第4章 第7课时　正弦定理、余弦定理-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第7课时正弦定理、余弦定理[考试要求]1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinBa2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)a+b+ccosA＝b2cosB＝c2cosC＝a2．三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bc_sin(3)S＝12r(a＋b＋c)(r(4)S＝pp−a[常用结论]1．三角形中的边角关系在△ABC中，大边对大角，大角对大边，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA+B2＝cosC2；(4)cos3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4．数量积的余弦定理式在△ABC中，AB·AC＝5．角平分线定理ABAC＝BDDC(在△ABC中，AD是∠6．在△ABC中，sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π27．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差(等比)数列，则0＜B≤π3一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，一定有a＋b＋c＝sinA＋sinB＋sinC． ()(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则必有A＝B． ()(3)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形． ()[答案](1)×(2)×(3)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P47例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则A．2B．1C．3D．2D[由asinA＝bsinB得b＝asinBsinA2．(人教A版必修第二册P44练习T1(2)改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于()A．23 B．12C．27 D．28A[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝4＋16－8＝12，所以b＝23.]3．(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝2，则C＝________．30°[由正弦定理得sinC＝csinBb＝2sin45°2＝12，因为4．(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝________，△ABC的面积为________．341574[依题意得cosA所以sinA＝1−cos2A所以△ABC的面积为12bcsinA＝15考点一解三角形[典例1](2023·北京房山区二模)在△ABC中，cos2B＝－12，c＝8，b＝(1)求sinC；(2)若角C为钝角，求△ABC的周长．[解](1)因为cos2B＝2cos2B－1＝－12所以cos2B＝14，可得sinB＝1−cos2又c＝8，b＝7，所以由正弦定理，得sinC＝csinBb＝8×(2)因为角C为钝角，所以cosC＝－1−sin2C由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，可得82＝a2＋72－2×a×7×−17，整理可得a2＋2a－15＝0，解得所以△ABC的周长a＋b＋c＝18.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，要考虑两个定理都有可能用到．[跟进训练]1．(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin2A＝asinB，且c＝2b，则abA．2 B．3C．2 D．3(2)(2024·重庆模拟)在△ABC中，若2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，则A＝()A．π6 B．πC．2π3 D．(1)D(2)B[(1)由正弦定理及bsin2A＝asinB，得2sinB·sinAcosA＝sinAsinB，又sinA≠0，sinB≠0，则cosA＝12.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×12＝3b2，得ab(2)因为2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)]＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)，则2－2sin2A＋cosBcosC－sinBsinC＝2－2sin2B－2sin2C＋cosBcosC＋sinBsinC，整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC.所以b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理的推论得cosA＝b2+c2−因为A∈(0，π)，故A＝π3故选B.]【教师备选资源】1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝2，c＝2，则()A．C＝45° B．A＝15°C．a＝3－1 D．△ABC为钝角三角形D[由正弦定理bsinB＝csinC，得所以sinC＝22，因为0°＜C＜180°，所以C＝45°或C＝135°，故ABC均错误，当C＝45°时，A＝180°－45°－30°＝105°，△ABC当C＝135°时，△ABC为钝角三角形，故D正确．故选D.]2．(2024·山东济南期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C－cos2B＋sin2A＝sinAsinB＝12，且△ABC的面积为3，则边c6[∵cos2C－cos2B＋sin2A＝sinAsinB，∴1－sin2C－(1－sin2B)＋sin2A＝sinAsinB，即sin2B＋sin2A－sin2C＝sinAsinB，由正弦定理角化边得b2＋a2－c2＝ab，∴cosC＝a2+b2−c22ab＝由正弦定理asinA＝bsin∴absinAsinB＝c2化简得c2＝32ab又△ABC的面积S△ABC＝12absinC＝3∴ab＝4，∴c2＝6，解得c＝6.]3．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinB·sin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝2531，求△ABC[解](1)证明：因为sinCsin(A－B)＝sinB·sin(C－A)，所以sinCsinAcosB－sinCsinBcosA＝sinB·sinCcosA－sinBsinAcosC，所以ac·a2+c2＝－ab·a2即a2+c2−b22－(b2＋所以2a2＝b2＋c2.(2)因为a＝5，cosA＝2531由(1)得b2＋c2＝50，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得50－5031bc所以bc＝312故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，所以b＋c＝9，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14.考点二判断三角形的形状[典例2]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定A[法一(化角为边)：因为bcosC＋ccosB＝b·a2+b2−c22ab＋c·a2+c2−b22ac＝2a2法二(化边为角)：因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，故sinA＝1，即A＝π2，因此△ABC法三(射影定理)：bcosC＋ccosB＝a＝asinA，所以sinA＝1，故A＝π2，因此△ABC[拓展变式]若本例条件变为ab＝cosBcosA[解]由ab＝cos得sinAsinB所以sinAcosA＝cosBsinB，所以sin2A＝sin2B.因为A，B为△ABC的内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝π2所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．判定三角形形状的两种常用途径[跟进训练]2．在△ABC中，c−a2c＝sin2B2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABCA．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形A[因为sin2B2＝1−所以c−a2c＝1−cosB2，即cos法一：由余弦定理得a2+c即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．法二：由正弦定理得cosB＝sinA又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为三角形的内角，所以C＝π2所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．]考点三三角形面积的计算[典例3](2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．[解](1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×12＝7，得BC＝7法一：由正弦定理ACsin∠ABC＝得sin∠ABC＝1×327法二：由余弦定理的推论得cos∠ABC＝AB2+BC所以sin∠ABC＝1−cos2∠ABC(2)法一：由sin∠ABC＝2114，得tan∠ABC＝3又tan∠ABC＝DAAB＝DA2，所以DA＝故△ADC的面积为12DA·AC·sin(120°－90°)＝12×235×法二：△ABC的面积为12AC·AB·sin∠BAC＝12×1×2×32S△ADCS△BAD＝12AC故△ADC的面积为15S△ABC＝15×三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bc(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[跟进训练]3．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，BC＝2.(1)若CD＝2，求sin∠ADC；(2)若∠C＝π4，求四边形ABCD[解](1)连接BD，在Rt△ABD中，BD＝AB2+AD2＝2，且tan∠ADB＝ABAD＝33，∠ADB在△BCD中，由余弦定理的推论得cos∠BDC＝BD2+CD所以sin∠BDC＝1−342所以sin∠ADC＝sin∠BDC＝sin∠BDCcosπ6＋cos∠BDCsin＝74×3(2)在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cosπ4，即CD2－2CD－2＝0，解得CD＝1＋3或CD＝1－3所以四边形ABCD的面积为S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·AD＋12BC·CD·sinπ4【教师备选资源】1．(2023·福建厦门一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3AB·AC＋4BA·(1)求bc(2)已知B＝3C，c＝1，求△ABC的面积．[解](1)由已知得3bccosA＋4accosB＝abcosC，由余弦定理，得3(b2＋c2－a2)＋4(a2＋c2－b2)＝a2＋b2－c2，化简得4c2＝b2，所以bc＝(2)由正弦定理知bc＝sinBsinC，即sin又B＝3C，故sinB＝sin3C＝sin(2C＋C)＝sin2C·cosC＋cos2C·sinC＝2sinC(1－sin2C)＋(1－2sin2C)sinC＝3sinC－4sin3C＝2sinC，即3－4sin2C＝2，得sinC＝12，故C＝π6(C＝5π6舍)，此时，B＝3C＝π2，b＝2c＝2AB＝2，BC＝3，则S△ABC＝12×2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC.(1)求A；(2)若a＝4，△ABC的面积为43，求b＋c.[解](1)因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，所以b2＋c2－a2＝bc，则cosA＝b2+c2−因为0＜A＜π，所以A＝π3(2)因为△ABC的面积为43，所以12bcsinA＝34bc＝43，即bc因为b2＋c2－a2＝bc，a＝4，所以b2＋c2＝32，所以b＋c＝b2+c2课时分层作业(二十九)正弦定理、余弦定理一、单项选择题1．在下列关于△ABC的四个条件中选择一个，能够使角A被唯一确定的是()①sinA＝12；②cosA＝－1③cosB＝－14，b＝3a；④C＝π4，b＝2，c＝A．①② B．②③C．②④ D．②③④B[对于①：sinA＝12，因为A∈(0，π)，所以A＝π6或5π对于②：cosA＝－13，因为y＝cosx在(0，π)上单调，所以角A被唯一确定，故②对于③：cosB＝－14，b＝3a，因为cosB＝－14＜0，B∈(0，π)，所以B∈π2，π，所以所以sinB＝1−cos2B又b＝3a，由正弦定理得sinB＝3sinA，所以sinA＝sinB3＝所以角A被唯一确定，故③正确；对于④：C＝π4，b＝2，c＝3因为bsinC＝2×sinπ4＝2所以bsinC＜c＜b，如图，△ABC不唯一，故④错误.故选B.]2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．5π6 B．C．π3 D．D[∵sinC＝23sinB，∴c＝23b，结合a2－b2＝3bc得a＝7b.由余弦定理的推论可得cosA＝b2+c2−又∵A∈(0，π)，∴A＝π63．(2023·北京高考)在△ABC中，(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，则∠C＝()A．π6 B．πC．2π3 B[由(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2+b2−又C∈(0，π)，∴C＝π34．(2024·山东济南模拟)在△ABC中，若AB·BC＝－2，且B＝60°，则△A．23 B．3C．32 D．B[因为AB·BC＝－2且所以a·c·cos(180°－60°)＝accos120°＝－2，所以ac＝4，所以S△ABC＝12acsinB＝12×4×325．(2024·湖北武汉模拟)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且bcosC＋acosB＝a，则△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰或直角三角形D[由bcosC＋acosB＝a及正弦定理，得sinBcosC＋sinAcosB＝sinA，所以sinBcosC＋sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，即cosB(sinA－sinC)＝0，当cosB＝0时，因为0＜B＜π，所以B＝π2当cosB≠0时，所以sinA－sinC＝0，即sinA＝sinC，因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以A＝C，所以△ABC为等腰或直角三角形．故选D.]6．已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为()A．(2，3) B．(1，C．(2，2) D．(0，2)A[∵B＝2A，∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA.∵a＝1，∴b＝2acosA＝2cosA.又△ABC为锐角三角形，∴0＜2A＜π2，0＜A＜π2，0即2＜b＝2cosA＜3.故选A.]二、多项选择题7．(2023·辽宁六校联考)△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＝(3b－c)sinB，且cosA＝13A．a＋c＝3bB．tanA＝22C．△ABC的周长为4cD．△ABC的面积为229ABD[由正弦定理及题意得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，A正确；由cosA＝13可得sinA＝1−13则tanA＝sinAcosA由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc×13整理得3b＝2c，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝83c由上知：a＝3b－c，3b＝2c，可得a＝c，b＝23a，则S△ABC＝12bcsinA＝12·23a·a·8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝23，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是()A．cosC＝33 B．sinB＝C．a＝3 D．S△ABC＝2AD[因为A＋3C＝π，故B＝2C，根据正弦定理bsinB＝csinC，得23sinC＝3×2sin由于sinC≠0，故cosC＝33，sinC＝63，所以sinB＝sin2C＝2sinCcosC＝223.又由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，化简得到a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1．若a＝3，则A＝C＝π4，故B＝π2，不合题意，因此a＝1.故S△ABC＝12absinC＝12三、填空题9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b4[在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accosB及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×−14，整理得15b－60＝0，所以b＝410．(2022·浙江高考)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了由三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝14c2a2−c2+a2−b222，其中a，b，c234[法一：S＝142×4−4+法二：cosA＝3+4−223×2＝543＝5312，sinA＝6912，四、解答题11．(2024·山东省淄博实验中学模拟)在△ABC中，bsinA－acosB2＝(1)求角B；(2)若b＝3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a及△ABC的面积．条件①：sinA＋sinC＝2sinB；条件②：c＝3；条件③：ac＝10.[解](1)由正弦定理得bsinA＝asinB，得asinB－acosB22asinB2cosB2－acos因为0＜B2＜π2，所以acosB则sinB2＝1所以B2＝π6，所以B＝(2)选条件①：sinA＋sinC＝2sinB.因为b＝3，B＝π3，sinA＋sinC＝2sinB由正弦定理得a＋c＝2b＝6，由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，解得ac＝9，则ac=9所以△ABC存在且唯一确定，则S△ABC＝12acsinB＝9选条件②：c＝3.已知B＝π3，b＝3，c＝3由正弦定理得sinC＝cbsinB＝1因为c＜b，所以C＝π6，A＝π2，a＝b2所以△ABC存在且唯一确定，则S△ABC＝12bc＝3选条件③：ac＝10.由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，即a＋c＝39，所以a(39－a)＝10，即a2－39a＋10＝0，因为(39)2－4×10＝－1＜0，所以不存在a使得△ABC存在．1