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文档简介
第九节函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合详细实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍运用的函数模型)的广泛应用.考向预料考情分析:考查依据实际问题建立函数模型解决问题的实力,常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题,预料高考对本节考查将持续近几年的考查风格,各种题型均有可能,属中档题.学科素养:通过函数模型的应用考查数学建模的核心素养.必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记3个学问点1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)与指数函数相关的模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与对数函数相关的模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与幂函数相关的模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)2.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调________单调________单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的改变随x的增大逐渐表现为与________平行随x的增大逐渐表现为与________平行随n值改变而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax3.解答函数应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学学问,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:二、必记1个常用结论“对勾”函数的性质函数f(x)=x+ax(a(1)该函数在(-∞,-a]和[a,+∞)上单调递增;在[-a,0)和(0,a]上单调递减.(2)当x>0时,x=a时取最小值2a;当x<0时,x=-a时取最大值-2a.三、必练4类基础题(一)推断正误1.推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.()(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比方.()(3)幂函数增长比直线增长更快.()(二)教材改编2.[必修1·P104例5改编]生产肯定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=12x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获得3.[必修1·P103例4改编]某动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,则到第8年繁殖到________只.(三)易错易混4.(折线图识别不清)某工厂一年中各月份的收入、支出状况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的改变率与4至5月份的收入的改变率相同D.前6个月的平均收入为40万元5.(对函数增长速度相识不清)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)(四)走进高考6.[2024·全国甲卷理]青少年视力是社会普遍关注的问题,视力状况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满意L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一利用函数的图象刻画实际问题[基础性]1.[2024·青岛质检改编]某城市为了解游客人数的改变规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.依据该折线图,下列结论不正确的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,改变比较平稳2.为满意人民对美妙生活的憧憬,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-fb-fab-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理实力A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理实力比乙企业强B.在t2时刻,甲企业的污水治理实力比乙企业强C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理实力最强3.[2024·武汉调研]为探讨西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律,统计显示,生长4年的树高为73米,如图所示的散点图,记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此推断,在下列函数模型:①y=2t-a;②y=a+log2t;③y=12t+a;④y=t+a中(其中反思感悟推断实际问题中两变量呈现某种改变趋势的方法(1)构建函数模型法:当依据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;(2)验证法:当依据题意不易建立函数模型时,则依据实际问题中两变量的改变特点,结合图象的改变趋势,验证是否吻合,从中解除不符合实际的状况,选择出符合实际状况的答案.考点二应用所给函数模型解决实际问题[综合性][例1][2024·山东卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的改变规律,指数增长率r与R0,T近似满意R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍须要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天反思感悟求解已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)依据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.【对点训练】[2024·全国Ⅲ卷]Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23t-53,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标记A.60B.63C.66D.69考点三构建函数模型的实际问题[综合性]角度1构建二次函数模型[例2]某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若每年销售量为30-52RA.[4,8]B.[6,10]C.[4%,8%]D.[6%,10%]角度2构建指数(对数)型函数模型[例3](1)[2024·青岛检测]一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少须要A.6B.5C.4D.3(2)[2024·唐山联考]尽管目前人类还无法精确地预报地震,但科学家通过探讨,已经对地震有所了解,例如,地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.①已知地震等级划分为里氏12级,依据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”,若某次地震释放能量约1012焦耳,试确定该次地震的类型;②2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍?(取10=3.2)角度3分段函数模型[例4]某旅游区为了提倡低碳生活,在景区供应自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁运用,管理这些自行车的费用是每日115元.依据阅历,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必需高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?听课笔记:反思感悟(1)指数函数、对数函数模型解题,关键是对模型的推断,先设定模型,将有关数据代入验证,确定参数,求解时要精确进行指、对数运算,敏捷进行指数与对数的互化.(2)分段函数主要是每一段自变量改变所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的改变规律分别找出来,再将其合到一块,要留意各段自变量的范围,特殊是端点值.构造分段函数时,要力求精确、简洁,做到分段合理不重不漏.【对点训练】1.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元2.[2024·贵阳调研]一片森林原来面积为a,支配每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为爱护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的2(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?3.提高过江大桥的车辆通行实力可改善整个城市的交通状况.在一般状况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.探讨表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)微专题eq\o(○,\s\up1(12))实际问题中的数学模型数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学学问与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发觉问题,提出问题,分析问题,构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题.[例][2024·江苏卷]某地打算在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO′为铅垂线(O′在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满意关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满意关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到(1)求桥AB的长度;(2)支配在谷底两侧建立平行于OO′的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上,(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0),问O′E为多少米时,桥墩CD与EF解析:(1)如图,设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当O′B=40时,BB1=-1800×403+6×40=160,则AA1由140O′A2=160,得O′A=80,所以AB=O′A+O′B=80+40=120(米),所以桥AB(2)以O为原点,OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示),设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-1800x3+6x,EF=160-y2=160+1800x3-6x.因为CE=80,所以O′C=80-设D(x-80,y1),则y1=140(80-x)2,所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k(160+1800x3-6x)+=k1800x3所以f′(x)=k3800x2-340令f′(x)=0,则x=20,则f(x),f′(x)随x的改变状况如图所示.x(0,20)20(20,40)f′(x)-0+f(x)单调递减微小值单调递增所以当x=20时,f(x)取得最小值.所以当O′E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.名师点评建立函数模型应把握的三个关口(1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟识实际背景,为解题打开突破口;(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系;(3)数理关:在构建数学模型的过程中,对已有的数学学问进行检验,从而认定或构建相应的数学问题.[变式训练][2024·山东济宁测试]食品平安问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来肯定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,依据以往的种菜阅历,发觉种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满意P=80+42a,Q=14a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x(1)求f(50)的值;(2)如何支配甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?第九节函数模型及其应用积累必备学问一、2.递增递增y轴x轴三、1.答案:(1)×(2)×(3)×2.解析:利润L(x)=20x-C(x)=-12(x-18)2+142,当x=18时,L(x)答案:183.解析:依题意知alog33=100,a=100.当x=8时,y=100log39=200.答案:2004.解析:由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的改变率与4至5月份的收入的改变率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为16答案:D5.解析:∵f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,∴f′(x)=2x,g′(x)=2xln2,h′(x)=1x当x>4时,2xln2>2x>1x∴g′(x)>f′(x)>h′(x),故三个函数的增长速度为g(x)>f(x)>h(x).答案:B6.解析:由L=5+lgV,当L=4.9时,lgV=-0.1,则V=10-0.1=10-110=1答案:C提升关键实力考点一1.解析:由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在削减,则A选项错误,其余全部正确.答案:A2.解析:-fb-fab-a表示在[a,b]上割线斜率的相反数,-fb-fab-a越大治理实力越强.对于A,在[t1,t2]这段时间内,甲企业对应图象的割线斜率的相反数大,故甲企业的污水治理实力比乙企业强,正确;对于B,要比较t2时刻的污水治理实力,即看在t2时刻两曲线的切线斜率,切线斜率的相反数越大,污水治理实力越强,故在t2时刻,甲企业的污水治理实力比乙企业强,正确;对于C,在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,正确;对于D,甲在[答案:D3.解析:由散点图的走势,知模型①不合适.曲线过点4,73,则后三个模型的解析式分别为②y=13+log2t;③y=12t+13当t=1时,代入④中,得y=43将t=8代入②式,得y=13+log28=10答案:②10考点二例1解析:∵R0=1+rT,∴3.28=1+6r,∴r=0.38.若It1=e0.38t1,It2=e0.38t答案:B对点训练解析:I(t*)=K1+e-0.23t*-53=0.95K,整理可得e0.23(答案:C考点三例2解析:依据题意,要使附加税不少于128万元,需30-52R整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,即R∈[4,8].答案:A例3解析:(1)设这种放射性物质最初的质量为1,经过x(x∈N)年后,剩余量是y,则有y=14依题意得14则22x≥100,解得x≥4.所以至少须要的年数是4.(2)①该次地震释放能量约1012焦耳,即E=1012代入lgE=4.8+1.5M,化简得M=lg1012-4.8因为4.8>4.7,所以该次地震为“破坏性地震”.②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1,E2.由题意知,lgE1=4.8+1.5×8=16.8,lgE2=4.8+1.5×9=18.3,即E1=1016.8,E2=1018.3,所以E2E1=101.5=1010,取10故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.答案:(1)C(2)见解析例4解析:(1)当x≤6时,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3,∵x为整数,∴3≤x≤6.当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,结合x为整数得6<x≤20.故y=50x-115(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z).明显当x=6时,ymax=185,对于y=-3x2+68x-115=-3x-3432+8113(6<x≤20,x∈Z),当x∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.对点训练1.解析:设在A地
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