统考版2025届高考数学全程一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数第九节函数模型及其应用学生用书

第九节函数模型及其应用最新考纲1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合详细实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍运用的函数模型)的广泛应用．考向预料考情分析：考查依据实际问题建立函数模型解决问题的实力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，预料高考对本节考查将持续近几年的考查风格，各种题型均有可能，属中档题．学科素养：通过函数模型的应用考查数学建模的核心素养．必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记3个学问点1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)2.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调________单调________单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的改变随x的增大逐渐表现为与________平行随x的增大逐渐表现为与________平行随n值改变而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax3.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学学问，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：二、必记1个常用结论“对勾”函数的性质函数f(x)＝x＋ax(a(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增；在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a；当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.三、必练4类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比方．()(3)幂函数增长比直线增长更快．()(二)教材改编2．[必修1·P104例5改编]生产肯定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获得3．[必修1·P103例4改编]某动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年繁殖到________只．(三)易错易混4．(折线图识别不清)某工厂一年中各月份的收入、支出状况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的改变率与4至5月份的收入的改变率相同D．前6个月的平均收入为40万元5．(对函数增长速度相识不清)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)(四)走进高考6．[2024·全国甲卷理]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力状况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满意L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一利用函数的图象刻画实际问题[基础性]1．[2024·青岛质检改编]某城市为了解游客人数的改变规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．依据该折线图，下列结论不正确的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，改变比较平稳2．为满意人民对美妙生活的憧憬，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－fb-fab-a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理实力A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理实力比乙企业强B．在t2时刻，甲企业的污水治理实力比乙企业强C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理实力最强3.[2024·武汉调研]为探讨西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系．请你据此推断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中反思感悟推断实际问题中两变量呈现某种改变趋势的方法(1)构建函数模型法：当依据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：当依据题意不易建立函数模型时，则依据实际问题中两变量的改变特点，结合图象的改变趋势，验证是否吻合，从中解除不符合实际的状况，选择出符合实际状况的答案．考点二应用所给函数模型解决实际问题[综合性][例1][2024·山东卷]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的改变规律，指数增长率r与R0，T近似满意R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍须要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天反思感悟求解已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)依据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.【对点训练】[2024·全国Ⅲ卷]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K1+e-0.23t-53，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标记A．60B．63C．66D．69考点三构建函数模型的实际问题[综合性]角度1构建二次函数模型[例2]某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为30-52RA．[4，8]B．[6，10]C．[4%，8%]D．[6%，10%]角度2构建指数(对数)型函数模型[例3](1)[2024·青岛检测]一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少须要A．6B．5C．4D．3(2)[2024·唐山联考]尽管目前人类还无法精确地预报地震，但科学家通过探讨，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M.①已知地震等级划分为里氏12级，依据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取10＝3.2)角度3分段函数模型[例4]某旅游区为了提倡低碳生活，在景区供应自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁运用，管理这些自行车的费用是每日115元．依据阅历，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必需高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？听课笔记：反思感悟(1)指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的推断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要精确进行指、对数运算，敏捷进行指数与对数的互化．(2)分段函数主要是每一段自变量改变所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的改变规律分别找出来，再将其合到一块，要留意各段自变量的范围，特殊是端点值．构造分段函数时，要力求精确、简洁，做到分段合理不重不漏．【对点训练】1．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元2．[2024·贵阳调研]一片森林原来面积为a，支配每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为爱护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？3．提高过江大桥的车辆通行实力可改善整个城市的交通状况．在一般状况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．探讨表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)微专题eq\o(○,\s\up1(12))实际问题中的数学模型数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学学问与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发觉问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．[例][2024·江苏卷]某地打算在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满意关系式h1＝140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满意关系式h2＝－1800b3＋6b.已知点B到(1)求桥AB的长度；(2)支配在谷底两侧建立平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上，(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF解析：(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1由140O′A2＝160，得O′A＝80，所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米)，所以桥AB(2)以O为原点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，设F(x，y2)，x∈(0，40)，则y2＝－1800x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋1800x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－设D(x－80，y1)，则y1＝140(80－x)2，所以CD＝160－y1＝160－140(80－x)2＝－140x2记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则f(x)＝k(160＋1800x3－6x)+＝k1800x3所以f′(x)＝k3800x2-340令f′(x)＝0，则x＝20，则f(x)，f′(x)随x的改变状况如图所示．x(0，20)20(20，40)f′(x)－0＋f(x)单调递减微小值单调递增所以当x＝20时，f(x)取得最小值．所以当O′E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．名师点评建立函数模型应把握的三个关口(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟识实际背景，为解题打开突破口；(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学学问进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．[变式训练][2024·山东济宁测试]食品平安问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来肯定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，依据以往的种菜阅历，发觉种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满意P＝80＋42a，Q＝14a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x(1)求f(50)的值；(2)如何支配甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？第九节函数模型及其应用积累必备学问一、2．递增递增y轴x轴三、1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)答案：183．解析：依题意知alog33＝100，a＝100.当x＝8时，y＝100log39＝200.答案：2004．解析：由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的改变率与4至5月份的收入的改变率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16答案：D5．解析：∵f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，∴f′(x)＝2x，g′(x)＝2xln2，h′(x)＝1x当x>4时，2xln2>2x>1x∴g′(x)>f′(x)>h′(x)，故三个函数的增长速度为g(x)>f(x)>h(x)．答案：B6．解析：由L＝5＋lgV，当L＝4.9时，lgV＝－0.1，则V＝10－0.1＝10-110＝1答案：C提升关键实力考点一1．解析：由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在削减，则A选项错误，其余全部正确．答案：A2．解析：－fb-fab-a表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－fb-fab-a越大治理实力越强．对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理实力比乙企业强，正确；对于B，要比较t2时刻的污水治理实力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理实力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理实力比乙企业强，正确；对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于D，甲在[答案：D3．解析：由散点图的走势，知模型①不合适．曲线过点4，73，则后三个模型的解析式分别为②y＝13＋log2t；③y＝12t＋13当t＝1时，代入④中，得y＝43将t＝8代入②式，得y＝13＋log28＝10答案：②10考点二例1解析：∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.若It1=e0.38t1，It2=e0.38t答案：B对点训练解析：I(t*)＝K1+e-0.23t*-53＝0.95K，整理可得e0.23(答案：C考点三例2解析：依据题意，要使附加税不少于128万元，需30-52R整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].答案：A例3解析：(1)设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，则有y＝14依题意得14则22x≥100，解得x≥4.所以至少须要的年数是4.(2)①该次地震释放能量约1012焦耳，即E＝1012代入lgE＝4.8＋1.5M，化简得M＝lg1012-4.8因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”．②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2.由题意知，lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8＋1.5×9＝18.3，即E1＝1016.8，E2＝1018.3，所以E2E1＝101.5＝1010，取10故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍．答案：(1)C(2)见解析例4解析：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，∵x为整数，∴3≤x≤6.当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20.故y＝50x-115(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)．明显当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115＝－3x-3432＋8113(6<x≤20，x∈Z)，当x∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．对点训练1．解析：设在A地