微分及其应用

§2-5微分及其应用一、问题的提出实例:设边长由变到正方形面积的线性函数，且为的主要部分，的高阶无穷小，当很小时可忽略.求边长为正方形金属薄片受热后面积的改变量.1二、微分的定义定义：设函数在某区间内有定义，及在这个区间内，如果可表示为：其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，自变量增量的微分，记作或即(微分的实质)而叫做函数在点相应于微分叫做函数增量的线性主部.2这样就可以近似计算较复杂函数的改变量.由定义知:可微(1)是自变量的改变量的线性函数；(2)是比高阶的无穷小.(3)当时，与是等价无穷小；(4)A是与无关的常数，但与和有关；(5)当很小时，(线性主部)3三、可微的条件1.定理证(1)必要性函数在点可微的充要条件是：函数在点处可导，且因为函数在点可微，即在点处可导，且4(2)充分性因为函数在点可导，从而且在点处可微.于是有：可导故可微.52.可导与可微的区别与联系:区别：联系：可微可导连续有极限可导是指存在.可微是指可表示为：其中A是与无关的常数.可微必可导，可导必连续，连续必有极限；而有极限不一定连续，连续不一定可导，但可导必可微.6解以上例子，验证了:微分为：越小，近似程度越高.例1求函数在时的微分和增量.改变量为：73.函数的微分的定义：若函数在某区间内每一点都可微，则称函数是该区间上的可微函数，函数在区间内任一点x的微分称为函数的微分.记作:dy

或df(x).即则如则oxyy=sinx8通常把自变量x的增量称为自变量的微分.记为即即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数，因而，导数也叫“微商”.若则若则若则9四、微分的几何意义几何意义:(如图)以直代曲MNT）

P

Q当很小时，在点M的附近，切线段MP可近似地代替曲线段MN.(当是曲线的纵坐标增量时，就是切线纵坐标对应的增量.10五、微分的求法求法:

计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式112.函数和、差、积、商的微分法则12例2dy.求设解六、微分形式的不变性设函数有导数(1)若u是自变量时，(2)若u是中间变量时，即另一变量t的可微函数则13六、微分形式的不变性结论：一阶微分形式的不变性设函数有导数(1)若u是自变量时，(2)若u是中间变量时，即另一变量t的可微函数则无论u是自变量还是中间变量，微分形式总是的函数14解例3在右端的括号中填入适当的函数,使等式成立.例2dy.求设另解15下面利用这个记号解决参数方程表示的函数的导数1.一阶导数已知求解求微分的三个方法：1.直接用定义；2.用微分法则；3.用不变性.162、高阶导数：例4求曲线的二阶导数.解而17解而例5是参数.求已知则18七、微分的应用—主要用于近似计算.计算函数增量若在点处的导数且很小时，1.利用的近似值解例1半径10厘米的金属圆片加热后，半径伸长了0.02厘米，问面积增大了多少？19解例2设则则取计算函数在点2.利用附近的点的近似值.注意：(2)比较小.(1)与易求，20由于3.求在点附近的近似值.令21证明常用近似公式(x为弧度)；(1)设22例3解近似计算的基本公式计算下列各数的近似值.23八、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念.导数的概念.求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★可导可微1.联系242.区别

是函数相对于自变量的变化率.

是相对于自变量改变量为时，函数改变量的线性主部.即25(13)(1)(3