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文档简介
课时质量评价(三十七)1.在空间直角坐标系中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一个法向量为m=(-1,0,1),则平面α与平面ABC夹角的正弦值为()A.336 B.C.34 D.A解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=x−y=0,n·BC=−2x+z=0.取x=1,则y=1,z=2,所以n=(1,1,2)是平面ABC的一个法向量.设平面α与平面ABC的夹角为θ,则cosθ=|cos〈m,n〉|=m·nmn=12×62.(数学与文化)在我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=2,BC=22,若直线CA1与直线AB所成角为60°,则AA1=()A.3 B.2C.22 D.23B解析:如图,以B为原点,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,22,0).设A1(2,0,z)(z>0),则BA=(2,0,0),CA1=(2,-22,z),所以|cos〈BA,CA1〉|=42×12+z2=123.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和DD1的中点,则平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为()A.33 B.C.13 D.B解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则A(0,0,0),E(2,0,1),F(0,2,1),C(2,2,0),所以CE=(0,-2,1),CF=(-2,0,1).设平面ECF的法向量为n=(x,y,z),则CE·n取x=1,则y=1,z=2,所以n=(1,1,2)是平面ECF的一个法向量.易知m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ,所以cosθ=|cos〈m,n〉|=m·nmn=所以平面ECF与平面ABCD夹角的余弦值为634.(多选题)如图,三棱锥D-ABC的各棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是()A.OA,OB,OC的长度相等B.直线OD与BC所成的角是45°C.直线AD与OB所成的角是45°D.直线OB与平面ACD所成的角的余弦值为3AC解析:因为三棱锥D-ABC的各棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,所以OA=OB=OC=2,故A正确.如图,建立空间直角坐标系,可得O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),D(2,2,2),所以OB=(0,2,0),AC=(-2,0,2),AD=(0,2,2),OD=(因为OD·BC=0,所以OD⊥BC,即直线OD与BC所成的角是90cos〈AD,OB〉=AD·OBADOB=22设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则n·AC取x=1,则y=-1,z=1,所以n=(1,-1,1)为平面ACD的一个法向量.设直线OB与平面ACD所成的角为θ,则sinθ=|cos〈OB,n〉|=OB·nOBn=22×35.如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体,C,D,E三点共线.已知三棱锥P-ADE四个面都为直角三角形,且ED⊥AD,PA⊥平面ABCE,AB∥CD,PE=3,CD=AD=2,ED=1,则直线PC与平面PAE所成角的正弦值为()A.34 B.C.155 D.C解析:以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,2),C(2,2,0),A(0,0,0),E(2,-1,0),则有PC=(2,2,-2),AE=(2,-1,0),AP=(0,0,2).设平面PAE的法向量n=(x,y,z),则n·AE令x=1,则y=2,z=0,即n=(1,2,0),所以cos〈PC,n〉=PC·nPC所以直线PC与平面PAE所成角的正弦值为1556.在空间直角坐标系中,若A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量AB与平面Oxz的法向量的夹角的正弦值为.74解析:设平面Oxz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0).由题意知AB=(1,3,6),所以cos〈n,AB〉=n·ABnAB=3t4t.因为〈n,AB〉∈[0,π],所以sin〈n,7.若在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AC=∠BAC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,AA1=AC=AB,则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.24解析:设M为AC的中点,连接MB,MA1,如图,由题意知△ABC是所以BM⊥AC,同理A1M⊥AC.因为平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,BM⊂平面ABC,所以BM⊥平面A1ACC1.因为A1M⊂平面A1ACC1,所以BM⊥A1M,所以AC,BM,A1M两两垂直,以M为原点,MA,MB,MA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AA1=AC=AB=2,则A(1,0,0),B(0,3,0),A1(0,0,3),C1(-2,0,3),所以AC1=(-3,0,3),A1B=(0,3,-3).设异面直线AC1与A1B所成的角为θ,则cosθ=|cos〈AC1,A1B〉|=AC1TX→·A故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为24如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13,则正四棱柱的高为4解析:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设DD1=a(a>0),则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,a),C1(0,2,a),所以AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,a),CC1=(0,0,a).设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·AC取x=1,则y=1,z=2a,所以n=1,1,故cos〈n,CC1〉=n=22+4a因为直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13所以22a2+4=9.在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,AC=22,PB⊥平面ABC,点M,N分别为AC,PB的中点,MN=6,Q为线段AB上的点(不包括端点A,B).若异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434,则BQA.14 B.C.12 D.A解析:因为AB=BC=2,AC=22,所以AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC.因为PB⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以PB⊥AB,PB⊥BC.以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0),A(2,0,0),所以BM=2.因为MN=6,所以BN=MN2−BM2设BQBA=λ,则BQ=λBA(0<λ<所以Q(2λ,0,0).易知PM=(1,1,-4),CQ=(2λ,-2,0),所以PM·CQ=1×2λ+1×(-2)+(-4)×0=2λ-2,|PM|=12+12+因为异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434所以|cos〈PM,CQ〉|=PM·CQPMCQ=2λ−232×4λ2+410.(多选题)(2024·嘉兴模拟)如图,在正四面体ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,下列说法正确的是()A.直线EF与直线AB所成的角为πB.直线EF与直线AD所成的角为πC.直线EF与平面BCD所成的角的正弦值为3D.直线EF与平面ABD所成的角的正弦值为2ABC解析:如图,将正四面体ABCD放在正方体AGBH-MCND中,设正方体AGBH-MCND的棱长为2,以A为原点,AG,AH,AM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(2,0,2),D(0,2,2),E(1,1,0),F(1,1,2).因为EF=(0,0,2),AB=(2,2,0),所以EF·AB=0,即EF⊥因为AD=(0,2,2),cos〈EF,AD〉=EF·ADEFAD=42×2设平面BCD的法向量为m=(x1,y1,z1),BC=(0,-2,2),BD=(-2,0,2),则m·BC取x1=1,则y1=1,z1=1,所以m=(1,1,1)为平面BCD的一个法向量.所以cos〈EF,m〉=EF·mEFm=故直线EF与平面BCD所成的角的正弦值为33设平面ABD的法向量为n=(x2,y2,z2),则n·AB取x2=1,则y2=-1,z2=1,所以n=(1,-1,1)为平面ABD的一个法向量.所以cos〈EF,n〉=EF·nEFn=223=3311.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.若PA=PD=AB=DC=2,∠APD=60°,则平面PBC与平面PAB夹角的余弦值为.77解析:如图,取AD的中点F,BC的中点E,连接PF,FE,由已知可得FE∥AB,FE∥因为∠BAP=∠CDP=90°,所以AB⊥PA,DC⊥PD,所以FE⊥PA,FE⊥PD.又因为PA∩PD=P,PA,PD⊂平面PAD,所以FE⊥平面PAD.因为AD,PF⊂平面PAD,所以FE⊥AD,FE⊥PF.因为PA=PD,所以PF⊥AD.以F为原点,FA,FE,FP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为PA=PD=AB=DC=2,∠APD=60°,所以AD=2,所以A(1,0,0),P(0,0,3),B(1,2,0),C(-1,2,0).所以BC=(-2,0,0),BP=(-1,-2,3),BA=(0,-2,0).设n=(x1,y1,z1)是平面PBC的法向量,则n·BC取y1=3,则x1=0,z1=2,所以n=(0,3,2)是平面PBC的一个法向量.设m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,则m·BP取x2=3,则y2=0,z2=1,所以m=(3,0,1)是平面PAB的一个法向量.设平面PBC与平面PAB的夹角为θ,则cosθ=|cos〈n,m〉|=n·mnm=所以平面PBC与平面PAB夹角的余弦值为7712.如图,在三棱台ABC-DEF中,AB=2DE,M是EF的中点,点N在线段AB上,AB=4AN,平面DMN∩平面ADFC=l.(1)证明:MN∥l;(2)若平面CBEF⊥平面ABC,AC⊥AB,AC=CF=FE=EB,求直线AB与平面DMN所成角的正弦值.(1)证明:如图,取FD的中点G,连接GM,AG.因为M是EF的中点,所以GM∥DE,GM=12DE因为在三棱台ABC-DEF中,DE∥AB,DE=12AB,AB=4AN所以GM∥AN,GM=AN,即四边形ANMG为平行四边形,所以MN∥GA.因为MN⊄平面ADFC,GA⊂平面ADFC,所以MN∥平面ADFC.因为MN⊂平面DMN,平面DMN∩平面ADFC=l,所以MN∥l.(2)解:因为平面CBEF⊥平面ABC,所以过点F作FO⊥CB于点O,则FO⊥平面ABC.由题意知CB=2FE,AC=CF=FE=EB,所以CO=12CF=1在△ABC中,AC=12CB,AC⊥AB,所以∠ACB=60°连接AO,在△ACO中,由余弦定理得OA2=CO2+AC2-2CO·ACcos60°=34AC2所以CO2+OA2=AC2,所以OA⊥CO.以O为原点,OA,OB,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.令AC=2,则O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,-1,0),F(0,0,3),M(0,1,3),所以AB=(-3,3,0),CA=(3,1,0),OD=OF+FD=OF+12DM=OM−OD=DN=DO+OA+14设平面DMN的法向量为n=(x,y,z),则n·DM取x=2,则y=23,z=1,所以n=(2,23,1)为平面DMN的一个法向量.设直线AB与平面DMN所成的角为θ,则sinθ=|cos〈AB,n〉|=AB·nABn=所以直线AB与平面DMN所成角的正弦值为21713.(2024·1月九省适应性测试)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.(1)证明:C1O⊥平面ABCD;(2)求平面BAA1与平面AA1D夹角的正弦值.(1)证明:如图,连接BC1,DC1.因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以BC=DC.又因为∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1.由题意知点O为线段BD的中点,所以C1O⊥BD.在△C1CO中,CC1=2,OC=12AC=2,∠C1CO=45°所以cos∠C1CO=22=C1C2+OC2则C1C2=OC2+C1O2,所以C1O⊥OC.又OC∩BD=O,OC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以CO1⊥平面ABCD.(2)解:由题意知在正方形ABCD中,AC⊥
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