高中数学选修23人教版练习第三章3.1第1课时线性回归模型

第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用第1课时线性回归模型A级基础巩固一、选择题1．有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))及其回归系数b，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．解析：①反映的是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③反映的是回归模型y＝bx＋a＋e，其中e为随机误差，故也正确．④不正确，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．答案：C2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反解析：因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0.答案：A3．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合效果最好的是()解析：用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合效果越好．答案：A4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为解析：回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))，B正确；依据回归方程中y的含义可知，x每变化1个单位，y相应变化约0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故D错误．答案：D5．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x/万元8.28.610.011.311.9支出y/万元6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^))，其中eq\o(b,\s\up12(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up12(^))＝y－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元 B．11.8万元C．12.0万元 D．12.2万元解析：由已知得eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10(万元)，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8(万元)，故eq\o(a,\s\up12(^))＝8－0.76×10＝0.4.所以回归直线方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭年支出为eq\o(y,\s\up12(^))＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭支出为eq\o(y,\s\up12(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．答案：B二、填空题6．若施化肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝250＋4x，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为________kg.解析：把x＝50代入eq\o(y,\s\up6(^))＝250＋4x，得eq\o(y,\s\up6(^))＝450.答案：4507．已知x，y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析，y与x线性相关，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(a,\s\up6(^))的值等于________．解析：x＝eq\f(1,4)(0＋1＋3＋4)＝2，y＝eq\f(2.2＋4.3＋4.8＋6.7,4)＝4.5，而回归直线方程过样本点的中心(2，4.5)，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝y－0.95x＝4.5－0.95×2＝2.6.答案：2.68．已知一个线性回归方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝________．解析：eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋7＋5＋13＋19,5)＝9，因为回归直线方程过点(eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y)))，所以eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝1.5x＋45＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.5三、解答题9．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量x(单位：mg/L)与消光系数y读数的结果如下：尿汞含量x246810消光系数y64138205285360(1)画出散点图；(2)求回归方程．解：(1)散点图如图所示：(2)由图可知y与x的样本点大致分布在一条直线周围，因此可以用线性回归方程来拟合它．设回归方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(b,\s\up12(^))x＋eq\o(a,\s\up12(^)).故所求的线性回归方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝36.95x－11.3.10．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系表：x3456789y66697381899091(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关，试求出其回归方程．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91,7)＝eq\f(559,7).(2)因为y与x有线性相关关系，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(559,7)－6×4.75＝eq\f(719,14)≈51.36.故回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝4.75x＋51.36.B级能力提升1．某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为()A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25解析：由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.考试次数的平均数为x＝eq\f(1,4)(1＋2＋3＋4)＝2.5，所减分数的平均数为y＝eq\f(1,4)(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，即直线应该过点(2.5，3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，故选D.答案：D2．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析：这5天的平均投篮命中率为eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4,5)＝0.5，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.所以eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f(0.1,10)＝0.01，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝0.47.所以回归直线方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝0.01x＋0.47.当x＝6时，eq\o(y,\s\up12(^))＝0.01×6＋0.47＝0.53.答案：0.50.533．某市垃圾处理厂的垃圾年处理量(单位：千万吨)与资金投入量x(单位：千万元)有如下统计数据：分类2012年2013年2014年2015年2016年资金投入量x/千万元1.51.41.91.62.1垃圾处理量y/千万吨7.47.09.27.910.0(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为eq\o(y,\s\up12(^))＝4x＋eq\o(a,\s\up12(^))，该垃圾处理厂计划2017年的垃圾处理量不低于9.0千万吨，现由垃圾处理厂决策部门获悉2017年的资金投入量约为1.8千万元，请你预测2017年能否完成垃圾处理任务，若不能，缺口约为多少千万吨？解：(1)从统计的5年垃圾处理量中任取2年的基本事件共10个：(7.4，7.0)，(7.4，9.2)，(7.4，7.9)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，7.9)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)，(7.9，10.0)，其中垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的基本事件有6个：(7.4，9.2)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)．所以，这2年的垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的概率为P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)eq\o(\s\up12(—),\s\do4(x))＝eq\f(1.5＋1.4＋1.9＋1.6＋2.1,5)＝1.7，eq\o(\s\up12(—),\s\do4(y))＝eq\f(7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.0,5)＝8.3，因为直线eq\o(y,\s\up12(^)