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文档简介
§2-5微分及其应用一、问题的提出实例:设边长由变到正方形面积的线性函数,且为的主要部分,的高阶无穷小,当很小时可忽略.求边长为正方形金属薄片受热后面积的改变量.1二、微分的定义定义:设函数在某区间内有定义,及在这个区间内,如果可表示为:其中是不依赖于的常数,而是比高阶的无穷小,那么称函数在点是可微的,自变量增量的微分,记作或即(微分的实质)而叫做函数在点相应于微分叫做函数增量的线性主部.2这样就可以近似计算较复杂函数的改变量.由定义知:可微(1)是自变量的改变量的线性函数;(2)是比高阶的无穷小.(3)当时,与是等价无穷小;(4)A是与无关的常数,但与和有关;(5)当很小时,(线性主部)3三、可微的条件1.定理证(1)必要性函数在点可微的充要条件是:函数在点处可导,且因为函数在点可微,即在点处可导,且4(2)充分性因为函数在点可导,从而且在点处可微.于是有:可导故可微.52.可导与可微的区别与联系:区别:联系:可微可导连续有极限可导是指存在.可微是指可表示为:其中A是与无关的常数.可微必可导,可导必连续,连续必有极限;而有极限不一定连续,连续不一定可导,但可导必可微.6解以上例子,验证了:微分为:越小,近似程度越高.例1求函数在时的微分和增量.改变量为:73.函数的微分的定义:若函数在某区间内每一点都可微,则称函数是该区间上的可微函数,函数在区间内任一点x的微分称为函数的微分.记作:dy
或df(x).即则如则oxyy=sinx8通常把自变量x的增量称为自变量的微分.记为即即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数,因而,导数也叫“微商”.若则若则若则9四、微分的几何意义几何意义:(如图)以直代曲MNT)
P
Q当很小时,在点M的附近,切线段MP可近似地代替曲线段MN.(当是曲线的纵坐标增量时,就是切线纵坐标对应的增量.10五、微分的求法求法:
计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式112.函数和、差、积、商的微分法则12例2dy.求设解六、微分形式的不变性设函数有导数(1)若u是自变量时,(2)若u是中间变量时,即另一变量t的可微函数则13六、微分形式的不变性结论:一阶微分形式的不变性设函数有导数(1)若u是自变量时,(2)若u是中间变量时,即另一变量t的可微函数则无论u是自变量还是中间变量,微分形式总是的函数14解例3在右端的括号中填入适当的函数,使等式成立.例2dy.求设另解15下面利用这个记号解决参数方程表示的函数的导数1.一阶导数已知求解求微分的三个方法:1.直接用定义;2.用微分法则;3.用不变性.162、高阶导数:例4求曲线的二阶导数.解而17解而例5是参数.求已知则18七、微分的应用—主要用于近似计算.计算函数增量若在点处的导数且很小时,1.利用的近似值解例1半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了0.02厘米,问面积增大了多少?19解例2设则则取计算函数在点2.利用附近的点的近似值.注意:(2)比较小.(1)与易求,20由于3.求在点附近的近似值.令21证明常用近似公式(x为弧度);(1)设22例3解近似计算的基本公式计算下列各数的近似值.23八、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念.导数的概念.求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★可导可微1.联系242.区别
是函数相对于自变量的变化率.
是相对于自变量改变量为时,函数改变量的线性主部.即25(13)(1)(3
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