高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练20科赫曲线教师版

专题20科赫曲线一、单选题1．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图①，将线段AB等分为AC，CD，DB，如图②，以CD为底向外作等边三角形CMD，并去掉线段CD，在图②的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图③的曲线，设线段AB的长度为1，则图③曲线的长度为（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】依据题意，分别求得，，，进而求得的值，即可求解.【详解】由题意可得，未进行操作时，曲线为，长度为，进行1次操作时，曲线的长度为；进行2次操作时，曲线的长度为，所以曲线的长度构成一个等比数列，公比为，首项为1，故，所以当进行3次操作后形成图③的曲线时，曲线的长度.故选：C.2．2024年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目起先后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中心，特殊壮丽．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年探讨的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形起先，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（

）A．24 B．6 C． D．【答案】A【解析】【分析】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得的坐标，再由数量积的坐标表示计算．【详解】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，，即，，由分形知，所以，所以，所以．故选：A．3．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为，，，如图2以为底向外作等边三角形，并去掉线段.在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成图3的曲线.设线段的长度为1，则图3曲线的长度为（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】依据等比数列的通项公式可得曲线长度组成的数列的前4项，最终可得结果.【详解】据题目供应的条件列出曲线长度组成的数列的前4项，依题意得，，，.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度.故选：C.4．2024年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目起先后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中心，特殊壮丽．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年探讨的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形起先，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中的值为（

）A． B． C．6 D．【答案】C【解析】【分析】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得的坐标，再由数量积的坐标表示计算．【详解】在图③中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，，即，，由分形知，所以，所以，所以．故选：C．5．北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中全部线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（

）（参考数据，）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析可知“次分形”后线段的长度为，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.【详解】图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，，“次分形”后线段的长度为，所以要得到一个长度不小于的分形图，只需满意，则，即，解得，所以至少须要次分形．故选：C.6．瑞典人科赫提出了闻名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图①)起先，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O是六角形的对称中心，A，B是六角形的两个顶点，动点P在六角形上(内部以及边界).若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，，求的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，再依据对称可得最小值.【详解】如图，设，，求的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，探讨如下：当点P在A处时，，，故；当点P在B处时，，，故；当点P在C处时，，故；当点P在D处时，，故；当点P在E处时，，故；当点P在F处时，，故.于是的最大值为5.依据其对称性可知的最小值为，故的取值范围是.故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据题意得出只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可.7．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形态的图案．图形的作法是：从一个正三角形起先，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】视察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.【详解】视察图形发觉，从其次个图形起先，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，所以为首项为，公比为的等比数列，.故选：B.8．分形几何是一门以不规则几何形态为探讨对象的几何学，科赫曲线是比较典型的分形图形，1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种曲线，因此将这种曲线称为科赫曲线.其生成方法是：（I）将正三角形（图（1））的每边三等分，以每边三等分后的中间的那一条线段为一边，向形外作等边三角形，并将这“中间一段”去掉，得到图（2）；（II）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；（Ⅲ）再按上述方法接着做下去……，设图（1）中的等边三角形的边长为1，并且分别将图（1）、图（2）、图（3）、…、图（n）、…中的图形依次记作，，，…，，…，设的周长为，则为A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可知，每个三角形的都是正三角形，且边长变为原来三角形的，从而边长的递推公式为，故可求出的周长为【详解】解：由题意可知，每个三角形的都是正三角形，且边长变为原来三角形的，从而边长的递推公式为，所以，所以故选：C【点睛】此题考查以实际问题为载体，考查数列模型的构建，属于中档题9．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少须要构造的次数是（

）（取，）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】B【解析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的倍，故折线长度构成一个以为公比的等比数列，写出其通项公式，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式，即可得解.【详解】设初始长度为，各次构造后的折线长度构成一个数列，由题知，，则为等比数列，，假设构造次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即，，【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.10．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“次构造”，就可以得到一条科曲线．若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少须要通过构造的次数是（

）．（取）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【解析】【分析】由折线长度变更规律得到n次构造后，曲线的长度为，建立不等式，利用对数运算求解.【详解】设原线段长为a，经过n次构造后，曲线的长度为，则经过1次构造后，曲线的长度为，经过2次构造后，曲线的长度为，经过3次构造后，曲线的长度为，依次类推，经过n次构造后，曲线的长度为，若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，则，所以，所以至少须要通过构造的次数是17.故选：C【点睛】本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的实力，属于中档题.11．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少须要通过构造的次数是（

）.（取，）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】D【解析】由折线长度变更规律可知“次构造”后的折线长度为，由此得到，利用运算法则可知，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为，则“一次构造”后的折线长度为，“二次构造”后的折线长度为，以此类推，“次构造”后的折线长度为，若得到的折线长度为初始线段长度的倍，则，即，，即，至少须要次构造.故选：.【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.12．雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC起先，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再接着上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于定值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依次计算得到第次操作后面积，依据等比数列求和得到，再由时，得到结果即可.【详解】由题意知，初始三角形的面积，第一次操作后，增加了3个边长为的等边三角形，此时面积；其次次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积；；第次操作后，增加了个边长为的等边三角形，此时面积，当时，，.故选：A.13．2024年其次十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵漂亮的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，随意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．始终重复，直到无穷，形成雪花曲线，．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（

）A． B．C．均构成等比数列 D．【答案】B【解析】【分析】依据已知写出、、的通项公式且时，应用累加法求通项，进而推断各选项的正误.【详解】据题意知：，∴，A错误；，当时，，D错误；∴，由也满意上式，则，所以不构成等比数列，C错误；由上，，则，B正确.故选：B．二、多选题14．年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线.如图，取一个边长为的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第个图形，重复上面的步骤，得到第个图形.这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线.云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来探讨，这门学科叫“分形几何学”.下列说法正确的是（

）A．第个图形的边长为B．记第个图形的边数为，则C．记第个图形的周长为，则D．记第个图形的面积为，则对随意的，存在正实数，使得【答案】BCD【解析】【分析】由各个图形的边长构成等比数列，可判定A错误；由各个图形的边数也成等比数列且，可判定B正确；由第个图形的周长为，得到周长为，可判定C正确；结合极限的思想，可得判定D正确.【详解】由题意，各个图形的边长成首项为，且的等比数列，可得可设边长为，则，所以A错误；由各个图形的边数也成等比数列且，所以，所以B正确；由第个图形的周长为，可得周长为，所以C正确；当时，图形无限接近于圆，可得，所以D正确.故选:BCD.三、填空题15．分形几何号称“大自然的几何”，是探讨和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，其应用已涉及自然科学、社会科学、美学等众多领域.图1展示了“科赫雪花”的分形过程.现在向图2的“科赫雪花”中随机撒1000粒豆子（豆子的大小忽视不计），有340粒豆子落在内部的黑色正六边形中，已知正六边形的面积约为，依据你所学的概率统计学问，估计图2中“科赫雪花”的面积为______.【答案】5【解析】【分析】依据几何概型的意义，计算即可得出结果.【详解】正六边形的面积约为，设“科赫雪花”的面积为向图2的“科赫雪花”中随机撒1000粒豆子,有340粒豆子落在内部的黑色正六边形中，由几何概型的概率公式进行估计得：,解得：.故答案为：5【点睛】本题考查模拟方法估计概率，考查几何概型的概率计算，属于基础题.16．2024年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目起先后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中心，特殊壮丽.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年探讨的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形起先，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图形中的三角形的边长为2，则第4个图形的周长为______．【答案】【解析】【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再依据等比数列通项公式可得解.【详解】记第个图形为，三角形边长为，边数，周长为，则有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长；分析可知，即；，即，当第1个图形中的三角形的边长为2，时，即，，所以，则第4个图形的周长为.故答案为：.四、解答题17．分形几何号称“大自然的几何”，是探讨和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，其应用已涉及自然科学､社会科学､美学等众多领域.图1展示了“科赫雪花曲线”的分形过程.其生成方法是：（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；（ii）将图②的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；（ⅲ）再按上述方法接着做下去，就得到了“科赫雪花曲线”.设图①的等边三角形的边长为1，并且分别将图①､②､③…中的图形依次记作､､､…､…请解决如下问题：（1）设中的边数为，中每条边的长度为，写出数列和的递推公式与通项公式；（2）设的周长为，求数列的通项公式.【答案】（1）且，且，，；（2）.【解析】【分析】（1）结合图形特征和等比数列公式推导即可；（2）由周长等于边长乘以边数推导即可求解.【详解】（1）由题意，可得数列的递推关系为且，所以数列构成首项为，公比为4的等比数列，所以;又由每个图形的边长都相等，且长度变为原来的，所以边长满意递推关系式且，即数列构成首项为1，公比为的等比数列，所以;（2）由周长等于边长乘以边数可得，所以数列构成首项为3，公比为的等比数列，18．2024北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形态的图案．图形的作法是从一个正三角形起先，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，若，求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先求出第个图形的边数为，，第个图形的边长为，从而求出数列的通项公式；（2）求出，列出不等式，化简得到，求出的最小值.(1)由图形的作法可知：①后一个图形的边数是前一个图形的边数的倍，所以，从一个正三角形起先，“雪花”图案的作法所得图形的边数是以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边数为；②后一个图形的边长是前一个图形的边长的倍，所以，从一个正三角形起先，“雪花”图案的作法所得图形的边长是以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边长为；所以，．(2)由（1）得：，所以，化简得：，因为，，又因为函数在上为增函数，所以，即，所以的最小值为．19．2024北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形态的图案．图形的作法是从一个正三角形起先，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．(1)干脆写出，的值；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）由图形干脆可得.（2）先求出第个图形的边数为，第个图形的边长为，从而求出数列的通项公式.(1)，.(2)由图形的作法可知：从边数看，后一个图形的边数是前一个图形的边数的倍，所以，从一个正三角形起先，“雪花”图案的作法所得图形的边数是以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边数为，从边长看，后一个图形的边长是前一个图形的边长的倍，所以，从一个正三角形起先，“雪花”图案的作法所得图形的边长是以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边长为，所以，.五、双空题20．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线．如图①，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形(如图②)，重复上面的步骤，得到第3个图形(如图③)．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来探讨，这门学科叫“分形几何学”．则第5个图形的边长为__________；第n个图形的周长为__________．【答案】

【解析】【分析】依据题中给出的图形，先分析边长之间的变换规律，再分析边数的变更规律，最终分析周长的变更规律即可.【详解】第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的,以次类推，，则第5个图形的边长为;以—条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去一份，在擦掉的那条边上又衍生出2条，即原本的1条边变成现在的（3-1)+2=4条，翻了4倍，所以周长之间的关系为，所以是公比为的等比数列，而首项，所以.故答案为：；21．雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年探讨的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形起先，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．①

②

③

④若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．【答案】

【解析】【分析】依据题中图形的规律，分别从边长与边数上找规律，从而得到通过公式即可求解.【详解】第一个三角形面积，其次个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，故．记第n个图形为，三角形边长为，边数，周长，有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长，即，，周长．故答案为：；22．如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形态的图案.图案的作法是：从一个正三角形起先，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，这样的过程称为一次操作.反复进行这种操作过程，就得到一条“雪花”状的曲线，并记次操作后的曲线为，周长为.设原正三角形的边长为1，即对应图1，则进行二次操作后，曲线（对应图3）的顶点数为___________；若进行次操作后，则___________.【答案】

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【解析】【分析】视察所给的图形，得到图2的顶点数和图1的顶点数和边数的关系，以及图3的顶点数与图2的顶点数和边数的关系，推断图2的顶点数，再由图形之间边长的关系，得到数列是首项为3，公差为的等比数列，再依据等比数列求和.【详解】有3个顶点，3条边，的顶点数是个，有条边，的顶点数是个，由图形视察可知，，，……，所以数列是首项为3，公差为的等比数列，.故答案为：；23．如图（1），画一个边长为1的正三角形，并把每一边三等分，在每个边上以中间一段为一边，向外侧凸出作正三角形，再把原来边上中间一段擦掉，得到第（2）个图形，重复上面的步骤，得到第（3）个图形，这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘、山脉的轮廓、海岸线等