数学建模的主要步骤高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第八章数学建模活动（一）8.2数学建模的主要步骤

新课导入在上一节，哥尼斯堡七桥问题的解决显示了数学建模的过程和意义，接下来我们再看一个生活中的问题，以展示数学建模的主要步骤.数学建模本身即是一种生活技能.———加芬克尔（SolomonGarfunkel，1943—）提出问题

在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15s，那么，每次亮绿灯时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？建立模型这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素.而不同型号的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定.面对这些不同和不确定，就需要作出假设.例如，虽然通过路口的车辆各种各样，但大多数是小轿车，因此这次建模就只考虑小轿车的情况，它们的长度差距不大，可以假设车辆长度都相同.建立模型经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设：想一想：你认为可以作出哪些合理的假设呢？（1）通过路口的车辆长度都相等；（2）等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；（3）绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；（4）前一辆车启动后，下一辆车启动的延长时间相等；（5）车辆行驶秩序良好，不发生堵塞.这是建模的重要环节——假设.建立模型

将车辆长度记作，车距记作，经过实际调查，取较为合理.

另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，内可以从静止加速到，加速度记作，计算可得，为了简化，这里取.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶.

资料显示，城市十字路口的限速

延时时间记作，经观察，取较为合理.用表示第辆汽车开始启动的时间，则用表示第辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时间是：为了简化，这里的值取问题中涉及的数据要建模者自己收集.建立模型

用表示时刻第辆汽车所在的位置，停车线位置记作0，则这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足的的最大值，其中求解模型代入各个量的参数的值，可得：求解模型根据建立的数学模型，可以计算出绿灯亮至15s时若干辆汽车的位置，如表8-1.表8-1

由表可见，绿灯亮至15s时，第7辆车已经驶过停车线______m,而第8辆车还距停车线______m，没有通过.因此，15s的绿灯最多可以通过____辆汽车.16.02.17检验结果思考：如何检验利用数学模型求解的结果是否符合实际情况呢？到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否则修改假设，重新建模.思考交流

1.从小学到中学，在数学学习中，做过不少“应用题”，比较上述实际问题的解决，说明用数学建模的方法解决实际问题和做应用题有什么联系和区别？

2.你能总结数学建模的基本步骤吗？思考交流

1.从小学到中学，在数学学习中，做过不少“应用题”，比较上述实际问题的解决，说明用数学建模的方法解决实际问题和做应用题有什么联系和区别？数学应用题和数学建模的目的都是为了培养同学们运用数学解决实际问题的能力，都体现了从实际问题转化为数学问题并解决的过程，从局部步骤上看也有某些相似之处.

二者的联系：思考交流

1.从小学到中学，在数学学习中，做过不少“应用题”，比较上述实际问题的解决，说明用数学建模的方法解决实际问题和做应用题有什么联系和区别？

①问题特征.应用题中的问题比较明确，所涉及的数据和信息大多是经过专家和命题者加工提炼后，以文字或图的形式给出；条件清楚、不多不少，结论唯一确定.数学建模所面对的问题来源则更生活化，更贴近实际；条件和结论更模糊，数据一般要同学们收集、挑选、整理和比较后才能进一步运用.②解决过程.应用题中问题数学化的过程简单、清楚明了，解出的结论也很少需要同学们思考是否合乎实际，是否需要进一步调整和修改已有的模型.数学建模一般不会有现成的可供使用的事项、数据、陈述、关系等条件，需要同学们明确提出问题，对条件进行合理假设、数学化以及验证的过程.归纳小结

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.

主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确立参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.1.提出问题数学建模的一般步骤如下：实际情境中的问题往往是模糊和笼统的，原始的问题往往是一个希望得到优化的期待，或者是某个不良现象的消失.这就需要透过现象，明确地提出问题.2.建立模型在一定的知识积累的基础上，建立预测的数学模型，抓住主要因素，摒弃次要因素，做出适当简化和假设.

3.求解模型这个过程是求解数学问题.值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得精确值，这就要根据需要求近似解.4.检验结果用实际现象或数据检验求得的结果是否符合实际.如果不符实际情况，就要重新建模.在假设的基础上，用数学概念表示实际问题，用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题，就会得到不同的模型.归纳小结数学建模的过程可用框图表示，如右图所示.实际情境提出