河南省洛阳市强基联盟高二下学期3月联考试题数学

洛阳强基联盟高二3月联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数在区间上的平均变化率为（）A. B. C. D.32.节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（）A. B. C. D.3.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.4.已知函数，则的图象在处的切线方程为（）A. B.C D.5.曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（）A.0 B. C. D.6当时，函数取得最小值，则（）A.2 B.1 C. D.7.若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是（）A.8 B. C. D.108.设，，，则、、大小关系为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.10.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（）A.在上单调递减 B.有极小值C.有3个极值点 D.在处取得最大值11.已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（）A. B.C D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则__________.13.函数的最大值为________．14.已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数（），且．（1）求的解析式；（2）求函数的图象在点处的切线方程．16已知函数，且当时，有极值．（1）求，的值；（2）求在上的最大值和最小值．17.已知函数，．（1）证明：在上单调递增；（2）判断与的大小关系，并加以证明．18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：当时，.19.定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．（1）判断函数和是否具有关系；（2）若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围．洛阳强基联盟高二3月联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数在区间上的平均变化率为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】直接利用平均变化率的定义求解.【详解】设，则函数在区间上的平均变化率为．故选：A.2.节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可.【详解】由，求导得，所以时体积关于半径的瞬时变化率为.故选：B.3.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求导并解不等式，即可得到的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，，解不等式，得，即，即的单调递减区间为．故选：D.4.已知函数，则的图象在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.【详解】由题意知，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即．故选：D．5.曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记是的导函数，是的导函数，那么曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据曲线的曲率定义，对函数求导得出，再对求导得出，将代入求解即可.【详解】对函数求导，得，对求导，得，所以，所以曲线在点处的曲率.故选：D.6.当时，函数取得最小值，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可知，，可解出，，然后验证，满足条件即可.【详解】由于，函数在处取得最小值，故，，从而，，解得，.若，，则，，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以在处取到极小值，也是最小值.而，所以函数在处取得最小值，故，满足要求，所以，，故．故选：D.7.若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是（）A.8 B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】求导，分离参数，并构造新函数确定零点个数得m的范围即可.【详解】，令，得，由题意知在区间上只有一个变号的根，令，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，，所以当时，在区间上只有一个变号的根，即函数在上有且仅有一个极值点时，，即的最小值为．故选:B．8.设，，，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.【详解】令，则，当时，，则单调递增，所以，即，则；令，则，当时，，单调递增，所以，即，即．综上所述，．故选：A．【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：（1）；（2）.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由导数的除法公式可得出A错误，D错误；由导数的加法公式可得出B正确；由导数的乘法公式可得出C正确/【详解】由导数的除法公式可得，由导数的加法公式可得，由导数的乘法公式可得，由导数的除法公式可得，所以A，D错误；B，C正确.故选：BC．10.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（）A.在上单调递减 B.有极小值C.有3个极值点 D.在处取得最大值【答案】ABC【解析】【分析】首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可.【详解】由的图象可知时，，则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；当时，，则单调递增，所以，则在处不能取得最大值，故D错误．故选：ABC．11.已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】令，可得在上单调递增，取自变量的值可得结果.【详解】令，所以，所以在上单调递增，所以，即，故A错误，B正确；又，所以，即，故C正确，D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数．(3)利用导数研究的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则__________.【答案】24【解析】【分析】求导后代入即可得，代入求解即可.【详解】，故，解得，故，所以.故答案为：2413.函数的最大值为________．【答案】【解析】【分析】利用导数求得的最大值.【详解】，所以在递增，在递减，所以当时，取得最大值为.故答案为：14.已知函数，过点且与曲线相切的直线只有1条，则实数的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点代入可得，构造函数，则的图像与直线只有1个交点，利用导数求出函数的单调区间和极值，作出图象，结合图象即可得解.【详解】设切点为，由，得，所以切线的斜率为，切线方程为，因为点在切线上，所以，即，令，则，令，得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，极大值为，当时，，当时，，所以的图象如图所示，

因为过点且与曲线相切的直线只有1条，所以的图像与直线只有1个交点，由图象可得或，即实数的取值范围是或．故答案为：或．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15已知函数（），且．（1）求的解析式；（2）求函数的图象在点处的切线方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式；（2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.【小问1详解】由，得，又，所以，解得，即．【小问2详解】由（1），得，，所以，即切点为，又切线的斜率为，所以函数图象在点处的切线方程为，即．16.已知函数，且当时，有极值．（1）求，的值；（2）求在上的最大值和最小值．【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数；（2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解.【小问1详解】由，得，又当时，有极值，所以，解得所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，有极小值．所以，满足题意．【小问2详解】由（1）知，．令，得，，，的值随的变化情况如下表：34

＋0－0＋

单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知在上的最大值为，最小值为．17.已知函数，．（1）证明：在上单调递增；（2）判断与的大小关系，并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，确定即可证明；（2）构造函数，求导确定单调性即可证明.小问1详解】证明：，所以，所以．当时，因为，所以．所以在上单调递增．【小问2详解】．证明如下：设，，则．由（1）知在上单调递增，所以，所以，即上单调递增．所以，即．18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：当时，.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证.【小问1详解】因为的定义域为，所以，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】当时，，令，则，令，则，因为，所以，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，即上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，即.【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）恒成立；恒成立．（2）恒成立；恒成立．（3）恒成立；恒成立；（4），，．19.定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．（1）判断函数和是否具有关系；（2）若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围．【答案】（1）与具有关系；（2）．【解析】【分析】（1）依据给定的新定义结合导数判断即可.（2）令，得出所以在上存在零点且．在上单调递增，推出，后结合给定定义求解参数范围即可.【小问1详解】与具有关系．理由如下：根据定义，若在与的定义域的交集上存在，使得，则与具有关系．令，，则，所以单调递增，