∴该三角形的面积为12×2×43=436.宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆正好住满;每间房每天的定价每增加10元,就会空闲一间房.假如有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.问当房价定为每间房每天多少元时,宾馆当天的利润为10890元.解:设房价定为每间房每天x元,则当天有游客居住的房间的数量为(50-x-18010依据题意,得(x-20)(50-x-18010整理,得x2-700x+122500=0,解得x1=x2=350.答:当房价定为每间房每天350元时,宾馆当天的利润为10890元.全国视野创新练新设问[2024黑龙江大庆]已知关于x的一元二次方程:x2-2x-a=0,有下列结论:①当a>-1时,方程有两个不相等的实根;②当a>0时,方程不行能有两个异号的实根;③当a>-1时,方程的两个实根不行能都小于1;④当a>3时,方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.以上4个结论中,正确的个数为3.

参考答案【易错自纠】1.-1由题意得m-1≠0,m2+1=2,故m=-1.2.B分两种状况进行探讨.当m-2=0,即m=2时,(m-2)x2-2x+1=0可化为-2x+1=0,是一元一次方程,有实数根;当m-2≠0,即m≠2时,(m-2)x2-2x+1=0是一元二次方程,若该方程有实数根,则Δ≥0,即(-2)2-4×(m-2)×1=12-4m≥0,解得m≤3,故m≤3且m≠2.综上可知m≤3.故选B.3.B∵方程x2+2x+k=0有2个实数根,∴Δ=22-4k≥0,∴k≤1.4.x1=1,x2=-2原方程可化为(2x+1)2=9,两边开平方,得2x+1=±3,∴x1=1,x2=-2.5.x1=2,x2=-2原方程可化为x(x+2)-2(x+2)=0,提取公因式,得(x+2)(x-2)=0,∴x-2=0或x+2=0,∴x1=2,x2=-2.1.D原方程移项、因式分解,可得(x-2)(x+1)=0,解得x1=-1,x2=2,所以该一元二次方程的根是2和-1.2~4.略5.A逐项分析如下:选项分析根的状况A方程可转化为(x-1)2=0,故x1=x2=1.有两个相等的实数根.B方程可转化为x2=-1,-1<0.无实数根.C方程可转化为x2-2x-3=0,Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0.有两个不相等的实数根.D方程可转化为x(x-2)=0,故x1=0,x2=2.有两个不相等的实数根.故选A.6.A由题可知Δ=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4>0,∴原方程有两个不相等的实数根.故选A.7.A将该方程化为一般形式,为x2+(1+a)x=0.若该方程有两个相等的实数根,则Δ=(1+a)2=0,解得a=-1.8.D第一次降价后的价格为每盒25(1-x)元,其次次降价后的价格为每盒25(1-x)2元,由此可列方程25(1-x)2=16.9.C2014年的快递业务量为1.4(1+x)亿件,2015年的快递业务量为1.4(1+x)(1+x)=1.4(1+x)2(亿件),由此可得方程1.4(1+x)2=4.5.10.B去年下半年发放的资助金额为389(1+x)元,今年上半年发放的资助金额是389(1+x)(1+x)元,即389(1+x)2元,所以有389(1+x)2=438.基础分点练1.Dx2+2x=x(x+2)=0,解得x1=-2,x2=0.2.A2x2-3x-1=0,x2-32x=12,x2-32x+(34)2=12+(34)2,(x-3.D方法一:a=1,b=-5,c=6,由公式法可得x1=2,x2=3.方法二:(x-2)(x-3)=0,x-2=0或x-3=0,所以x1=2,x2=3.4.1将x=1代入x2+ax-2=0,得1+a-2=0,解得a=1.5.-3或4∵a◎b=(a+b)2-(a-b)2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=4ab,∴(m+2)◎(m-3)=4(m+2)(m-3)=24,化简,得m2-m-12=0,解得m=-3或m=4.6~8.略9.D对于A选项,Δ=(-1)2-4×1×14=0,故选项A中的方程有两个相等的实数根;对于B选项,Δ=22-4×1×4=-12<0,故选项B中的方程无实数根;对于C选项,Δ=(-1)2-4×1×2=-7<0,故选项C中的方程无实数根;对于D选项,Δ=(-2)210.B依据题意可知Δ=22-4a(2-c)=0,化简,得ac-2a+1=0.由一元二次方程的定义可知a≠0,∴c-2+1a=0,即111.D∵关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有实数根,∴Δ=b2-4ac=4(k-1)2-4(k2-1)=-8k+8≥0,解得k≤1.12.k<-1依据题意可知,Δ=b2-4ac=22-4×(-k)<0,解得k<-1.13.略14.C2017年快递业务收入为5000亿元,2024年快递业务收入为5000(1+x)亿元,2024年快递业务收入为5000(1+x)2亿元,故可列方程为5000(1+x)2=7500,故选C.15.B依据题意得x(x-1)=156.故选B.16.D由题意得,无盖纸盒的底面长为(40-2x)