第2节用样本估计总体-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第2节用样本估计总体高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义.3.能用样本估计总体的取值规律.4.能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.5.会计算简单随机抽样的样本均值和样本方差.掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差的计算.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.总体百分位数的估计(1)第p百分位数的定义一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中

的数据小于或等于这个值,且至少有

的数据大于或等于这个值.

(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.至少有p%

(100-p)%微点拨1.第0百分位数为数据中的最小数,第100百分位数为数据中的最大数;2.一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数;3.一组数据的某些百分位数可能是同一个数.2.总体集中趋势的估计

数字特征概念众数一组数据中出现次数

的数

不一定唯一,一定是这组数据中的数中位数把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在_______

位置的一个数据(或两个数据的平均数)

唯一,不一定是这组数据中的数平均数如果有n个数据x1,x2,…,xn,那么这n个数的平均数

=

唯一,不一定是这组数据中的数

最多

中间3.总体离散程度的估计

常用结论1.在频率分布直方图中:(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的直方图的面积相等;(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(

)2.一组数据的方差越大,说明这组数据越集中.(

)3.一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论.(

)4.对一组数据来说,平均数和中位数总是非常接近.(

)√×××题组二回源教材5.(人教A版必修第二册9.2.2节例2改编)某机构调查了解10种食品的卡路里含量,结果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是(

)A.138,160.5 B.138,146C.138,175 D.135,160.5A解析

将10个数按从小到大排列:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195,而10×25%=2.5,故这组数据的第25百分位数为第3项138;中位数为6.(人教A版必修第二册习题9.2第3题改编)(多选题)在去年的足球联赛上,一队每场比赛平均失球数是1.5,全年比赛失球个数的标准差是1.1;二队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的有(

)A.平均来说一队比二队防守技术好B.二队很少失球C.一队有时表现差,有时表现又非常好D.二队比一队技术水平更不稳定AC解析

对于A,因为一队每场比赛平均失球数是1.5,二队每场比赛平均失球数是2.1,所以平均来说一队比二队防守技术好,故A正确;对于B,因为二队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以二队经常失球,故B错误;对于C,因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以一队有时表现很差,有时表现又非常好,故C正确;对于D,因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以二队比一队技术水平更稳定,故D不正确.题组三连线高考7.(2020·全国Ⅲ,文3)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(

)A.0.01 B.0.1

C.1 D.10C8.(多选题)(2021·新高考Ⅱ,9)下列统计量中,能度量样本x1,x2,…,xn的离散程度的是(

)A.样本x1,x2,…,xn的标准差B.样本x1,x2,…,xn的中位数C.样本x1,x2,…,xn的极差D.样本x1,x2,…,xn的平均数AC解析

能够度量样本离散程度的统计量有极差、方差、标准差,故选AC.2研考点精准突破考点一总体百分位数的估计例1(1)(2024·吉林白山模拟)某学习小组共有20人,在一次数学测试中,得100分的有2人,得95分的有4人,得90分的有5人,得85分的有3人,得80分的有5人,得75分的有1人,则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是(

)A.82.5 B.85

C.90 D.92.5D解析

根据题意,20×70%=14,这个学习小组成员该次数学测试成绩数据的第14项为90,第15项为95,故第70百分位数为

=92.5,故这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是92.5.(2)(2024·山东日照模拟)为了解学生每天的体育活动时间,某市教育部门对全市高中学生进行调查,随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间,按照时长(单位:分钟)分成6组:第一组[30,40),第二组[40,50),第三组[50,60),第四组[60,70),第五组[70,80),第六组[80,90].对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图,则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为(

)A.43.5 B.45.5C.47.5 D.49.5C解析

由频率之和为1,得10(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)=1,解得a=0.015,由10×0.01=0.1<0.25,10×0.01+10×0.02=0.3>0.25,故第25百分位数位于[40,50)内,则第25百分位数为40+10=47.5.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5.变式探究(变结论)例1(1)的条件下,求该次数学测试成绩的第66百分位数.解

根据题意,20×66%=13.2,该次数学测试成绩的第14项为90,故第66百分位数为90.[对点训练1](2024·广东江门模拟)某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本,数据(单位:cm)从小到大排序如下:158,165,165,167,168,169,x,172,173,175,若样本数据的第60百分位数是170,则x=(

)A.169 B.170

C.171

D.172C考点二用样本的数字特征估计总体的数字特征(多考向探究预测)考向1总体集中趋势的估计(中位数、众数、平均数)例2(1)(2024·山东济南模拟)某射击运动员连续射击5次,命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中,中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为(

)A.7.6 B.7.8

C.8

D.8.2B解析

依题意,这组数据一共有5个数,中位数为8.将数据从小到大排列,8的前面有2个数,后面也有2个数,又唯一的众数为9,则有两个9,其余数字均只出现一次,则最大数字为9,又极差为3,所以最小数字为6,所以这组数据为6,7,8,9,9,所以平均数为

=7.8.(2)(多选题)某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现数据均在[40,100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,则下列说法正确的有(

)A.频率分布直方图中第三组的频数为10B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分ABC解析

分数在[60,70)内的频率为1-10×(0.005+0.020+0.030+0.025+0.010)=0.10,所以第三组的频数为100×0.10=10,故A正确;因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标,从图中可看出众数的估计值为75分,故B正确;因为(0.005+0.020+0.010)×10=0.35<0.5,(0.005+0.020+0.010+0.030)×10=0.65>0.5,所以中位数位于[70,80)内,设中位数为x,则0.35+0.03(x-70)=0.5,解得x=75,所以中位数的估计值为75分,故C正确;样本平均数的估计值为45×(10×0.005)+55×(10×0.020)+65×(10×0.010)+75×(10×0.030)+85×(10×0.025)+95×(10×0.010)=73(分),故D错误.[对点训练2](1)(2024·山东烟台模拟)某组样本数据的频率分布直方图如图所示,设该组样本数据的众数、平均数、第25百分位数分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是(注:同一组中数据用该组区间中点值近似代替)(

)A.x3<x1<x2 B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2 D.x1<x2<x3A解析

由频率分布直方图可知众数为

=2.5,即x1=2.5,平均数x2=0.2×1.5+0.24×2.5+0.2×3.5+0.16×4.5+0.12×5.5+0.04×6.5+0.04×7.5=3.54,显然第25百分位数位于[2,3)之间,则0.2+(x3-2)×0.24=0.25,解得x3≈2.208,所以x3<x1<x2.(2)若一组数据1,x,7,7,9,10的众数与平均数相等,则这组数据的中位数为

.

7.5

解析

在这组数据中7出现了两次,其他的数只出现了一次(x除外),因为数据1,x,7,7,9,10的众数与平均数相等,所以这组数据的众数只能是7,则考向2总体离散程度的估计(方差与标准差)例3(2023·全国乙,理17,文17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536解

(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,[对点训练3](2024·江西南昌模拟)已知a,b,c,d的平均数和方差分别为5和10,则a,b,c,d,5的方差为(

)A.4 B.6

C.8

D.12C考向3分层随机抽样的方差与标准差例4(2024·山西太原五中模拟)现有甲、乙两组数据,每组数据均由六个数组成,其中甲组数据的平均数为3,方差为5,乙组数据满足如下条件时,若将这两组数据混合成一组,则关于新的一组数据说法错误的是(

)A.若乙组数据的平均数为3,则新的一组数据平均数为3B.若乙组数据的方差为5,则新的一组数据方差为5C.若乙组数据的平均数为3,方差为5,则新的一组数据方差为5D.若乙组数据的平均数为5,方差为3,则新的一组数据方差为5B[对点训练4](2024·福建泉州模拟)随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升,“银发经济”成为社会热门话题之一,被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况,对该地年龄在[60,80)的老年人的年收入按年龄[60,70),[70,80)分成两组进行分层抽样调查,已知抽取了年龄在[60,70)的老年人500人.年龄在[70,80)的老年人300人.现作出年龄在[60,70)的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示).(1)根据频率分布直方图,估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数及第95百分位