第09讲 直线的方程（十大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第09讲直线的方程【题型归纳目录】题型一：点斜式直线方程题型二：斜截式直线方程题型三：两点式直线方程题型四：截距式直线方程题型五：中点坐标公式题型六：直线的一般式方程题型七：直线方程的综合应用题型八：判断动直线所过定点题型九：直线与坐标轴形成三角形问题题型十：直线方程的实际应用【知识点梳理】知识点一：直线的点斜式方程方程SKIPIF1<0由直线上一定点及其斜率决定，我们把SKIPIF1<0叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．知识点诠释：1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2、当直线的倾斜角为SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0；3、当直线倾斜角为SKIPIF1<0时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：SKIPIF1<0．4、SKIPIF1<0表示直线去掉一个点SKIPIF1<0；SKIPIF1<0表示一条直线．知识点二：直线的斜截式方程如果直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，根据直线的点斜式方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．我们把直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点SKIPIF1<0的纵坐标SKIPIF1<0叫做直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距，方程SKIPIF1<0由直线的斜率SKIPIF1<0与它在SKIPIF1<0轴上的截距SKIPIF1<0确定，所以方程SKIPIF1<0叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．知识点诠释：1、b为直线SKIPIF1<0在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2、斜截式方程可由过点SKIPIF1<0的点斜式方程得到；3、当SKIPIF1<0时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是直线的斜率，SKIPIF1<0是直线在SKIPIF1<0轴上的截距．知识点三：直线的两点式方程经过两点SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)的直线方程为SKIPIF1<0，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．知识点诠释：1、这个方程由直线上两点确定；2、当直线没有斜率(SKIPIF1<0)或斜率为SKIPIF1<0时，不能用两点式求出它的方程．3、直线方程的表示与SKIPIF1<0选择的顺序无关．4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式SKIPIF1<0通过交叉相乘转化为整式形式SKIPIF1<0，从而得到的方程中，包含了SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．知识点四：直线的截距式方程若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，与y轴的交点为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则过AB两点的直线方程为SKIPIF1<0，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．知识点诠释：1、截距式的条件是SKIPIF1<0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距．知识点五：直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．知识点六：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为SKIPIF1<0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．知识点诠释：1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．当SKIPIF1<0时，方程可变形为SKIPIF1<0，它表示过点SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，方程可变形为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，它表示一条与SKIPIF1<0轴垂直的直线．由上可知，关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程，它都表示一条直线．2、在平面直角坐标系中，一个关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的一次方程．知识点七：直线方程的不同形式间的关系名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直线上一定点，SKIPIF1<0是斜率不垂直于SKIPIF1<0轴斜截式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是斜率，SKIPIF1<0是直线在y轴上的截距不垂直于SKIPIF1<0轴两点式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线上两定点不垂直于SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴截距式SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直线在x轴上的非零截距，SKIPIF1<0是直线在y轴上的非零截距不垂直于SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，且不过原点一般式SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为系数任何位置的直线直线方程的五种形式的比较如下表：知识点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多SKIPIF1<0，应用时若采用SKIPIF1<0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．知识点八：直线方程的综合应用1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．(1)从斜截式考虑已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0于是与直线SKIPIF1<0平行的直线可以设为SKIPIF1<0；垂直的直线可以设为SKIPIF1<0．(2)从一般式考虑：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，记忆式(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是与直线SKIPIF1<0平行的直线可以设为SKIPIF1<0；垂直的直线可以设为SKIPIF1<0．【典例例题】题型一：点斜式直线方程例1．已知直线的方程是SKIPIF1<0，则()A．直线经过点SKIPIF1<0，斜率为-1 B．直线经过点SKIPIF1<0，斜率为-1C．直线经过点SKIPIF1<0，斜率为-1 D．直线经过点SKIPIF1<0，斜率为1例2．过两点SKIPIF1<0的直线方程为()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例3．过点SKIPIF1<0且倾斜角为150°的直线l的方程为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例4．过点SKIPIF1<0且与直线SKIPIF1<0垂直的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例5．过点SKIPIF1<0，倾斜角为SKIPIF1<0的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：斜截式直线方程例6．写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴上的截距是SKIPIF1<0；(2)倾斜角为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴上的截距是SKIPIF1<0；(3)倾斜角为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴上的截距是SKIPIF1<0．例7．根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．例8．写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率是SKIPIF1<0，在y轴上的截距是SKIPIF1<0；(2)斜率是SKIPIF1<0，在y轴上的截距是4．题型三：两点式直线方程例9．已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程：(1)A(3,1),B(2,－3)；(2)A(2,1),B(0,－3)；(3)A(0,5),B(4,0).例10．在SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0边上中线所在直线的两点式方程．例11．求经过下列两点的直线的两点式方程.(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；

(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．题型四：截距式直线方程例12．已知△ABC中，A(1，﹣4)，B(6，6)，C(﹣2，0).求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.例13．根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形.(1)在x轴、y轴上的截距分别是2，3；(2)在x轴、y轴上的截距分别是SKIPIF1<0，6．题型五：中点坐标公式例14．直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴､SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0恰为线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0的方程为__________.例15．直线SKIPIF1<0被直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．例16．已知点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度为___________.例17．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段PQ的中点为SKIPIF1<0，则直线PQ的方程为______.题型六：直线的一般式方程例18．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则经过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的一般方程为_________例19．倾斜角为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的方程为__________.例20．直线l过点SKIPIF1<0，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______．例21．过点SKIPIF1<0的直线方程(一般式)为_____．例22．已知SKIPIF1<0的三个顶点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则BC边上的中线AE所在直线的一般方程为______．例23．写出过点SKIPIF1<0，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程__________.题型七：直线方程的综合应用例24．当直线方程SKIPIF1<0的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？(1)过坐标原点；(2)与两条坐标轴都相交；(3)只与x轴相交；(4)是x轴所在直线；(5)设SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上一点，证明：这条直线的方程可以写成SKIPIF1<0．例25．已知SKIPIF1<0的三个顶点分别是A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)．(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求AB边的垂直平分线所在直线的方程．例26．已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求：(1)SKIPIF1<0边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.(2)SKIPIF1<0中平行于SKIPIF1<0边的中位线所在直线的一般式方程.例27．在SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求BC边上中线的方程．(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．例28．已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求过点SKIPIF1<0，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程；(2)求角SKIPIF1<0的角平分线所在直线的一般式方程.例29．在SKIPIF1<0中，已知顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求AB边上中线的方程：(2)求过点B，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程．题型八：判断动直线所过定点例30．已知实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0过定点_____.例31．已知直线SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，直线SKIPIF1<0总是经过定点，则定点坐标为______.例32．无论SKIPIF1<0取何值，直线SKIPIF1<0恒过定点__________．例33．直线SKIPIF1<0恒过定点________.例34．无论SKIPIF1<0为何值，直线SKIPIF1<0必过定点坐标为______题型九：直线与坐标轴形成三角形问题例35．已知直线l过点SKIPIF1<0，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)SKIPIF1<0时，求直线l的方程．(2)当SKIPIF1<0的面积最小时，求直线l的方程．例36．)设直线l的方程为SKIPIF1<0(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，SKIPIF1<0的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.例37．设SKIPIF1<0为实数，若直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，根据下列条件分别确定SKIPIF1<0的值：(1)直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0；(2)直线SKIPIF1<0与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为SKIPIF1<0.例38．已知直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0．(1)求证：不论SKIPIF1<0为何值，直线必过定点SKIPIF1<0；(2)过点SKIPIF1<0引直线SKIPIF1<0，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求SKIPIF1<0的方程．例39．已知直线SKIPIF1<0.(1)若直线SKIPIF1<0不能过第三象限，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴负半轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴正半轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值及此时直线SKIPIF1<0的方程．例40．已知直线l经过点P(4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.例41．已知直线l过定点SKIPIF1<0，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．(1)若SKIPIF1<0的面积为4，求直线l的方程；(2)求SKIPIF1<0的最小值，并求此时直线l的方程；(3)求SKIPIF1<0的最小值，并求此时直线l的方程．题型十：直线方程的实际应用例42．如图所示，某县相邻两镇在同一平面直角坐标系下的坐标为SKIPIF1<0，一条河所在的直线方程为SKIPIF1<0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最短，问供水站P应建在什么地方?

【过关测试】一、单选题1．已知直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直且都过点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0过原点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与y轴交点的坐标为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．经过点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0垂直的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．过点SKIPIF1<0且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<04．过点SKIPIF1<0，且与原点距离最远的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．经过点SKIPIF1<0，且倾斜角为SKIPIF1<0的直线的一般式方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．经过点SKIPIF1<0，且平行于直线SKIPIF1<0的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上的两点，点P的横坐标为2，且SKIPIF1<0，若直线PA的方程为SKIPIF1<0，则直线PB的方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知直线SKIPIF1<0过定点P，若点P在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为(

)A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．下列说法中正确的是(

)A．若直线斜率为SKIPIF1<0，则它的倾斜角为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0C．若直线过点SKIPIF1<0，且它的倾斜角为SKIPIF1<0，则这条直线必过点SKIPIF1<0D．若直线的斜率为SKIPIF1<0，则这条直线必过SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点10．过点SKIPIF1<0且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A．y=-x+5 B．y=x+5C．y=SKIPIF1<0 D．y=-SKIPIF1<011．若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与坐标轴围成的三角形面积为2，则SKIPIF1<0的方程可能是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是(

)A．边BC与直线SKIPIF1<0平行B．边BC上的高所在的直线的方程为SKIPIF1<0C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为SKIPIF1<0D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)三、填空题13．经过点SKIPIF1<0，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为______．14．已知直线SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，直线SKIPIF1<0总是经过定点，则定点坐标为______.15．已知点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为d，则d的最大值是______．16．设SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0和过定点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是____.四、解答题17．已知直线SKIPIF1<0，求：(1)过点SKIPIF1<0且与直线l平行的直线的方程；(2)过点SKIPIF