人教A版普通高中数学一轮复习54课时练习含答案

课时质量评价(五十四)1．已知点P(－2，－1)为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M为C上第二象限内一点，点M关于直线x＝－2的对称点为N，直线PN与C交于另一点Q，O为坐标原点，求证：MQ∥OP.(1)解：由点P(－2，－1)在椭圆C上，得−22a2＋−1由椭圆C的离心率为32，得c2a2＝a2由①②，解得a2＝8，b2＝2，所以椭圆C的标准方程为x28＋(2)证明：因为点M，N关于直线x＝－2对称，所以直线PM与PN关于直线x＝－2对称，则kPM＋kPN＝0，易知直线PM的斜率存在且不为0.设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为－k，又P(－2，－1)，所以直线PM的方程为y＋1＝k(x＋2)，即y＝k(x＋2)－1，与椭圆方程联立，得x28+y22=1，y=kx+2−1，消去y，并整理得(4k2＋1)x2＋(16Δ＝(16k2－8k)2－4(4k2＋1)(16k2－16k－4)＝64k2＋64k＋16＝16(2k＋1)2＞0，即k≠－12设M(x1，y1)，则－2x1＝16k2−16k−44k2设Q(x2，y2)，同理可得x2＝−8k所以直线MQ的斜率kMQ＝y＝k＝kx1+x2+4kx又直线OP的斜率为−1−0−2−0＝12，且直线OP与所以MQ∥OP.2．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(2，1)是抛物线内一点，P为抛物线上的动点，且|AP|＋|PF|的最小值为3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点(1，1)作斜率之和为0的两条直线l1，l2，(l1的斜率为正数)，其中l1与曲线E交于M，C两点，l2与曲线E交于B，N两点，若四边形MBCN的面积等于163，求直线l1的方程．解：(1)过点P作抛物线E的准线的垂线，垂足为D(图略)，则|PF|＝|PD|，于是|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PD|.当A，P，D三点共线时，|AP|＋|PD|有最小值2＋p2＝3，解得p所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)依题意可知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，并互为相反数．由(1)知F(1，0)，设直线l1的方程为x＝m(y－1)＋1(m＞0)，M(x1，y1)，C(x2，y2)，将l1的方程代入抛物线方程并化简，得y2－4my＋4m－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4.|MC|＝1+m216同理得|BN|＝41+m设直线l1的倾斜角为θ，则tanθ＝1m则直线l1，l2的夹角α＝2θ或π－2θ，所以sinα＝sin2θ＝2sinθcos因此四边形MBCN的面积S＝12|MC||BN|·sin2θ＝16mm2+1令t＝m2，得t(t＋1)2－t2＝3，从而有t3＋t2＋t＝3，解得t＝1，即m2＝1，此时m＝1，故直线l1的方程为y＝x.3．已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)上的点12(1)求抛物线C1的标准方程．(2)过抛物线C1上一点P作圆C2：(x－3)2＋y2＝4的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C1交于异于点P的M，N两点．证明：直线MN与圆C2相切．(1)解：因为点12，y0到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，所以点12，y0到坐标原点的距离等于该点到焦点所以抛物线C1的标准方程为y2＝4x.(2)证明：因为圆C2：(x－3)2＋y2＝4，所以圆C2的圆心坐标为(3，0)，半径r＝2，设Py124，y1，My224，y2，所以直线PM的方程为y－y2＝y2即4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0.因为直线PM与圆C2相切，所以12+y1y直线PN与圆C2相切，同理可得y1所以y2，y3是关于y的方程y1所以y2＋y3＝16y14−y12，y又因为直线MN的方程为4x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，所以圆C2的圆心(3，0)到直线MN的距离d＝12+y2y3y2+所以直线MN与圆C2相切．4．(2024·西安模拟)已知抛物线C：y＝14x2的焦点为F1，准线与坐标轴的交点为F2，F1，F2是离心率为12的椭圆(1)求椭圆S的标准方程．(2)设过原点O的两条直线l1和l2，l1⊥l2，l1与椭圆S交于A，B两点，l2与椭圆S交于M，N两点．求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值．(1)解：将抛物线C：y＝14x2的方程化为标准方程，即C：x2＝4y，得F1设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则由题意得c＝1，ca＝12，得a＝2，所以b＝a2−c又椭圆S的焦点在y轴上，所以椭圆S的标准方程为y24＋(2)证明：由题意知A，O，B三点共线，M，O，N三点共线，且AB⊥MN.又由椭圆的对称性，知|OA|＝|OB|，|OM|＝|ON|，所以四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM，BN为一组对边．所以原点O到直线AM和到直线BN的距离相等．下面求原点O到直线AM的距离．根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限．当直线AM的斜率为0或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为y＝x和y＝－x，且AM∥x轴或AM∥y轴．设A(m，m)，则M(－m，m)或M(m，－m)．于是有m24＋m23＝1，得m原点O到直线AM的距离为d＝|m|＝127＝2当直线AM的斜率存在且不等于0时，设直线AM：y＝kx＋h.由y=kx+ℎ，y24+x23=1，消去y，整理得(3k且Δ＝(6kh)2－4×(3k2＋4)×(3h2－12)＝144k2－48h2＋192.设A(x1，y1)，M(x2，y2)，则x1＋x2＝－6kℎ3k2+4，x1x所以y1y2＝(kx1＋h)(kx2＋h)＝k2x1x2＋kh(x1＋x2)＋h2＝k2×3ℎ2−123