第2节空间点、直线、平面之间的位置关系-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第2节空间点、直线、平面之间的位置关系高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.掌握四个基本事实和一个定理.3.能运用基本事实、定理和已获得的结论,证明一些空间位置关系的简单命题.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.与平面及平行线有关的基本事实及推论(1)平面及平行线的基本事实事实图形文字语言符号语言基本事实1过

上的三个点,有且只有一个平面

当三个点共线时,过这三点的平面有无数个A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α基本事实2如果一条直线上的

在一个平面内,那么这条直线在这个平面内

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α

不能写成“⊆”不在一条直线

两个点

事实图形文字语言符号语言基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们______________

过该点的公共直线

P∈α,且P∈β

⇒α∩β=l,且P∈l基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行若直线a∥b,c∥b,则a∥c有且只有一条

(2)平面的基本事实的3个推论

推论自然语言图形语言推论1经过一条直线与

一点,有且只有一个平面

推论2经过两条

直线,有且只有一个平面

推论3经过两条

直线,有且只有一个平面

这条直线外

相交平行微点拨基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据;基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.微思考“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?提示

“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的.2.空间中直线与直线的位置关系

这两条直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,又不相交

相交

平行误区警示1.异面直线不同在任何一个平面内,不能误解为分别在两个平面内的两条直线为异面直线.2.异面直线不具有传递性.即若直线a与b异面,b与c异面,则a与c不一定是异面直线.3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

类型图形语言符号语言公共点直线与平面相交

个

平行

个

在平面内

个

线面相交、线面平行统称为直线在平面外,记作a⊄αa∩α=A1

a∥α

0a⊂α无数

类型图形语言符号语言公共点平面与平面平行

个

相交

个

α∥β0α∩β=l无数

4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角

.

微点拨如果两个角的两边平行且方向都相同或都相反,则两角相等;若一边同向,另一边反向,则两角互补.相等或互补

5.异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).微点拨当异面直线所成的角为

时,称两直线垂直.

常用结论1.平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(

)2.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.(

)3.两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于点A,记作α∩β=A.(

)4.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线.(

)×××√题组二回源教材5.(人教A版必修第二册第128页练习第2题)下列命题正确的是(

)A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.圆心和圆上两点可确定一个平面D.梯形可确定一个平面D解析

对于A,不共线的三点确定一个平面,故A不正确;对于B,一条直线和直线外一个点确定一个平面,若点在直线上它们不能确定平面,故B不正确;对于C,当圆上两点为一直径的两个端点时,它们与圆心三点共线不能确定平面,故C不正确;对于D,梯形的两个底边所在直线平行,可确定一个平面,故D正确.6.(人教A版必修第二册习题8.4第2(2)题)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是(

)A.α内的所有直线与a是异面直线B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一一条直线与a平行D.α内的所有直线与a都相交B

解析

由题意可知直线a与平面α相交,所以平面α内所有直线与a相交或异面,且α内不存在与直线a平行的直线.故A,C,D不正确.7.(人教A版必修第二册习题8.4第4(3)题)已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b与α的位置关系是

.

平行或相交题组三连线高考8.(2006·上海,文15)若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有公共点”;若“这两条直线没有公共点”,则“这两条直线可能异面,也可能平行”.9.(2021·全国乙,理5)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(

)D2研考点精准突破考点一与平面有关的基本事实的应用例1已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;(3)DE,BF,CC1三线交于一点.证明

(1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体AC1中,因为AA1∥CC1,所以AA1与CC1确定一个平面α,设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,即R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.(3)因为EF∥BD,且EF<BD,所以DE与BF相交.设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三线交于点M.[对点训练1]如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC的中点.证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)GE,FH,BB1相交于一点.证明

(1)连接AC,A1C1,如图所示.因为ABCD-A1B1C1D1为正四棱台,所以A1C1∥AC.又E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC的中点,所以EF∥A1C1,GH∥AC,则EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.(2)因为A1C1≠AC,所以EF≠GH,所以四边形EFHG为梯形,则EG与FH必相交.设EG∩FH=P,因为EG⊂平面AA1B1B,所以P∈平面AA1B1B.因为FH⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C.又平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1,所以P∈BB1,则GE,FH,BB1交于一点.考点二空间两条直线的位置关系判断例2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是(

)A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交D解析

如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.故选D.图1图2(2)如图,G,H,M,N是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有

.

②④

解析

在图①中,MG∥HN且MG=NH,则四边形MGHN是平行四边形,有HG∥MN,不是异面直线;在图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此GH与MN异面;在图③中,M,G分别是所在棱的中点,所以GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,不是异面直线;在图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.[对点训练2](1)若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是(

)A.平行

B.异面C.相交

D.平行、相交或异面D解析

如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,A'D'所在直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C',CC',DD'.故a和c可以平行、相交或异面.(2)(多选题)(2024·陕西西安高一期中)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列四个结论正确的是(

)A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线CD解析

对于A,因为点A在平面C1D1DC外,点M在平面C1D1DC内,直线CC1在平面C1D1DC内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故A错误;对于B,直线AM在平面ABC1D1内,直线BN与平面ABC1D1相交于点B,点B不在直线AM上,所以直线AM与BN是异面直线,故B错误;对于C,直线BN在平面BCC1B1内,直线MB1与平面BCC1B1相交于点B1,点B1不在直线BN上,所以直线BN与直线MB1是异面直线,故C正确;对于D,因为点M与DD1都在平面C1D1DC内,点A在平面C1D1DC外,DD1不过点M,所以AM与DD1是异面直线,故D正确.故选CD.考点三正方体中的切割(截面)问题例3(1)(2024·河南新乡模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,过A,D1,E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分,则该截面的周长为(

)A解析

如图,取BC的中点F,连接EF,AF,BC1.因为E,F分别为棱CC1,BC的中点,则EF∥BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为BC1∥AD1,所以EF∥AD1,所以平面AFED1为所求截面.因为正方体

解析

如图所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.设点O1是B1C1的中点,则O1D1=,易证D1O1⊥平面BCC1B1,设P是球面与侧面BCC1B1交线上任意一点,连接O1P,则O1D1⊥O1P,[对点训练3](2024·新疆阿克苏模拟)已知M,N,P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1,CC1的中点,则平面MNP截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面是(

)A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形D解析

如图所示,分别取BC,C1D1,A1D1的中点Q,E,F,连接MN,MQ,QP,PE,EF,FN,则MN∥A1B,EP∥CD1.∵A1B∥CD1,∴MN∥EP.同理可得MQ∥EF,PQ∥FN.由平面的基本事实及其三个推论得M,N,P,Q,E,F六点共面,所以平面MNP截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面是六边形.考点四两条异面直线所成的角例4(1)(2024·山东新泰模拟)如图,在四棱锥