专题07一元二次方程的应用（2个知识点3种题型1种中考考法）

专题07一元二次方程的应用（2个知识点3种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次三项式的因式分解知识点2.一元二次方程的实际应用【方法二】实例探索法题型1.二次三项式的因式分解题型2.几何图形问题题型3.增长率问题【方法三】仿真实战法考法.一元二次方程的实际应用【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解（1）形如的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：．【例1】在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）原式；原式，令，解得：，，即得；原式；原式．【总结】考查二次三项式的因式分解，十字相乘法即可，在实数范围内可分解为．【变式1】在实数范围内分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）令，解得：，，即该式可分解为；（2）令，解得：，，即该式可分解为．【总结】考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，即为．【变式2】在实数范围内分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式；（2）原式为．【总结】考查分解因式中的整体思想，注意分解要彻底．知识点2.一元二次方程的实际应用（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.【例2】（2020·上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是，则可以列方程（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若平均每季度的增产率是，经过两次增长后应该为，建立方程即可．【详解】解：若平均每季度的增产率是，则可以列方程故本题选择C【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键．【例3】（2020·上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有___________人．【答案】12【分析】先找出题目中的等量关系为：人数×（人数1）=132，通过列一元二次方程计算求得正数解即可．【详解】解：设这个小组共有x人．

x（x1）=132，

解得x1=12，x2=11（不合题意，舍去）．

故答案为:12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，得到照片总张数的等量关系是解决本题的关键，重点是理解2个人之间要互送出2张照片．【例4】（2020·上海市格致初级中学八年级期中）某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．【答案】3．【分析】设共有个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设共有个班级参加比赛，根据题意得：，整理得：，即，解得：或（舍去）．则共有3个班级球队参加比赛．故答案为：3．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”．【例5】（2020·上海外国语大学附属双语学校）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售共工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可售出该工艺品4件，如果既要每天要获得的利润4800元，又要使消费者得到实惠，问每件工艺品降价多少元出售？（3）请商场如何定价可以使每天获得最高利润？【答案】（1）该商品的每件标价为200元，进价为155元；（2）每件工艺品降价15元出售；（3）当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元【分析】（1）设标价为x，则进价为x45，根据“标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等”列方程求解即可；（2）设工艺品降价m元，根据“总利润=单件利润×件数”列出方程即可求出结论；（3）设工艺品定价为a元，可根据总利润=单件利润×件数、配方法及平方的非负性即可求出结论．【详解】解：（1）设标价为x，则进价为x45，8[0.85x(x45)]=12[x35(x45)]，整理得3601.2x=120，即1.2x=240，解得：x=200，则每件进价为：20045=155（元）答：该商品的每件标价为200元，进价为155元．（2）设工艺品降价m元，则(45m)(100+4m)=4800解得：m1=5，m2=15∵要使消费者得到实惠∴m=15答：每件工艺品降价15元出售．（3）设工艺品定价为a元，总利润为：(a－155)[100+4（200－a）]=4a2＋1520a－139500=4(a190)2+4900，∵(a190)2≥0∴4(a190)2≤0∴4(a190)2+4900≤4900，即总利润最大值为4900，此时a=190答：当工艺品定价为190元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用配方法和平方的非负性求最值．【例6】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（252x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(252x+1)m，由题意得x(252x+1)=80，化简，得x213x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，262x=16＞12（舍去），当x=8时，262x=10＜12，答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【点拨】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．【例7】若两个连续整数的积是56，求这两个连续整数的和．【答案】这两个连续整数的和为15或15【分析】设这两个连续整数中较小的数为x，则较大的数为x＋1，根据题意，列出方程即可求出x，从而求出结论．解：设这两个连续整数中较小的数为x，则较大的数为x＋1由题意可得x（x＋1）=56解得：x1=7，x2=8∴这两个整数为7、8或8，7∴两个连续整数的和为7＋8=15或8＋（7）=15答：这两个连续整数的和为15或15．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，能用代数式表示出两个连续整数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．【例8】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？【答案】（1）2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2；（2）不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻，理由见解析；【分析】（1）设点P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（6x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；

（2）△ABC的面积的一半等于××AC×BC=12cm2，令×2x（6x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．【详解】（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．

由题意得，AP=xcm，PC=（6x）cm，CQ=2xcm，

则•(6−x)•2x＝8．

整理，得x26x+8=0，解得x1=2，x2=4．

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．

（2）由题意得：

S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，

即：×2x×（6x）=×24，

x26x+12=0，

△=624×12=12＜0，该方程无实数解，

所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键关键在于根据题意找出等量关系列出方程求解．【方法二】实例探索法题型1.二次三项式的因式分解1.将在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】关于的一元二次方程的根为，，由此对应的二次三项式分解为，即为，故选C．【总结】考查二次三项式的因式分解，当做方程进行解题即可．2.在实数范围内分解因式：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）令，解得：，，即该式可分解为；（2）令，解得：，，即该式可分解为．【总结】考查二次三项式的因式分解，．3.在实数范围内分解因式：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）令，解得：，，则原式可分解为；（2）令，解得：，，则原式可分解为；令，该方程即为，解得：，，则原式可分解为．【总结】主元法的思想，把一个字母当做未知数，另一个当做常数．4.二次三项式，当a取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）能分解成两个相同的因式；（3）不能因式分解

．【答案】（1）且；（2）；（3）．【解析】原式是二次三项是，可知二次项系数，得：，令，得，（1）原式可分解因式，则有，得：且；（2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：；（3）原式不能分解因式，则有，得：．【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系．5.已知可以分解得到，求实数的值．【答案】，，．【解析】，由此可得：，解得：．【总结】考查二次三项式的因式分解，也可通过韦达定理进行求解．6.多项式是完全平方式，求证：．【解析】证明：是完全平方式，关于的方程有两个相等的实数根，，．【总结】考查可分解为完全平方式的二次三项式，即所对应的一元二次方程．题型2.几何图形问题7．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）用长为20米的竹篱笆在仓库外面围一个长方形的堆料场，一面利用外墙，要使长方形面积达到42平方米，则相邻两边的长度是多少？【答案】3米和14米或7米和6米【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（202x）米，根据长方形的面积公式结合堆料场的面积为42平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（202x）米，依题意，得：x（202x）=42．整理，得：x210x+21=0，解得：x1=3，x2=7，∴相邻两边的长度是3米和14米或7米和6米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2020·上海金山区·八年级期中）如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形的面积为216平方米，求边各为多少米？【答案】AB边为12米，BC边为18米【分析】设AB的长为x米，根据题意列出一元二次方程，求解并找到符合题意的解即可．【详解】设AB的长为x米，根据题意得，解得，当时，，不符合题意，故舍去；当时，，符合题意，∴，∴AB边为12米，BC边为18米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并找到合适的解是关键．9．（2020·上海市奉贤区弘文学校）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库如图要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？【答案】仓库的长是15米，宽是6米．【分析】设仓库的宽是x米，长是（303x+1.5×2），根据面积为90平方米可列方程求解．【详解】解：设仓库的宽是x米，（302x+1.5×2）x=90，整理得，解得，x=5或x=6，当x=5米时，长为302×5+1.5×2=18米＞16米，故x=5米不符合题意；当x=6米时，长为302×6+1.5×2=15米＜16米，答：仓库的长是15米，宽是6米．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是设出长，表示出宽，以面积做为等量关系列方程求解．10．（2020·上海市进才中学北校八年级月考）如图,用总长为80米的篱笆,在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD,花圃中间有一条2米宽的人行通道,园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域,鲜花种植总面积为192平方米,花圃的一边靠墙,墙长20米,求AB和BC的长.【答案】AB=12m，BC=18m.【分析】设AB=x，则BE=，根据鲜花种植总面积为192平方米及矩形的面积得到一元二次方程即可求解.【详解】设AB=x，则BE=，∴解得x1=8,x2=12,当x=12时，BE=8，∴BC=2×8+2=18＜20，符合题意；当x=8时，BE=12，∴BC=2×12+2=26＞20，不符合题意，舍去；故AB=12m，BC=18m.【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系列出方程求解.11．（上海市民办新竹园中学八年级月考）如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm,____秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？【答案】2【分析】设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm，此时△PCQ的面积为×（8−x）（6−x），令该式＝×AC×BC，得到方程即可求解.【详解】设运动x秒后．由题意得：AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm，S△ABC＝×AC•BC＝×6×8＝24，即：×（8−x）×（6−x）＝×24，x2−14x＋24＝0，（x−2）（x−12）＝0，x1＝12，x2＝2；∵x＜6，∴x1＝12舍去，所以，当2秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．故填：2.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解．题型3.增长率问题12．（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）某钢铁厂一月份的产量为5000t，三月份上升到7200t，则这两个月平均增长的百分率为（）A．12% B．2% C．1.2% D．20%【答案】D【分析】根据题意，可以列出相应的一元二次方程，从而可以求得这两个月平均每月增长的百分率．【详解】解：设两个月平均每月增长的百分率为x，5000（1+x）2=7200，解得，x1=0.2，x2=2.2（舍去），即两个月平均每月增长的百分率为20%，故选D．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长的百分率是正值．13．（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）一件衬衫原价200元，经过连续两次降价后售价为162元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为______．【答案】10%【分析】根据衬衫原来价格×（1每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．【详解】解：设这种衬衫平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，200×（1x）2=162，解得x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）；答：这种衬衫平均每次降价的百分率为10%．故答案为：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，此题列方程得依据是：衬衫原来价格×（1每次降价的百分率）2=现在价格．14．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学八年级期中）某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，且每次提价的百分率相等，设每次提价的百分率为x，依题意可列方程__________．【答案】【分析】根据该商品的原价及经过两次提价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（2021·上海奉贤区·八年级期末）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第一周的订单数是5万件，第三周的订单数比第一周增加2.8万件，如果设平均每周订单数的增长率为x，那么符合题意的方程是___．【答案】5（1+x）2【分析】根据该快递公司第一周及第三周订单总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设平均每周订单数的增长率为x，根据题意得：5（1+x）2=5+2.8，故答案为：5（1+x）2=5+2.8．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，找到等量关系是正确列出一元二次方程的关键．16．（2021·上海嘉定区·八年级期末）某单位在两个月内将开支从25万元降到16万元，如果每月降低开支的百分率均为，那么这个x的值是________．【答案】20%【分析】利用降低后的开支=原开支×（1降低率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：依题意得：25（1x）2=16，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．（2021·上海静安区·八年级期末）某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同．已知第三年的绿化面积达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x，那么可列关于x的方程：___．【答案】【分析】设每年增长率为，根据第一年绿化面积是20万亩，则第二年绿化面积万亩，第三年绿化面积万亩，得出等式方程即可．【详解】解：设每年增长率为，则第二年绿化面积万亩，第三年绿化面积万亩，根据题意得出：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得出每年的绿化面积是解题关键．【方法三】仿真实战法考法.一元二次方程的实际应用1．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为．【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．【解答】解：设平均每月的增长率为x，由题意得25（1+x）2＝36，解得x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去）所以平均每月的增长率为20%．故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．2．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝＝20%，x2＝﹣（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023春·上海·八年级专题练习）受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是，则可以列方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】若平均每季度的增产率是，经过两次增长后应该为，建立方程即可．【详解】解：若平均每季度的增产率是，则可以列方程故本题选择C【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键．2．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣x）＝15 B．（x+3）（x）＝15C．（x+4）（3﹣x）＝15 D．（x+1）（4﹣x）＝15【答案】A【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为x)元，由题意得(xx)=15即可．【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得(xx)=15，故选：A．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．3．（2021秋·上海静安·八年级上海市民立中学校考阶段练习）二次三项式3x2﹣5xy+y2因式分解正确的是（）A．B．3（x﹣）（x﹣）C．D．3（x﹣y）（x+y）【答案】B【分析】解关于x的一元二次方程，因式分解即可判断．【详解】解：把3x25xy+y2=0看作是关于x的一元二次方程，△=（5y）24×3×y2=13y2，∴x=，∴x1=，x2=．∴3x25xy+y2=3(x)(x)，故选：B．【点睛】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握利用一元二次方程进行因式分解的方法是解题的关键．4．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额＋二月份的营业额＋三月份的营业额＝1800，把相关数值代入即可．【详解】解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为400×（1＋x），∴三月份的营业额为400×（1＋x）×（1＋x）＝400×（1＋x）2，∴可列方程为400＋400×（1＋x）＋400×（1＋x）2＝1800，即故选：B．【点睛】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．5．（2022春·上海·八年级专题练习）毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，需要买礼品56件，则该兴趣小组的人数为（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】D【分析】设该小组有x人，每两个同学都相互赠送一件礼品，即一个人送出（x1）件礼品，依次列方程解答即可．【详解】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学送出（x﹣1）件礼品，依题意得：x（x﹣1）＝56，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去），故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系式，列出方程，是解题关键.6．（2022秋·上海·八年级校考期中）某学校有一块长方形运动场，长70米，宽50米，现计划在这一场地四周（场外）筑一条宽度相等的跑道，其面积为1024平方米．设这条跑道的宽度为x米，可以列出的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设这条跑道的宽度为x米，则长方形运动场外大长方形的长为米，宽为米，根据题中的面积列出方程即可．【详解】解：设这条跑道的宽度为x米，则长方形运动场外大长方形的长为米，宽为米，根据题意得，故选：D．【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解题关键．二、填空题7．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）若把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形比原正方形面积多，设原正方形的边长为x，则可列方程为．【答案】【分析】设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为，宽为，根据“所得的长方形比原正方形面积多，”列出方程，即可求解．【详解】解：设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为，宽为，根据题意得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．8．（2023春·上海青浦·八年级统考期末）一辆汽车，新车购买价为25万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值万元，设这辆车在第二、三年的年折旧率为a，则可列方程为．【答案】【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为元，第三年折旧后的价格为元，与第三年折旧后的价格为万元建立方程即可．【详解】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，由题意得，．故答案为：．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为万元建立方程是关键．9．（2022秋·上海宝山·八年级统考期中）某地区规划将21000平方米矩形土地用于修建文化广场，已知该片土地的宽为x米，长比宽长10米，那么这块矩形土地的长是米．【答案】150【分析】土地的宽为x米，则长为米，根据矩形面积为21000平方米列一元二次方程，求解即可．【详解】解：根据题意，土地的宽为x米，则长为米，∴，解得，（不合题意，舍去），∴矩形土地的长为（米），故答案为：150．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．10．（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）初二年级进行篮球比赛，每个班都与其他班级比赛一场，共进行36场比赛，那么初二年级共有个班级．【答案】9【分析】设这个学校初二年级共有x个班级，根据该校初二年级共进行了36场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这个学校初二年级共有x个班级，依题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去）．答：这个学校初二年级共有9个班级．故答案为：9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是．【答案】23【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论．【详解】解：设原两位数的十位数字为x，根据题意得：∴，解得：，（不符合题意舍去）答：这个两位数为23，故答案为23．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．12．（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）某区为创建全国文明城区，计划今年建设绿地250公顷，比前年增加90公顷，设去年和今年比上一年的增长率都是x，根据题意，可得方程．【答案】【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：根据题意可得方程为；故答案为．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键．13．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，在一个长为，宽为的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么可列方程（不用化简）为【答案】【分析】题目中存在的等量关系为矩形花园的面积小道的面积，据此可求得答案．【详解】根据题意，得，．根据，可得．故答案为：．【点睛】本题主要考查实际问题与二元一次方程，能用含有未知数的代数式表示出等量关系是解题的关键．14．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）某型号的原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为578元，则每次降价的百分率是．【答案】【分析】设每次降价百分率为x，根据原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为578元，列方程即可．【详解】解：设每次降价百分率为x，由题意得：，解得：（舍），∴每次降价的百分率是，故答案为：．【点睛】本题考查理一元二次方程的应用，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，列出方程是关键．15．（2021春·上海闵行·八年级校考期中）接种新冠疫苗是提高社会集体免疫最有效的途径．按照“应种尽种、加快推进”原则，切实保障市民健康，发挥公共卫生健康疫苗接种示范引领作用，上海市加快推进市民疫苗接种．上海市市民新冠疫苗接种率一月份为，四月份提高到．如果每个月的接种增长率相同为，那么可列方程为．【答案】【分析】根据每个月的接种增长率相同为，一月份为，四月份提高到进行列方程即可．【详解】解：由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．16．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）有一个人利用发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向人发送短信．【答案】9【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有90人收到同一条短信列出方程．【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，则：．整理得：解得或（舍去）故答案为：9．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程．17．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是．【答案】10和12【分析】设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案．【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意，可得，整理可得，解得，（不合题意，舍去），所以，所以，这两个数是10和12．故答案为：10和12．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程是解题关键．18．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为．【答案】【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解【详解】如图2所示：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解决问题的关键三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）二次三项式，当a取何值时，(1)在实数范围内能分解；(2)能分解成两个相同的因式；(3)不能因式分解．【答案】(1)且(2)(3)【分析】（1）首先得到，然后令，表示出判别式，根据题意得，即可求出a的取值范围；（2）根据题意可得，求解即可；（3）根据题意可得，求解即可．【详解】（1）原式是二次三项是，可知二次项系数，得：，令，得，原式可分解因式，则有，得：且；（2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：；（3）原式不能分解因式，则有，得：．【点睛】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系．20．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）某公司2020年经营总收入为1500万元，该公司预计2022年经营总收入要达到2160万元，假设每年经营总收入的年增长率相同．(1)求每年经营总收入的增长率是多少？(2)预计2021年经营总收入为多少万元？【答案】(1)(2)1800元【分析】(1)设每年经营总收入的增长率是，根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求得；(2)根据每年经营总收入的增长率，列式计算，即可求得．【详解】（1）解：设每年经营总收入的增长率是，根据题意可得：，解得，（舍去），答：每年经营总收入的增长率是；（2）解：(元)答：2021年经营总收入为1800元．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意，正确列出方程是解决本题的关键．21．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，利用18米长的一段墙，用篱笆围成一个如图所示的长方形养鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，每块区域的前面各开一个宽1米的门，总共用去篱笆37米，为了使这个长方形养鸡场的面积达到126平方米，求、边长各为多少米？【答案】的长为7米，的长为18米．【分析】设为x米，则为米，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设为x米，则为米，由题意得：，解得：，，当时，，当时，（不合题意，舍去），答：的长为7米，的长为18米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．22．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件．(1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？(2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？【答案】(1)把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元(2)将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元【分析】对于（1），设商品的售价定为x元，再表示出单间利润和销售量，然后根据单间利润×销售量=总利润列出方程，再求出解即可；对于（2），设这天的利润为y元，结合（1）列出函数关系式，再配方讨论极值即可．【详解】（1）设每件商品的售价定为x元，依题意，得，整理得：，解得：，，∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元；（2）设这天的利润为y元，则，∵，∴当时，y有最大值，最大值为1210，答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数最大值的问题等，根据等量关系列出关系式（方程）是解题的关键．23．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）第二十二届中国上海国际艺术节首次移师上海市黄浦区南京东路第一百货商业中心．主办方工作人员准备利用一边靠