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文档简介
洛阳强基联盟高二3月联考数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第二册第五章.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数在区间上的平均变化率为()A. B. C. D.32.节日里,人们常用放气球的形式庆祝,已知气球的体积(单位:与半径(单位:)的关系为,则时体积关于半径的瞬时变化率为()A. B. C. D.3.函数的单调递减区间为()A. B. C. D.4.已知函数,则的图象在处的切线方程为()A. B.C D.5.曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标,曲线的曲率定义如下:记是的导函数,是的导函数,那么曲线在点处的曲率,则曲线在点处的曲率为()A.0 B. C. D.6当时,函数取得最小值,则()A.2 B.1 C. D.7.若函数在上有且仅有一个极值点,则实数的最小值是()A.8 B. C. D.108.设,,,则、、大小关系为()A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列求导正确的是()A. B.C. D.10.已知定义域为的函数的导函数为,且的图象如图所示,则()A.在上单调递减 B.有极小值C.有3个极值点 D.在处取得最大值11.已知函数的定义域为,其导函数为,且对任意的,都有,则下列说法正确的是()A. B.C D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数,则__________.13.函数的最大值为________.14.已知函数,过点且与曲线相切的直线只有1条,则实数的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数(),且.(1)求的解析式;(2)求函数的图象在点处的切线方程.16已知函数,且当时,有极值.(1)求,的值;(2)求在上的最大值和最小值.17.已知函数,.(1)证明:在上单调递增;(2)判断与的大小关系,并加以证明.18.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:当时,.19.定义:若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称,则称函数和具有关系.(1)判断函数和是否具有关系;(2)若函数和()在区间上具有关系,求实数的取值范围.洛阳强基联盟高二3月联考数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第二册第五章.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数在区间上的平均变化率为()A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】直接利用平均变化率的定义求解.【详解】设,则函数在区间上的平均变化率为.故选:A.2.节日里,人们常用放气球的形式庆祝,已知气球的体积(单位:与半径(单位:)的关系为,则时体积关于半径的瞬时变化率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可.【详解】由,求导得,所以时体积关于半径的瞬时变化率为.故选:B.3.函数的单调递减区间为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接求导并解不等式,即可得到的单调递减区间.【详解】函数的定义域为,,解不等式,得,即,即的单调递减区间为.故选:D.4.已知函数,则的图象在处的切线方程为()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出、的值,利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.【详解】由题意知,所以,又,所以的图象在处的切线方程为,即.故选:D.5.曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标,曲线的曲率定义如下:记是的导函数,是的导函数,那么曲线在点处的曲率,则曲线在点处的曲率为()A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据曲线的曲率定义,对函数求导得出,再对求导得出,将代入求解即可.【详解】对函数求导,得,对求导,得,所以,所以曲线在点处的曲率.故选:D.6.当时,函数取得最小值,则()A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可知,,可解出,,然后验证,满足条件即可.【详解】由于,函数在处取得最小值,故,,从而,,解得,.若,,则,,当时,,单调递减;当时,,单调递增.所以在处取到极小值,也是最小值.而,所以函数在处取得最小值,故,满足要求,所以,,故.故选:D.7.若函数在上有且仅有一个极值点,则实数的最小值是()A.8 B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】求导,分离参数,并构造新函数确定零点个数得m的范围即可.【详解】,令,得,由题意知在区间上只有一个变号的根,令,则,令,得,当时,,单调递减;当时,,单调递增.又,,,所以当时,在区间上只有一个变号的根,即函数在上有且仅有一个极值点时,,即的最小值为.故选:B.8.设,,,则、、的大小关系为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数在上的单调性可得出、的大小关系,利用函数在上的单调性可得出、的大小关系,由此可得出、、的大小关系.【详解】令,则,当时,,则单调递增,所以,即,则;令,则,当时,,单调递增,所以,即,即.综上所述,.故选:A.【点睛】结论点睛:两个常见的重要不等式:(1);(2).二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列求导正确的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由导数的除法公式可得出A错误,D错误;由导数的加法公式可得出B正确;由导数的乘法公式可得出C正确/【详解】由导数的除法公式可得,由导数的加法公式可得,由导数的乘法公式可得,由导数的除法公式可得,所以A,D错误;B,C正确.故选:BC.10.已知定义域为的函数的导函数为,且的图象如图所示,则()A.在上单调递减 B.有极小值C.有3个极值点 D.在处取得最大值【答案】ABC【解析】【分析】首先分析给定图像,由的图象可知时,,则单调递减,进一步分析其他选项,由的图象可知当时,有极值,所以有3个极值点,再找出最大值和极小值即可.【详解】由的图象可知时,,则单调递减,故A正确;又时,,则单调递增,所以当时,有极小值,故B正确;由的图象可知时,有极值,所以有3个极值点,故C正确;当时,,则单调递增,所以,则在处不能取得最大值,故D错误.故选:ABC.11.已知函数的定义域为,其导函数为,且对任意的,都有,则下列说法正确的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】令,可得在上单调递增,取自变量的值可得结果.【详解】令,所以,所以在上单调递增,所以,即,故A错误,B正确;又,所以,即,故C正确,D错误.故选:BC.【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数.(3)利用导数研究的单调性或最值.(4)根据单调性及最值,得到所证不等式.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数,则__________.【答案】24【解析】【分析】求导后代入即可得,代入求解即可.【详解】,故,解得,故,所以.故答案为:2413.函数的最大值为________.【答案】【解析】【分析】利用导数求得的最大值.【详解】,所以在递增,在递减,所以当时,取得最大值为.故答案为:14.已知函数,过点且与曲线相切的直线只有1条,则实数的取值范围是______.【答案】或【解析】【分析】设切点为,根据导数的几何意义求出切线方程,再将点代入可得,构造函数,则的图像与直线只有1个交点,利用导数求出函数的单调区间和极值,作出图象,结合图象即可得解.【详解】设切点为,由,得,所以切线的斜率为,切线方程为,因为点在切线上,所以,即,令,则,令,得或,当或时,,当时,,所以在和上单调递减,在上单调递增,所以的极小值为,极大值为,当时,,当时,,所以的图象如图所示,
因为过点且与曲线相切的直线只有1条,所以的图像与直线只有1个交点,由图象可得或,即实数的取值范围是或.故答案为:或.【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知函数(),且.(1)求的解析式;(2)求函数的图象在点处的切线方程.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)将代入的表达式即可解出,从而得到的解析式;(2)由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线,然后将点斜式方程化为一般式即可.【小问1详解】由,得,又,所以,解得,即.【小问2详解】由(1),得,,所以,即切点为,又切线的斜率为,所以函数图象在点处的切线方程为,即.16.已知函数,且当时,有极值.(1)求,的值;(2)求在上的最大值和最小值.【答案】(1),;(2)最大值为,最小值为.【解析】【分析】(1)由极值的必要条件以及可列方程求解参数;(2)求导得出在的单调性,比较极值点与端点函数值即可得解.【小问1详解】由,得,又当时,有极值,所以,解得所以,当时,,单调递减;当时,,单调递增.所以当时,有极小值.所以,满足题意.【小问2详解】由(1)知,.令,得,,,的值随的变化情况如下表:34
+0-0+
单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知在上的最大值为,最小值为.17.已知函数,.(1)证明:在上单调递增;(2)判断与的大小关系,并加以证明.【答案】(1)证明见解析;(2),证明见解析.【解析】【分析】(1)求导,确定即可证明;(2)构造函数,求导确定单调性即可证明.小问1详解】证明:,所以,所以.当时,因为,所以.所以在上单调递增.【小问2详解】.证明如下:设,,则.由(1)知在上单调递增,所以,所以,即上单调递增.所以,即.18.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:当时,.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数与函数单调性的关系,分类讨论即可得解;(2)构造函数,利用二次导数,结合函数的最值情况,证得,从而得证.【小问1详解】因为的定义域为,所以,当时,恒成立,所以在上单调递增;当时,令,得,当时,单调递减,当时,单调递增,综上,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.【小问2详解】当时,,令,则,令,则,因为,所以,所以当时,恒成立,所以在上单调递减,即上单调递减,所以,所以在上单调递减,所以,即.【点睛】结论点睛:恒成立问题:(1)恒成立;恒成立.(2)恒成立;恒成立.(3)恒成立;恒成立;(4),,.19.定义:若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称,则称函数和具有关系.(1)判断函数和是否具有关系;(2)若函数和()在区间上具有关系,求实数的取值范围.【答案】(1)与具有关系;(2).【解析】【分析】(1)依据给定的新定义结合导数判断即可.(2)令,得出所以在上存在零点且.在上单调递增,推出,后结合给定定义求解参数范围即可.【小问1详解】与具有关系.理由如下:根据定义,若在与的定义域的交集上存在,使得,则与具有关系.令,,则,所以单调递增,
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